2022-2023学年江西省余干县黄金埠中学高二下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省余干县黄金埠中学高二下学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省余干县黄金埠中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1．数列的一个通项公式是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，，……，即可得到.【详解】因为，，，，，……，所以.故选：B2．已知数列满足，.若数列是常数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】数列是常数列，则，即可解出【详解】∵数列满足，，∴.∵数列是常数列，∴，解得.故选：A.3．已知函数，则（    ）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】先求出导数，再把代入可得答案.【详解】因为，所以，所以.故选：C.4．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出导函数，然后令求得后易得．【详解】由题意，所以，．故选：C．5．下列求导运算结果正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由导数的求导法则及复合函数的导数依次判断即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：C.6．已知函数满足条件：当时，，则下列不等式正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，由的单调性进行判断，【详解】构造函数.在恒成立，在上是增函数， 对于A，由得，故A错误，对于B，D，由，即，，故B，D错误， 对于C，由得，故C正确，故选：C7．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8．已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为(    )A． B． C． D．【答案】A【分析】由得，两式相减可得数列的规律，由此可求的通项公式，从而求出其前n项和，根据通项公式的特征，采用裂项相消法即可求出结果．【详解】∵，(*)，∴，解得．，∴，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，．当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2为首项，2为公差的等差数列，故，，设的前n项和为，则．故选：A． 二、多选题9．为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ）A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强【答案】ABC【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可．【详解】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误．故选：ABC．10．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ）A．在区间上有2个极值点B．在处取得极小值C．在区间上单调递减D．的图像在处的切线斜率小于0【答案】BCD【分析】根据导函数的图像，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，分析判断ABC，对于D，由于的图像在处的切线斜率为，从而可由导函数的图像判断【详解】根据的图像可得，在上，，∴在上单调递减，∴在区间上没有极值点，故A错误，C正确；由的图像易知B正确；根据的图像可得，即的图像在处的切线斜率小于0，故D正确.故选：BCD.11．下列结论正确的是（    ）A．若为等比数列，是的前项和，则，，是等比数列B．若为等差数列，是的前n项和，则，，是等差数列C．若为等差数列，且m，n，p，q均是正数，则“”是“”的充要条件D．满足（且）的数列为等比数列【答案】BD【分析】根据等差数列前项和性质及等比数列定义判断，利用特例判定其余错误选项.【详解】若为等比数列，设公比为， 是的前项和，设，当时，，，，，，不是等比数列，所以A选项错误；若为等差数列，是的前项和，设公差为，则，，，所以，，是等差数列，所以B选项正确；为等差数列，考虑，，所以C选项错误；根据等比数列定义,数列，（且）的数列为等比数列，所以D选项正确.故选：12．已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（    ）A．当时，B．的取值范围为C．当时，的取值范围为D．当时，的取值范围为【答案】AC【分析】对A选项，对求导，得到其最值即可判断，对B选项，将看成整体解出或，通过图像找到所在位置，依据，假设通过消元解出范围，再通过数形结合求出的范围，两者比较即可，对C,D通过减少变量，将式子化为，然后转化为的范围进行分类讨论即可判断.【详解】当时，，此时，令，解得，令，解得，可得在上单调递减，在上单调递增，且，∴当时，，故A正确；作出如图所示图像：由有6个不同的零点，等价于有6个不同的实数根，解得或，∵，∴若，可得，而当时，，可得，而；当时，，可得而，故的范围为的子集，的取值范围不可能为，故B选项错误；该方程有6个根，且，知且，当时，，，联立解得，，故C正确；当时，，，联立解得，．故D错误.故选：AC.【点睛】关键点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解出其值，然后通过图像分析，转化为直线与图像的交点情况，对于C,D选项式子，我们谨记要减少变量，将其转化为一个或两个变量的相关式子，常见的如，有两根，则，如一元二次方程存在实数解，则. 三、填空题13．某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为          ．