2022-2023学年陕西省榆林市横山中学高二下学期期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省榆林市横山中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数（为虚数单位），为的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的除法运算计算可得.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：D

2．用反证法证明“在同一平面内，若，，则时”应假设（    ）

A．不垂直于 B．，都不垂直于

C． D．与不平行

【答案】D

【解析】根据反证法的定义，假设原命题结论不成立，即与不平行，即得结果.

【详解】∵反证法是直接证明比较困难时采用的一种方法，

其做法为：假设原命题不成立（在原命题的条件下，假设结论不成立），

经过正确的推理，最后得出矛盾，说明假设错误，证明原命题成立，

∴本题假设原命题结论不成立，即与不平行，

故选：D

【点睛】本题为反证法问题的常见题型，需要学生掌握反证法证明问题的相关知识，即在原条件不变的情况下，假设结论不成立，根据条件推出与公理，定义，定理等有矛盾，考查学生对反证法解决问题基本思路的掌握情况，为容易题.

3．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数运算法则，即可计算判断.

【详解】A. ，A错误；B. ，B正确；

C. ，C错误；D. ，故D错误.

故选：B

4．已知函数的导函数为,且，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】A

【分析】根据导数的概念与瞬时变化率对所求式子化简，即可结合已知得出答案.

【详解】，

故选：A.

5．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复合函数的求导法则即可求解.

【详解】因为函数，

所以，

，

故选：.

6．若，则（    ）

A． B．1 C．15 D．16

【答案】C

【分析】利用赋值法结合条件即得.

【详解】因为，

令得，，

令得，，

所以，．

故选：C.

7．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【分析】根据分类计数加法原理，结合平均分组以及不平均分组方法求解.

【详解】6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，

可分两种情况考虑：

第一种：分人数为的三组，共有种；

第二种：分人数为的三组，共有种；

所以不同的安排方法共有种，

故选：A.

8．函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据图象观察斜率的大小以及导数的几何意义可得答案.

【详解】从的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0，

根据导数的几何意义可得，即.

故选：C

9．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【分析】分水闸关闭，水闸打开时，同时关闭，水闸打开时，同时关闭，三种情况，去掉重复的情况，得到答案.

【详解】①水闸关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况，

②若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况，

③若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况，

上面②③两种情况有重复的1种情况，就是水闸打开，同时关闭的情况，

故共有种情况.

故选：B

10．中国古人所使用的音阶是“五声音阶”，即“宫徵（zhǐ）商羽角（jué）”五个音，中国古代关于这五个音阶的律学理论，叫做“三分损益法”，相关记载最早见于春秋时期《管子·地缘篇》．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”两层含义，“三分损一”是指将原有长度作三等分而减去其一份生得长度，“三分益一”是指将原有长度作三等分而增添其一份生得长度．具体来说，以一段圆径绝对均匀的发声管为基数——宫（称为“基本音”），宫管的“三分损一”为徵管，徵管发出的声音即为徵，徵管的“三分益一”为商管，商管发出的声音即为商，商管的“三分损一”为羽管，羽管的“三分益一”为角管，由此“宫、徵、商、羽、角”五个音阶就生成了．关于五音，下列说法中不正确的是（    ）

A．五音管中最短的音管是羽管

B．假设基本音的管长为81，则角管的长度为64

C．五音管中最长的音管是商管

D．类比题中的“三分损益”可推算：商的“四分损一”为徵

【答案】C

【分析】设宫管的长为a，即可表示出徵、商、羽、角的管长，即可判断A，B，C；根据“三分损益”的含义可求得商的“四分损一”为徵，判断D.

【详解】不妨设宫管的长为a，则徵管的长为，商管的长为，

羽管的长为 ，角管的长为，

而，

故最长的音管是宫管，最短的音管是羽管，故选项A正确，选项C错误；

令，即基本音的管长为81，则，即角管的长度为64，故选项B正确；

商的“四分损一”为，即为徵，选项D正确，

故选︰C．

11．已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出，分三种情况讨论，求出单调区间、极值点，结合零点存在性定理，列出关于的不等式即可求出实数的取值范围．

【详解】，则，又，

①当时，有两个零点，不合题意；

②当时，令，或，

当时，或；当时，；

递增区间为，，递减区间为，

而，，

在存在一个零点，因为函数在R上只有一个零点，

所以在上不能有零点，

因为时，在上取得最小值，

故，解得，

③当 时，当时，或；当时，；

的递减区间为，，递增区间为，

，，在存在唯一零点，

因为函数在R上只有一个零点，

所以在上不能有零点，

因为时，在上取得最小值，

故，解得，

综上，实数的取值范围为．

故选：C．

12．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数讨论单调性，可得，即，化简即可得答案．

【详解】令，

则，

当，即，，，

所以，在上单调递增，

因为,

所以有，

即，

所以有，

即，

所以有．

故选：A．

二、填空题

13．已知某物体在平面上做变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为      米/秒．

【答案】/5.25

【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．

【详解】因为，

所以，

当时，．

故答案为：．

14．若组合数和满足，则      ．

【答案】8

【分析】根据组合数和排列数的计算公式进行求解.

