2022-2023学年辽宁省沈阳市级重点高中联合体高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省沈阳市级重点高中联合体高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正态分布的对称性可求解.

【详解】因为，所以，

所以．

故选：D

2．在等比数列中，若，则（    ）

A．8 B．6 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质可得，再根据对数的运算性质即可求得答案.

【详解】在等比数列中，由，根据等比中项可得，

所以，

故选：B．

3．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题设易知服从超几何分布，根据目标式对应概率的含义即可得答案.

【详解】由题意，随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，

所以．

故选：A

4．数列是首项为的等差数列，若，则的通项公式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设公差为，由，可得，从而即可得答案.

【详解】解：设公差为，

则，解得，

所以数列的通项公式是．

故选：A．

5．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出，利用条件概率的公式即可求解.

【详解】由，得．

因为，

所以．

故选：C．

6．已知等比数列为递增数列，若，且与的等差中项为20，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意列出方程组，求得数列首项和公比，即可求得答案.

【详解】设，由题意得，即

解得或，

由于等比数列为递增数列，则不合题意；

所以该数列的前项和为．

故选：A．

7．某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】可由斜率之和为1，，，构建的等式求出，再用方差公式求方差即可.

【详解】分布列的概率之和为1，

，即①．

，

②．

，

，

依次代入②､①，解得，

则．

故选：D．

8．中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现图1是古建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古建筑屋顶截面的示意图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举､步之比分别为，且构成首项为0.114的等差数列．若直线的斜率为0.414，则该数列的公差为（    ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式，以及斜率公式，建立方程，可得答案.

【详解】不妨设，则．

由题意，知，即．

设该数列的公差为．因为，

所以，解得．

故选：C．

二、多选题

9．已知等差数列的公差为d，前项和为，且，，则（    ）

A． B．

C． D．当或2时，取得最小值

【答案】ABD

【分析】对于A：根据题意列式求解可得，即可得结果；对于B：根据等差数列的通项公式分析判断；对于C：根据通项公式运算求解；对于D：先根据等差数列的求和公式求出，再结合二次函数的对称性分析判断.

【详解】由题意可得，解得，故A正确；

所以，故B正确；

所以，故C错误；

所以．

因为，所以当或时，取得最小值，故D正确．

故选：ABD．

10．下列命题为真命题的有（    ）

A．若随机变量的方差为，则

B．已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为

C．对于随机事件与，若，，则事件与独立

D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关

【答案】BC

【分析】A利用方差性质求新方差；B根据回归方程系数的正负判断；C应用对立事件的概率、条件概率公式及独立事件的判定即可判断；D根据独立检验的基本思想即可得结论.

【详解】因为，所以，故A错误；

由，得样本点的残差为，故B正确；

由，得，所以，即事件与独立，故C正确；

根据，故没有的把握认为与有关，故D错误．

故选：BC．

11．已知数列，，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

【答案】ABD

【分析】A选项，利用递推关系求出；B选项，根据推出，进而求出，；CD选项，根据B选项，求出，得到C错误，D正确.

【详解】A选项，由，得，则，所以，所以，故A正确；

B选项，由，得，所以，即，

所以数列的奇数项和偶数项，均是以2为公比的等比数列，

，

故，故B正确；

CD选项，，故C错误，正确．

故选：ABD．

12．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的号码，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求方差公式求出方差.

【详解】设“向右下落”， “向左下落”，

则，

因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，

所以，于是，同理可得：，A正确，B错误；

由二项分布求方差公式得：，C错误，D正确.

故选：AD

三、填空题

13．在散点图中，若所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则相关系数          ．

【答案】1

【分析】根据相关系数的含义分析可得.

【详解】当散点图的所有点都在一条斜率为非0实数的直线上时，它的残差为0，残差的平方和为0，所以它的相关系数为，即．

故答案为：1．

14．在等比数列中，已知，，，则的值为          ．

【答案】4

【分析】利用等比数列前项和公式，将首项和公比代入即可解得.

【详解】由题意可得，解得．

故答案为：4

15．已知数列中，，且数列为等差数列，则             .