【答案】 40【详解】分析：令v′=60x﹣=0，解得x=40，明确函数的单调性，由此能求出当箱子的容积最大时，箱子的底面边长．详解：∵V（x）=x2（）（0＜x＜60），∴v′=60x﹣，0＜x＜60，令v′=60x﹣=0，解得x=0（舍去），或x=40，并求得V（40）=16000．当x∈（0，40）时，v‘（x）＞0，v（x）是增函数；当x∈（40，60）时，v′（x）＜0，v（x）是减函数，v（40）=16000是最大值．∴当箱子容积最大，箱子的底面边长为40．故答案为40．点睛：求函数最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 求出函数的极值 （5）把极值与端点值进行比较得到函数的最值.14．曲线在处的切线方程为      ．【答案】【分析】利用导数的几何意义求解，对函数求导，然后求出就是切线的斜率，再求出，再利用点斜式可求出切线方程【详解】由，得，所以切线的斜率为，因为，所以曲线在处的切线方程为，即，故答案为：15．已知函数，若存在，，使得在区间的最小值为－1且最大值为1，则符合条件的一组，的值为         ．【答案】a=4，b=1（答案不唯一）【分析】求导数，讨论函数有区间内的单调性，找到最大值和最小值.【详解】，，不妨令，在区间[0，1]上恒成立，在区间[0，1]上单调递减，此时要满足题意则，解得．符合条件的一组a，b的值为：故答案为：a=4，b=116．已知是定义在上的奇函数， 是的导函数，当时， .若，则不等式的解集是        .【答案】【分析】构造函数 ，运用条件求出 的单调性，再根据函数 的奇偶性求解.【详解】设 ，则 ， 在 时是单调递增的， ， 时 ， 时， ， ， ；设 ，则 ， 是偶函数， 时， 的解是 ；故答案为： . 四、解答题17．证明不等式：，【答案】证明见解析【分析】构造，利用导数研究在上单调性并确定最小值，即可证明结论.【详解】由题设，要证只需证即可，令，则，而，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；故，即在上恒成立，∴，得证.18．已知函数.（1）当时，求函数的极大值点；（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）是函数的极大值点；（2）整数的最小值为.【分析】（1）当时，，令，则，利用导数性质可得函数的极大值点；（2）由题意得，即，再证明当时，不等式成立，即证，由此能求出整数的最小值为.【详解】解：（1）当时，，令，则，所以当时，，当时，，即在内为增函数，在内为减函数，又，，所以不管在内是否有零点，都不可能是极大值点，所以函数在内是增函数，在内是减函数，所以是函数的极大值点；（2）由题意得，即，现证明当时，不等式恒成立，即，即证恒成立，令，则，当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以的最大值为，所以当时，不等式恒成立，综上所述，整数的最小值为.【点睛】本题考查导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，是高考的常考点和难点，属于难题.19．已知函数.(1)当时，证明：；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据导数可求函数的单调性，根据单调性求出函数的最大值即可；（2）令，利用二次求导，通过分类讨论判断函数的单调性，从而可求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，易知函数，都是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，故.（2）由，得，设，则，设，则，当时，易知，所以在R上是减函数，即在R上是减函数.又，，所以存在，使得，当时，，单调递增，则，不符合题意； 当时，由（1）可知，满足题意；当时，易知在上单调递减，又，则在上单调递减，即在上单调递减.又，，则存在，使得，所以当时，，单调递减，则，不符合题意；当时，因为，所以不符合题意.综上可知，实数的取值范围为.20．已知等比数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【详解】（1），，，故，即．，令，得到．是等比数列，公比为3，且，，．（2），，．两式相减，得，故21．已知等差数列的公差为，前项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式表示已知条件，求得首项和公差，进而得解；（2）利用求和公式求得，然后利用裂项求和法求解.【详解】解：（1）因为，所以，即，整理得，又因为，所以，即，所以；（2）由（1）知，所以，，所以．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查裂项求和法，关键是由已知得到，然后相消求和.22．给定函数.(1)判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；(2)画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；(3)求出方程的解的个数.【答案】(1)函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；(2)具体见解析；(3)具体见解析. 【分析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值；（2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象；（3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案.【详解】（1），时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.（2）作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.（3）结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.