2022-2023学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有(　　)

A．24种 B．10种 C．9种 D．14种

【答案】D

【分析】分类讨论利用分步乘法和分类加法计数原理计算即可.

【详解】分两类：

第一类：选衬衣加裙子，共有种选法；

第二类：选连衣裙，共有种选法，

根据分类加法计数原理共有种选法.

故选：

2．从5名候选人中选派出3人参加，，活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加活动，则不同的选派方案有（    ）

A．36种 B．48种 C．56种 D．64种

【答案】B

【分析】分情况讨论：甲参加活动或甲不参加活动，分别利用组合以及排列数即可求解.

【详解】若甲参加活动：（种）

若甲不参加活动：（种） ，

所以不同的选派方案有48种.

故选：B

【点睛】本题考查了组合数、排列数的应用，考查了基本运算能力，属于基础题.

3．（  ）.

A．1 B．－1

C．(－1)n D．3n

【答案】C

【分析】根据二项式定理计算即可.

【详解】原式=.

故选：C.

4．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（    ）

A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567

【答案】B

【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，

由题意可知，，所以．

故选：B.

【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力

5．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（    ）

A．240种 B．120种 C．188种 D．156种

【答案】B

【分析】根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算即可.

【详解】解：根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论：

（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；

（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；

（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；

由加法计数原理可知共有种方案，

故选：B

【点睛】此题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题.

6．复学后，某学校贯彻“科学防疫”，实行“戴口罩，间隔(不相邻)坐”.一排8个位置仅安排小华､小明等4名同学就坐，且小华要坐在小明左侧，则不同的安排方法种数为（    ）

A．160 B．120 C．60 D．30

【答案】C

【分析】由四个空位产生五个空，让四名同学用插空法就坐，再根据限制条件，即可得出结果.

【详解】因为8个位置仅安排小华､小明等4名同学就坐，且各同学之间不相邻，共有4个空位，

且4个空位可以产生5个空，让这四名同学用插空法就坐，共有种排法；

又小华要坐在小明左侧，即小华和小明顺序确定，

因此总的不同安排方法有种.

故选：C.

【点睛】本题主要考查排列的应用，考查不相邻问题和定序问题，属于常考题型.

7．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设事件表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件表示丢失一箱，结合全概率公式，即可求解.

【详解】设事件表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件表示丢失一箱为（其中，分别表示英语书、数学书、语文书），

可得

.

故选：C.

8．已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含正半轴上的整点),其运动规律为或，若该动点从原点出发,经过6步运动到点,则不同的运动轨迹有(　　)

A．15种 B．14种 C．103种 D．9种

【答案】D

【分析】根据运动规律，分析各种运动情况，确定运动途径，结合组合数计算即可.

【详解】由运动规律可知，每步的横坐标都增加1，只需考虑纵坐标的变化，

纵坐标每步增加1或减少1，经过6步的运动后，结果由0变到2，

所以这6步中有2步是按照运动，有4步是按照运动，

所以共有种运动轨迹，

又因为此动点只能在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含正半轴上的整点)，

所以当第一步为时不符合要求，有种运动轨迹，

当第一步为，第二、三步为时也不符合要求，有1种运动轨迹，

所以符合条件的轨迹有种，

故选：D

二、多选题

9．已知首项为正数的数列为等差数列,且,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据已知条件，结合等差数列与下标和有关的性质，得到，且，再结合可得，且，再由等差数列求和公式可判断和的正负.

【详解】∵为等差数列，且，

∴，∴，∴，

又∵，∴， 故，且．

∴，．

故选：ABD.

10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(　　)

A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法

B．某学生从中选5门，共有6种选法

C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法

D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

【答案】BCD

【分析】根据特殊元素优先法，判断ACD；利用组合的应用判段；

【详解】先把课程“射”“御”排在前两周共种，再排其他四门共，所以共种排法，故A错误；

6门中选5门共有种，故B正确；

课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有种排法，故C正确；

课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确.

故选：BCD.

11．若二项式的展开式共有9项，则(　　)

A．n＝8 B．n＝9

C．第5项为2520x4 D．展开式中常数项是16

【答案】ACD

【分析】由展开式的特点判断AB；由通项公式判断CD.

【详解】对于AB，因为展开式共有9项，所以，故A正确，B错误；

对于C，二项式的展开式的通项为，则第5项为，故C正确；

对于D，由C可知，展开式中常数项为，故D正确；

故选：ACD

三、单选题

12．已知函数，使在定义域内恒成立的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于，求出参数的取值范围，再找到其一个真子集即可．

【详解】因为，，

所以，

当时，，函数在上为减函数，

又当时，，，所以，不满足在定义域内恒成立；

当时，由，解得，

当时，，当时，，

所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，

所以=＝

由，得，即，

所以的取值范围是，

又真包含于，

即可得到使在定义域内恒成立的充分不必要条件可以是.

故选：B．

四、填空题

13．已知随机变量X,Y满足:X～B(2,p),Y=2X+1,且P(X≥1)= ,则D(Y)=      

【答案】

【分析】根据二项分布求概率的方法列方程得到，然后求即可.

【详解】因为，，所以，解得，

.

