2022-2023学年广东省东莞市东莞外国语学校高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞市东莞外国语学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的导数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复合函数进行求导，即可得到答案；

【详解】，令，则，

从而 .

故选：D.

2．如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上f（x）单调递增 B．在区间（1，3）上f（x）单调递减

C．在区间上f（x）单调递增 D．在区间（3，5）上f（x）单调递增

【答案】C

【分析】根据导数的正负依次判断单调性即可.

【详解】由导数图象知，在区间上小于0，在上大于0，函数f（x）先减后增，A错误；在区间上大于0，

在上小于0，函数f（x）先增后减，B错误；在区间上大于0，函数f（x）单调递增，C正确；在区间上小于0，

在上大于0，函数f（x）先减后增，D错误.

故选：C.

3．下列命题错误的是（    ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于

B．设，且，则

C．线性回归直线一定经过样本点的中心

D．随机变量，若，则

【答案】B

【分析】利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由随机变量条件建立方程组解出即可判断D.

【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，

相关系数的绝对值越接近于，

故A正确；

由，知，

即概率密度函数的图像关于直线对称，

所以，

则，

故B错误；

根据线性回归直线的性质可知，

线性回归直线一定经过样本点的中心，

故C正确；

随机变量，若，

则，

故D正确；

故选：B.

4．已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（    ）

A． B． C．b D．4

【答案】D

【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解，再求函数的极小值.

【详解】，，，

所以，解得：，，

所以，得，时，，，，

所以是函数的极小值点，.

故选：D

5．学校安排元旦晩会的4个舞蹈节目和2个音乐节目的演出顺序，要求2个音乐节目要连排，且都不能在第一个演出，则不同的排法种数是（　　）

A．96 B．144 C．192 D．240

【答案】C

【分析】按照捆绑法，结合排列数公式，即可求解.

【详解】将2个音乐节目看成1个元素，有种方法，和4个舞蹈节目共看成5个元素，其中2个音乐节目不排在首位，有4种方法，再全排列4个舞蹈节目，有种方法，所以共有种方法.

故选：C

6．用模型拟合一组数据时，设，将其变换后得到回归方程为，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】由两边取对数，与，利用待定系数法求解.

【详解】解：因为，，

所以，

又，

所以，解得，

所以，

故选：D

7．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.

【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，

则男员工中，肥胖者有人，

女员工中，肥胖者有人，

设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，

则，，

则.

故选：D.

8．已知a，b，c均为负实数，且，，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对变形，构造，则，，，求导得到函数单调性，数形结合得到.

【详解】由，得，于是．

同理由，可得．

对于，可得，

两边同时取对数得，于是．

构造函数，则，，．

因为，

所以当时，，在内单调递减，

当时，，在内单调递增，

所以，

又，，，

如图所示，故．

故选：A

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到，，及，从而达到构造出适当函数的目的.

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．设函数，若，则

C．已知函数，则

D．设函数的导函数为，且，则

【答案】BD

【分析】A选项，利用求导公式计算即可；B选项，求导后解方程，求出；C选项，求导后代入，得到答案；D选项，求导后代入，解方程，求出答案.

【详解】对于选项A， ,故选项A不正确；

对于选项B, ,则 ,解得 ,故选项B正确；

对于选项C, ,则 ,故选项C不正确；

对于选项D， ，则 ,解得 ，故选项D正确.

故选：BD.

10．若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由两点分布性质可知，根据数学期望和方差计算公式可判断AB的正误；根据均值和方差的性质可判断CD的正误.

【详解】解：随机变量服从两点分布且，，

对于A，，，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：ABD.

11．下列说法正确的是(    )

A．的展开式中，的系数为30

B．将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种

C．已知，则

D．记，则

【答案】ACD

【分析】A：根据结构可知，由2个y、1个x、2个构成，据此即可作答；B：先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6分成两组，将两组分别放入两个信封，据此即可求出不同的数量；C：根据排列数和组合数计算公式解方程即可；D：根据二项式系数求；令x＝－1和x＝0分别求和，据此即可求解．

【详解】A选项：的展开式中，的系数为，故A正确；

B选项：将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种(先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6均分成两组，将两组分别放入两个信封)，故B错误；

C选项：∵，

∴，故C正确；

D选项：∵，

∴；

令x＝0得，；

令x＝－1得，；

∴，故D正确．

故选：ACD．

12．关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．是的极大值点

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数，使得成立

D．对两个不相等的正实数，，若，则.

【答案】BD

【分析】①对函数求导，结合函数极值的定义进行判断即可；

②求函数的导数，结合函数单调性及零点存在性定理，可判断出零点个数；

③利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；

④设 ，则，构造函数并结合函数的单调性，可证明，再结合的单调性，可得到，即可得到，从而可得证.