【详解】由得，

又，所以．

故答案为：8.

15．若函数在处取得极小值，则      ．

【答案】8

【分析】首先根据，求的值，再代入导函数，判断函数的单调性，进行验证.

【详解】，，

由题意可知，，得，

则，得或，

与的变化情况如下图，

所以.

故答案为：

16．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容为：如果函数在区间上的图像连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫作在上“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的拉格朗日中值点的个数为      ．

【答案】3

【分析】首先根据拉格朗日中值点的定义，得到，再利用数形结合，转化为函数图象的交点个数.

【详解】，设为函数在上的拉格朗日中值点，

所以，即，

当，，

如图，与有3个交点，即拉格朗日中值点的个数为3个.

故答案为：3

三、解答题

17．已知函数的导数为，且．

(1)求函数的解析式；

(2)求曲线在点处的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出原函数的导函数，把分别代入两函数解析式，可得关于与的方程组，求解后即可得到函数的解析式；

（2）由（1）可得原函数的导函数，得到与的值，再由直线方程的斜截式得答案．

【详解】（1）由，

得，

，解得．

；

（2）∵，

∴．

∴，．

∴所求切线方程为，

即．

18．从6名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）

(1)甲､乙两人必须跑中间两棒；

(2)若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒．

【答案】(1)24

(2)72

【分析】（1）由甲､乙两人必须跑中间两棒，甲乙之间会有一个排列，余下的两个位置需要在剩余4人中选出共有种，根据分步计数原理即可求解.

（2）由题意可将甲乙两人捆绑，并且有种结果，其余4人选出两人和甲乙组合成三个元素的排列共有种结果，再根据分步计数原理即可求解.

【详解】（1）甲､乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种，

故有种；

（2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，

故有种．

19．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件：

(1)与原点重合；

(2)位于直线上；

(3)位于第一象限或者第三象限.

【答案】(1)

(2)或

(3)或.

【分析】（1）（2）（3）根据复数的几何意义，结合表示的点所处位置，列出相应的方程或不等式，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得复数z满足时，表示的点与原点重合,

解得.

（2）当时，表示复数的点位于直线上，

解得或.

（3）方法一：由题意可得或，

解，得或，解，解集为，

故或.

方法二：由题意得或.

20．已知的展开式中，所有项的系数之和是512．

(1)求展开式中含项的系数；

(2)求的展开式中的常数项.

【答案】(1)27

(2)

【分析】（1）利用赋值法得所有项的系数和，求解n，然后利用二项式展开式通项公式求解即可；

（2）把式子化简为，然后分别利用二项式展开式通项公式求解常数项即可.

【详解】（1）因为的展开式中，所有项的系数之和是512．

所以令，得，所以，

所以的展开式通项公式为，

令，解得，所以展开式中含项为，

所以展开式中含项的系数为27.

（2）由（1）知，，从而，

因为的展开式的通项为，

所以的常数项为，

又的常数项为，

所以的展开式中的常数项为.

21．已知函数，（其中为自然对数的底数，）．

(1)若时，试确定函数的单调区间；

(2)若函数恰有个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是

(2)

【分析】（1）求导后，令导数大于0得到增区间，令导数小于0得到减区间；

（2）由可知是偶函数，又，从而得到函数恰有4个零点等价于函数（）恰有2个零点．求导后得到，从而可得，求解即可.

【详解】（1）当时，，∴．

由，解得；由，解得．

∴的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）由可知是偶函数，

又，

∴函数恰有4个零点等价于函数（）恰有2个零点．

令，解得，

∵，∴，

∴当时，；当时，．

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

又，当时，，

∴，

∵，∴，解得．

所以实数的取值范围是．

【点睛】方法点睛:

已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;

（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

22．已知函数存在两个极值点，，且．

(1)求的取值范围；

(2)若，求正实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，对函数进行求导，将函数存在两个极值点转化成方程在有两个不同的解，列出不等式求解即可；

（2）结合（1）得到和之间的关系，对进行整理，根据，得到，通过构造新函数，将问题转化成新函数的最值问题，进而即可求解．

【详解】（1）∵，

又函数存在两个极值点，，

∴在上有两个不同的解，

∴即方程在有两个不同的解，

∴解得．

∴实数的取值范围为．

（2）由（1）知，，

∴

，

∵，

∴，

∴，

又，，∴，

令，，

∴，

∵，∴，

由，得；由，得

∴在上单调递减，在单调递增，

则

令，则，解得，

∴

又因为,所以.

【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立