2022-2023学年陕西省榆林市横山中学高二下学期期中数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省榆林市横山中学高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．命题：，的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，.

故选：D

2．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化简集合A，B，根据集合的交集运算求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：B

3．已知复数满足（其中为虚数单位），则=（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先对化简求出复数，然后可求出其共轭复数

【详解】由，得，得，

得，

所以，

故选：C

4．点的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为（    ）

A． B． C． D．.

【答案】B

【分析】根据直角坐标化极坐标的方法求解即可.

【详解】设它的极坐标为

在第二象限，且

则它的极坐标可表示为

故选：B

【点睛】本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.

5．已知均为实数，且，则下列不等式成立的是（     ）

A． B．>

C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质及对数的性质判断，可举反例说明．

【详解】选项A，若，，满足，但，A错误；

选项B，若，满足，但此时，

，B错误；

选项C，，则，，则，∴，即，C正确；

选项D，由得，所以，D错误．

故选：C．

6．已知复数满足，在复平面内对应的点在第二象限，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意设，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.

【详解】设，则，因为，

所以，

所以，所以，解得或（舍去），

所以.

故选：C

7．已知直线的参数方程为，则该直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.

【详解】由参数方程可知：直线斜率，直线倾斜角为.

故选：D.

8．设为实数，且，则“”是“的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由不能推出，如，，，，

满足，但是，故充分性不成立；

当时，又，可得，即，故必要性成立；

所以“”是“的必要不充分条件.

故选：B.

9．甲，乙，丙三人打靶，他们的命中率分别，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为，已知“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”是相互独立事件，则的值分别为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由独立事件的概率公式列方程组求解．

【详解】由题意，解得．

故选：C．

10．四个人做一道选项为的选择题，四个同学对话如下：

赵：我选；钱：我选当中的一个；孙：我选；李：我选；

四个人每人选了一个选项，而且各不相同，其中只有一个人说谎，则说谎的人可能是谁？（     ）

A．赵，钱 B．钱，孙 C．孙，李 D．李，赵

【答案】C

【分析】假设赵同学说谎，由条件确定是否存在满足条件的选择方法，由此判断其是否说谎，再同理判断其他同学是否说谎.

【详解】假设赵同学说谎，则赵同学不选A，又孙同学选C，李同学选D，钱同学选B，与条件四个人每人选了一个选项，而且各不相同矛盾，故赵同学没说谎，排除选项AD，

若钱同学说谎，则钱同学选A，又赵同学选A，与条件四个人每人选了一个选项，而且各不相同矛盾，故钱同学没说谎，排除选项B，

若赵同学选A，钱同学选C，孙同学选B，李同学选D，则满足条件，同时有且仅有孙同学说谎，若赵同学选A，钱同学选D，孙同学选C，李同学选B，则满足条件，同时有且仅有李同学说谎，故可能说谎的同学为孙同学和李同学，选项C正确，

故选：C.

11．下列命题正确的是（     ）

A．“” 的否定为假命题

B．若，则

C．若“”为真命题，则

D．的必要不充分条件是

【答案】B

【分析】A选项，先写出存在性命题的否定命题，然后得到，A正确；B选项，由基本不等式得到；C选项，考虑与，结合根的判别式得到答案；D选项，举出反例得到充分性不成立，由推出，必要性成立，

【详解】A选项，“” 的否定是“”，

因为，所以，为真命题，A错误；

B选项，若，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，

即，解得或（舍去），

故，B正确；

C选项，若“”为真命题，当时，，不对任意恒成立，不合要求，

当时，则，解得，

综上所述，，C错误；

D选项，，若，则不能得到，充分性不成立，

若，则，故，必要性成立，D正确.

故选：B

12．已知，则的取最小值时，为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】利用柯西不等式求出的最小值，从而可求出，进而可求出的值

【详解】由柯西不等式得：

则．则根据等号成立条件知，，，

所以

故选：B

二、填空题

13．复数满足，则的值是      ．

【答案】

【分析】先求出复数，然后根据复数模的运算规则求出.

【详解】解：因为复数满足，

所以，

所以，

故答案为：.

14．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是      ．

【答案】

【分析】列出循环的每一步，即可得出输出的的值.

【详解】第一次循环，成立，，；

第二次循环，成立，，；

第三次循环，成立，，；

第四次循环，成立，，；

第五次循环，成立，，；

第六次循环，成立，，；

第七次循环，成立，，，

不成立，跳出循环体，输出的值为.

故答案为：.