故答案为：.

14．已知等比数列的前项和为，且，，则=    ．

【答案】7

【分析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前n项和公式进行求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，则，，

两式相除可得，解将，.

故答案为：7

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题目.

五、双空题

15．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取2个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为，则           ，           ．

【答案】         

【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，即可求得答案.

【详解】在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为

表示取出两个球，其中一黑一白：

表示取出两个球为黑球：

表示取出两个球为白球，

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查事件的概率和数学期望的计算，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

六、填空题

16．已知函数满足，且当时，，设，则的大小关系是        ．

【答案】

【分析】根据条件判断出在上是增函数，进而利用单调性即可求出结果.

【详解】因为，所以，

当时，，所以在上是增函数.

因为，所以，

即，所以.

故答案为：.

七、解答题

17．（1）设，求是多少；

（2）设，若，求展开式中二项式系数最大的项是多少．

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）根据题意，分别令和，两式相加，即可求解；

（2）根据题意，分别令和，得到，求得，结合二项式系数的性质，即可求解.

【详解】解：（1）由 ，

令，可得，

令，可得，

所以

所以，

所以.

（2）由，

令，可得，

令，可得，

所以，解得，

则的展开式中二项式系数最大的为，

所以二项式系数最大的项为.

18．2020年10月16日是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，研发了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：

(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；

(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望；

(3)若该产品的质量指标值m与每件产品的利润y(单位：元)的关系如下表(1<t<4)：

试写出每件产品的平均利润的解析式．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图求得1件产品为废品的概率，结合对立事件的概率公式，即可求得所求事件的概率；

（2）根据频率分布直方图求得中各段的人数，得到随机变量的所有可能值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；

（2）由频率分布直方图得到该产品的质量指标值与利润（元）的关系，从而求得每件产品的利润关系式.

【详解】（1）解：则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为，

则从该产品中随机抽取3件产品，其中“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件的概率为.

（2）解：由频率分布直方图得，指标值大于或等于的产品中，

其中的概率为；

的概率为；

的概率为，

所以利用分层抽样抽取的件产品中，的有4件，的有2件，的产品有1件，

从这7件产品中，任取3件，质量指标值的件数的所有可能值为，

可得，

所以随机变量的分布列为

所以期望为.

（3）解：由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系与表所示（）

所以每件产品的平均利润：.

19．设函数在及时取得极值．

（1）求的值；

（2）若对于任意的，都有成立．求的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）求出，利用，列方程即可得结果；

（2）由题可得，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小即得.

【详解】由题可得，

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（2）因为，

．

当时，，当时，，当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以，解得或，

因此的取值范围为．

20．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．

（1）求数列，的通项公式．

（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。

【详解】方案一：选条件①

（1）

解得或（舍去）

（2）

方案二：选条件②

（1）

解得或（舍去）

（2）

方案三：选条件③

解得或（舍去）

（2）

【点睛】此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。

21．2020年春节期间，湖北武汉爆发了新型冠状病毒肺炎，国家卫健委高级别专家组组长钟南山建议大家出门时佩戴口罩，一时间各种品牌的口罩蜂拥而出，为了保障人民群众生命安全和身体健康，C市某质检部门从药店随机抽取了100包某种品牌的口罩，检测其质量指标．

（1）求所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①已知口罩的质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某药店购买了3包这种品牌的口罩，记这3包口罩中质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和方差．

附：①计算得所抽查的这100包口罩的质量指标的标准差为\；

②若，则，．

【答案】（1）26.5；（2）①0.4772；②分布列见解析，方差为．

【分析】（1）由样本数据，每组区中间值5，15，25，35，45，计算平均数即可.

（2）①服从正态分布，且，，根据题目所给信息，可得，进而可求出结果.

②根据题意得，由二项分布公式，依次求出随机变量的概率，进而可求分布列和方差.

【详解】（1）所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数为

．

（2）①∵服从正态分布，且，，

∴落在内的概率是0.4772．

②根据题意得，

，

，

．

∴X的分布列为：

．

【点睛】本题考查了频率分布表、正态分布和二项分布，考查了运算求解能力和数据分析能力，属于基础题目.

22．已知函数，.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值；

（2）设函数.当时，若区间上存在，使得，求实数的取值范围.（为自然对数底数）

【答案】(1)当时，取得极小值；(2).

【分析】（1）求出函数的导数，计算的值，求出，从而求出的单调区间，求出函数的极值即可；（2）令，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的范围即可.

【详解】（1）（），因为曲线在点（1，f（1））处的切线与直线垂直，所以，即，解得．所以， ∴当时，，在上单调递减；当时，，f（x）在（2，+∞）上单调递增；∴当x=2时，f（x）取得极小值，∴f（x）极小值为ln2．

（2）令，

则，

欲使在区间上上存在，使得，

只需在区间上的最小值小于零．

令得，或．

当，即时，在上单调递减，则的最小值为，

∴，解得，

∵，

∴；

当，即时，在上单调递增，则的最小值为，

∴，解得，

∴；

当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

则的最小值为，

∵，∴，

∴，此时不成立．

综上所述，实数m的取值范围为.