【详解】A.函数的定义域为，函数的导数，∴在上，，函数单调递减，上，，函数单调递增，∴是的极小值点，即A错误；

B.，∴，函数在上单调递减，且，，∴函数有且只有1个零点，即B正确；

C.若，可得，令，则，令，则，∴在上，函数单调递增，上函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；

D.令，则，，令，则，∴在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，显然成立，∴对任意两个正实数，，且，若，则，所以.故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，对于C，解题的关键是利用参变分离进行分析，对于D，解题的关键是判断.综合性较强，运算量较大，有一定的难度．

三、填空题

13．在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是          .

【答案】69

【分析】先求出从9个点中任取3个的全部组合数为，然后减去三角形三个边上三点共线的组合数，即可得出答案.

【详解】从9个点中任取3个的全部组合数为，

三角形三个边上三点共线的组合数为，

所以能构成三角形的个数为.

故答案为：.

14．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集为        .

【答案】

【分析】由函数的图像可得函数的增减区间，从而可得导函数的正负，进而可求出不等式的解集

【详解】解：由函数的图像可知，

在和上递增，在上递减，

所以当或时，，当时，，

所以当或时，，

所以不等式的解集为，

故答案为：

15．已知，，，则      .

【答案】

【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可

【详解】因为，所以，

因为，所以，

所以由全概率公式可得

,

故答案为：

四、双空题

16．已知，其中是关于的多项式，则      ；若，则除以81的余数为      ．

【答案】     18     32

【分析】将化为，展开后观察对应项可得；先求x，然后将转化为，展开可得.

【详解】因为

所以，所以，，所以．

若，即，则，

所以

故所求的余数为32．

故答案为：18,32

五、解答题

17．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，

(1)求的值；

(2)求其展开式中所有的有理项．

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）先利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；

（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．

【详解】（1）因为，所以，

当为奇数时，此方程无解，

当为偶数时，方程可化为，解得；

（2）由通项公式，

当为整数时，是有理项，则，

所以有理项为．

18．甲、乙两城之间的长途客车均由A和两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：，

【答案】(1)A公司准点的概率为；公司准点的概率为

(2)能，理由见解析

【分析】（1）利用频率估计概率，进行计算；

（2）得到列联表，计算出卡方，与2.706比较后得到结论.

【详解】（1）由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为 ，

公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为 .

（2）假设为 甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关，列联表如下表所示：

经计算得 ，

根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关，该推断犯错误的概率不超过 .

19．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求在上的最小值和最大值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；

（2）利用导数可求得在上的单调性，由单调性可确定最值点，从而求得最值.

【详解】（1），，又，

所求切线方程为：，即.

（2）由（1）知：，

则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

，.

20．树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了树木，某农科所为了研究树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵树木，调查得到树木根部半径(单位：米)与树木高度(单位：米)的相关数据如表所示：

（1）求关于的线性回归方程；

（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此片树木中随机抽取1棵树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.

参考公式：回归直线方程为，其中，.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由最小二乘法先求样本点中心，再代入公式求，即可得到答案；

（2）先计算6棵A树木中残差为零的有3棵，占比为，即可得到答案；

【详解】（1）由，

，

，

，

有，

，

故关于的回归方程为：.

（2）当时，，残差为，

当时，，残差为，

当时，，残差为，

当时，，残差为，

当时，，残差为，

当时，，残差为，

由这6棵A树木中残差为零的有3棵，占比为，

这棵树木“长势标准”的概率为.

21．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：

(1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；

(2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的珍品的箱数，求的分布列及均值.

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）先求出从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品的概率，再利用二项分布求概率公式进行求解；

（2）求出的可能取值及对应的概率，求出分布列，得到均值.

【详解】（1）设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件，则 ,

现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为 ,则 ,

所以恰好有2箱是一级品的概率为 .

（2）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从中随机抽取3箱，

则珍品的箱数服从超几何分布，其中 , , ,

, , , .

所以 的分布列为

.

22．已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，恒成立，求的最大整数值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）利用导数的运算法则可得，利用导数研究函数的单调性，即可求解；

（2）由（1），根据零点的存在性定理可知存在使得，即．进而可得函数的单调性，则，结合对勾函数的性质即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为，．

令，，

当时，恒成立，所以函数在上递增；

当时，在区间，，函数递减；

在区间，，函数递增．

（2）当时，，，

由（1）知，在上递增，且，，

所以存在使得，即．

在区间上，，函数单调递减；

在区间上，，函数单调递增．

所以当时，取得极小值也即是最小值，

为，

设，则，

令或，令或，

所以函数在和上单调递减，在和上单调递增.

∵，∴，所以．

由恒成立，得，故的最大整数值为．