2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校高二（普通班）下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校高二（普通班）下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知数列3，，9，，…，则该数列的第10项为（    ）

A． B． C．21 D．30

【答案】B

【分析】根据数列的特征进行求解即可.

【详解】因为，

所以该数列的通项公式为，

因此，

故选：B

2．双曲线的虚轴长为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的虚轴定义求解.

【详解】由可得，故虚轴长为，

故选:C.

3．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.

【详解】因为等差数列的首项，公差，

所以通项公式为.

故选：B

4．焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则m的值等于（    ）

A．8 B．5 C．5或3 D．5或8

【答案】A

【分析】根据椭圆焦距的计算列式得出答案.

【详解】焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，

则，解得，

故选：A.

5．设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（    ）

A．2或 B．3 C．2 D．

【答案】B

【分析】根据已知条件列方程求得.

【详解】依题意，

即，

，依题意，

所以，由于，故解得.

故选：B

6．在等差数列中，若，则（    ）

A．5 B．3 C．8 D．15

【答案】A

【分析】根据等差数列的性质求解，由可得，又，即可得解.

【详解】由等差数列的性质可得：，则，

又，所以.

故选：A.

7．等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（   ）

A．160 B．210 C．640 D．850

【答案】B

【分析】根据等比数列前项和公式求得正确答案.

【详解】设等比数列的公比为，

当时，，无解，所以，

所以，

两式相除得，

则，

所以.

故选：B

8．椭圆：的左、右焦点分别为，，直线过与交于，两点，为直角三角形，且，，成等差数列，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆定义以及焦点三角形即可中中由求解.

【详解】由为直角三角形，且，，成等差数列，可知不是最长的边，故为直角边，

结合椭圆的对称性，不妨设,

由椭圆的定义可知的周长为，又，

所以，进而可得，

由，

故，，

在中，，所以，

故选：B

二、多选题

9．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】AB

【分析】根据焦点到准线的距离为p求解.

【详解】解：因为焦点到准线的距离为4，

所以，

根据四个选项可得，满足，

故选：AB

10．（多选）等比数列中，，，则与的等比中项可能是（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】AB

【分析】利用等比中项的定义求解即可

【详解】设与的等比中项是．由等比数列的性质可得，则．

故选:AB．

11．已知双曲线，则下列选项中正确的是（　　）

A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为

C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为

【答案】BC

【分析】根据给定的双曲线，求出焦点坐标、离心率、及焦点到渐近线的距离判断作答.

【详解】双曲线的焦点在y轴上，A错误，

实半轴长，虚半轴长，半焦距，

双曲线的顶点坐标为，B正确；

双曲线的离心率，C正确；

双曲线的渐近线方程为：，因此焦点到渐近线的距离为，D错误.

故选：BC

12．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）

A．数列是递增数列 B．

C．当时， D．当或4时，取得最大值

【答案】BCD

【分析】根据给定的前项和，求出，再逐项判断作答.

【详解】数列的前项和，当时，，

而满足上式，所以，B正确；

数列是公差为的等差数列，是单调递减的，A不正确；

当时，，C正确；

当时，，即数列前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负，

因此当或4时，取得最大值，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知是等差数列，，则          .

【答案】5

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】由得，

所以，

故答案为：5

14．双曲线的渐近线方程为        .

【答案】

【分析】由双曲线性质即可求.

【详解】由题可知：所求渐近线方程为.

故答案为：.

15．抛物线的准线方程是      .

【答案】//

【分析】抛物线化为，即可得到抛物线的准线方程.

【详解】抛物线，即，焦准距，

故其准线方程是,

故答案为:.

16．已知数列中，，则数列的前5项和为             ．

【答案】

【分析】根据的通项公式求得前项和.

【详解】依题意，，

所以，

，

所以数列的前5项和为.

故答案为：

四、解答题

17．已知椭圆的两焦点分别为、，长轴长为6．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可知，椭圆的焦点在上，，，再由，即可求解.

（2）由题意可知双曲线的，，再由，即可求解.

【详解】解：（1）由、，长轴长为6，

得：，，所以，

∴椭圆方程为．

（2）由题意得，双曲线的，，

所以，

∴双曲线方程为．

18．已知等差数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；

（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解．

【详解】（1）解：设等差数列公差为d，首项为a1，

由题意，有，解得，

所以；

（2）解：，所以．

19．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设有求、，写出的通项公式；

（2）应用裂项相消法，求的前项和即可.

【详解】（1）由题意，，解得，

∴.

（2）由，

∴.

20．已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切

（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；    

（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|

【答案】（1）（2）16

【分析】（1）设，根据题目条件列方程可求得结果；

（2）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得结果.

【详解】（1）设，则依题意可得，

化简得，

所以动圆圆心P的轨迹M的方程为

（2）直线的方程为，即，

联立，消去并整理得，

设，，

则，，

由弦长公式可得.

所以

【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理和弦长公式，属于基础题.