【答案】

【详解】试题分析：由题意得:

【解析】等差数列通项

四、双空题

16．假设某市场供应的一种零件中，甲厂产品与乙厂产品的比是，若甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则在该市场中随机购买一个零件，是次品的概率为          ；如果买到的零件是次品，那么它是乙厂产品的概率为          （结果精确到）．

【答案】     /    

【分析】设事件为购买的零件是甲厂产品，事件为购买的零件是乙厂产品，事件为购买的零件是次品，利用全概率公式可求得的值，利用贝叶斯公式可求得的值.

【详解】设事件为购买的零件是甲厂产品，事件为购买的零件是乙厂产品，事件为购买的零件是次品，

则，，，，

所以．

因为，所以．

故答案为：；．

五、解答题

17．已知数列满足，且．设．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设数列，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据递推公式，利用辅助数法，整理等式，结合等差数列定义，可得答案；

（2）根据等差数列的通项公式，写出所求数列的通项公式，利用裂项相消求和，可得答案.

【详解】（1）证明：因为，所以，

所以，即．

又因为，所以数列是首项为2､公差为1的等差数列．

（2）由（1）知，

所以，

所以．

18．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，，甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．

(1)从甲､乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．

【答案】(1)派甲参赛赢得比赛的概率更大

(2)

【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式求出甲、乙赢得比赛的概率，即可判断；

（2）记事件为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，利用对立事件与相互独立事件的

概率公式求出，即可得解.

【详解】（1）记事件为“甲在第一轮比赛中胜出”，为“甲在第二轮比赛中胜出”，

为“乙在第一轮比赛中胜出”，为“乙在第二轮比赛中胜出”，

则相互独立，且．

因为在两轮比赛中均胜出视为赢得比赛，

则为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，

所以，

．

因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大．

（2）记事件为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，

则“两人中至少有一人赢得比赛”．

由（1）知，，，

所以，

，

所以，

故两人中至少有一人赢得比赛的概率为．

19．已知等比数列的前项和为，，．

(1)求等比数列的通项公式；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等比数列的求和公式及通项公式可求解；

（2）利用等比数列的定义及等比数列的求和公式可求解.

【详解】（1）由题意，可知．

因为，所以，

即，解得，

所以．

（2）由（1）知，则，

所以，且，所以数列是以1为首项､公比为的等比数列，

所以．

20．如图是某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车的年销售量（单位：万辆）的散点图，记年份为，2，3，4，，已求得部分统计量的值．

  (1)根据散点图，可判断该公司汽车的年销售量与年份之间的相关关系是___________相关；（填“正”或“负”

(2)请用作为年销售量与年份的回归方程类型，求关于的回归方程；

(3)预测2023年该公司新能源汽车的年销售量．

附：，．

【答案】(1)正

(2)

(3)96.5万辆

【分析】（1）根据散点图的走向，可得答案；

（2）根据回归直线参数的求解公式，可得答案；

（3）根据（2）得到的回归方程，代入数据，可得答案.

【详解】（1）正

（2）令，则，

，．

所以，

，

所以关于的回归方程为，

故关于的回归方程为．

（3）由（2）可得．

令，则．

故预测2023年该公司新能源汽车的年销售量为96.5万辆．．

21．已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球，现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．

(1)若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；

(2)若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量，求随机变量的分布列与数学期望

【答案】(1)

(2)分布列详见解析，数学期望.

【分析】（1）连续取3个球有种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个有种方法，再结合概率公式，即可求解．

（2）由题意可得，随机变量所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，即可求解分布列，再求数学期望．

【详解】（1）连续取3个球有种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个有种方法，

故恰好取到3种颜色球的概率

（2）由题意可得，随机变量所有可能取值为4，5，6，7，8，

当时，两个红球和一个白球，则，

当时，两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球，则，

当时，一个红球和一个白球和一个黑球，则，

当时，一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球，则，

当时，两个黑球和一个白球，则，

故随机变量的分布列为：

数学期望.

22．记为数列的前n项和，为数列的前n项和，已知．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由前n项和与通项之间的关系即可证明数列是等比数列；

（2）以错位相减法求数列的前n项和即可解决．

【详解】（1）因为为数列的前n项和，

当时，，则

当时，

①    ②，

①－②得，得

所以数列是首项为1公比为的等比数列．

（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以．当时，，

当时，，

显然对于不成立，所以

当时，

当时，

上下相减可得

则

又时，

综上，