15．已知，，都是正实数，且，则的最大值是      .

【答案】

【分析】由题意可得，即，由此求得的最大值．

【详解】解：，，是正实数，且，，

当且仅当，即时，等号成立

，，即的最大值为．

故答案为：．

16．近年来，某市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多，某周末，甲、乙两位市民准备从A公园、公园、公园、公园4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件:甲和乙至少一人选择公园，事件：甲和乙选择的景点不同；易知，甲、乙两人随机选择景点所有的情况有种，甲、乙两人都不选公园的情况有种，那么，经计算可以得出条件概率        ．

【答案】

【分析】根据条件概率的定义计算．

【详解】由题意，，

∴．

故答案为：．

三、解答题

17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常进行体育锻炼与性别因素的相关性，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表.

已知从这100名学生中任选1人，经常进行体育锻炼的学生被选中的概率为.

(1)完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，判断能否有95%的把握认为该校学生是否经常进行体育锻炼与性别因素有关.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)有95%的把握认为该校学生是否经常进行体育锻炼与性别因素有关

【分析】（1）设这100名学生中经常进行体育锻炼的学生有x人，则，解得.，即可完成列联表；

（2）求出，与3.841比较大小即可得结论.

【详解】（1）设这100名学生中经常进行体育锻炼的学生有x人，则，解得.

列联表完成如下：

（2）由（1）可知，，

∴有95%的把握认为该校学生是否经常进行体育锻炼与性别因素有关.

18．在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为为参数，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .⁤

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)设点 ，直线与曲线的交点为 ，求的值.

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）由公式化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）利用直线参数方程的几何意义，把直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，结合韦达定理求解．

【详解】（1）∵曲线C的极坐标方程为，

∴，即．

∴．

∴曲线C的直角坐标方程为．

（2）直线（t为参数）过点，设A对应参数为，B对应参数为，

将l的参数方程代入，

得，

∴，．

∴．

19．已知函数

(1)若，解不等式;

(2)若，且的最小值为求证.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可；

（2）利用三角不等式求得的最小值，得到，再利用基本不等式证明即可．

【详解】（1）当时，函数

①当时，由，即，解得，所以，

②当时，由，即，解得，所以；

③当时，由，即，解得，所以.

综上，不等式的解集为.

（2）因为，

当，即时，取到最小值，

所以，即.

所以，当且仅当时等号成立.

即成立.

20．党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018～2022年的研发人数作了相关统计（年份代码1～5分别对应2018～2022年）如下折线图:

(1)根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数 与年份代码的相关系数 ，并由此判断其相关性的强弱；

(2)试求出关于的线性回归方程.

参考数据：

参考公式：相关系数，当时认为两个向量间的相关性较强，回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

【答案】(1)0.988，该公司研发人数y与年份代码x有较强的相关性

(2)

【分析】（1）由已知数据计算出相关系数，然后比较可得；

（2）根据已知数据求得回归方程的系数即可得．

【详解】（1）由题知，∴，

∴，

∴该公司研发人数y与年份代码x有较强的相关性．

（2）由（1）得，，

∴线性回归方程为．

21．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数).设直线与的交点为P，当变化时点P的轨迹为曲线.

(1)求出曲线的普通方程;

(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）消参得两直线的普通方程，两式相乘可得，再由，可得；（2）直线的直角坐标方程与的参数方程，设点，代入点到直线的距离公式，利用三角函数的性质即可求得最大值.

【详解】（1）分别消去，的参数方程中的参数，得，的普通方程为

，，两式相乘消去可得，

因为，所以，所以曲线的普通方程为

（2）因为，所以，所以直线的直角坐标方程为.结合（1）知曲线与直线无公共点，

曲线的参数方程为(为参数，，)，

所以曲线上的点到直线的距离

，

所以当时，取得最大值，为.

22．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为 的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.

(1)求乙连负两场的概率；

(2)求甲获得冠军的概率；

(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）乙在第1场、第4场均负，利用独立事件的乘法公式进行求解；

（2）分析出甲获胜的情况，得到各个情况下的概率，相加后得到答案；

（3）分乙的决赛对手是甲，丙，丁，分析出各场比赛胜负情况，求出相应的概率，相加后得到答案.

【详解】（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，

∴乙连负两场的概率为；

（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：

1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，

∴甲获得冠军的概率为：．

（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：

甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，

∴甲与乙在决赛相遇的概率为：．

若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：

乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，

若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：

，

若乙的决赛对手是丁，和乙的决赛对手是丙情况相同，

∴乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：．