2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先求，再由复数的几何意义确定复数对应的点位置及象限.

【详解】因为，所以，故复数对应的点为，该点在第四象限，

故选：D.

2．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依据双曲线性质，即可求出．

【详解】由双曲线得， ，即 ，

所以双曲线的渐近线方程是，

故选：D．

【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程是；双曲线的渐近线方程是．

3．如图，为了估计函数的图象与直线，以及轴所围成的图形面积（阴影部分），在矩形中随机产生个点，落在阴影部分的样本点数为303个，则阴影部分面积的近似值为（    ）

A．0.698 B．0.606 C．0.303 D．0.151

【答案】B

【解析】先求出矩形面积为，设区域面积为，利用几何概型的概率公式列等式求出的值，即可得出结果.

【详解】设阴影部分区域的面积为，由几何概型概率公式知，则，解得，

则该阴影部分区域面积的近似值为.

故选：B．

【点睛】本题考查利用几何概型求区域面积，考查计算能力，属于基础题．

4．下列命题错误的是（    ）

A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B．命题“∀，”的否定是“，”

C．若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】B

【分析】根据逆否命题的定义，命题的否定的定义，复合命题的真假与充分条件必要条件的定义判断各命题．

【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，A正确；

命题“∀，”的否定是“，”，B错误；

若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题，C正确；

时成立，但时有或，因此“”是“”的充分不必要条件，D正确．

故选：B．

5．的展开式中含的项的系数为（    ）．

A．20 B． C． D．15

【答案】B

【解析】根据二项式定理得到展开式的通项，分析求得所需项的系数.

【详解】的展开式中含的项为：．

故选：B.

6．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组40个.每组计数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（    ）

A．甲比乙的极差大

B．乙的中位数是18

C．甲的平均数比乙的大

D．乙的众数是21

【答案】B

【解析】通过茎叶图分别找出甲、乙的最大值以及最小值求出极差即可判断A；找出乙中间的两位数即可判断B；分别求出甲、乙的平均数判断C；观察乙中数据即可判断D；

【详解】对于A，由茎叶图可知，甲的极差为，乙的极差为，故A正确；

对于B，乙中间两位数为，故中位数为，故B错误；

对于C，甲的平均数为，

乙的平均数为，故C正确；

对于D，乙组数据中出现次数最多的为21，故D正确；

故选：B

【点睛】本题考查了由茎叶图估计样本数据的数字特征，属于基础题.

7．2022年我校初升高学生访校活动期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去慧阅读中心、智创中心和学生发展中心参与讲解工作，要求每个中心至少一人，则甲乙被安排到同一个中心的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分组分配问题的计数，并结合古典概型计算概率即可.

【详解】安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去慧阅读中心、智创中心和学生发展中心参与讲解工作，要求每个中心至少一人，则基本事件总数为种，

甲乙被安排到同一个中心的基本事件有种，

所以，甲乙被安排到同一个中心的概率为.

故选：C

8．函数的图像大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.

【详解】由函数，令，即，解得或，

所以当或时，；当时，，可排除A、C项；

又由，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则可排除B项，选项D符合题意.

故选：D.

9．已知为抛物线准线上一点，过作圆：的切线，则切线长最短为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据切线长定理，求出点到圆的圆心距离最小值即可作答.

【详解】抛物线准线方程为，圆的圆心，半径，

因此点与圆心距离的最小值为，

令过点向圆所作切线的切点为，于是，，

所以切线长最短为.

故选：A

10．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用空间向量求出异面直线与所成角的余弦值作答.

【详解】在平行六面体中，，，

，，

则，而，且，

于是，

因此，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：C

11．已知函数，，若方程有2不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】B

【分析】由化简得 或 ，转化 或 ，考查函数 画出函数图象，讨论函数交点个数可得解

【详解】由得，去分母整理得有2不同的实数解，所以或，所以或，

设所以，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.

所以，所以没有实数解.

所以方程有两个不同的实数解.

当时，；当时，

要方程有两个不同的实数解，必须.

故选：B

【点睛】本题考查导数在函数中的应用及方程实根个数问题，对方程化简并合理拆分成两个函数并画出函数图象是解题的关键，属于中档题.

12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.

【详解】

因为，所以∽，

设，则，设，则，．

因为平分，由角平分线定理可知，，

所以，所以，

由双曲线定义知，即，，①

又由得，

所以，即是等边三角形，

所以．

在中，由余弦定理知，

即，化简得，

把①代入上式得，所以离心率为．

故选：A．

二、填空题

13．        .

【答案】

【分析】由于，利用微积分基本定理，直接求得定积分的值.

【详解】易知.故.

【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理求定积分的值.只需求得原函数，代入计算公式即可计算出定积分的值.属于基础题.

14．已知，则       .

【答案】

【分析】赋值法，令、即可求解.

【详解】因为，

令可得，

令则，

所以

故答案为：.

15．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物,如图,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择,则共有     种不同的栽种方案?

【答案】732

【分析】按三块地种的植物种类分成三种情况：三块地种种、种、种.分别用分步计算原理计算出每种的方法数，再相加得到总的方法数.

【详解】当三块地种种植物时，方法数有.当三块地种种植物时，方法数有种.当三块地种种植物时，方法数有种，故总的方法数有种.

【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理.在计算过程中，首先用分类将问题分成种情况，然后用分步计算原理来计算，最后相加的到总数.

16．函数，定义域为，有唯一极值点，则实数的取值范围为           .

【答案】

【分析】求出函数的导数，根据给定条件，求出在内有唯一变号零点的a的范围作答.

【详解】函数，求导得，

因为在内有唯一极值点，则在内有唯一变号零点，由，得，

因此直线与函数的图象有唯一公共点，

显然，令，，

求导得，即函数在内单调递减，，

而，于是，则函数在内单调递增，，

令，，求导得，函数在内单调递增，

则有，即，，有，从而，

当时，直线与函数的图象有唯一公共点，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.

三、解答题

17．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值．

【答案】（1），；（2）13

【分析】(1)依题意，由，得到，再由，得到，联立方程组，即可求解；

 (2)由(1)，求得，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案．

【详解】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，

所以，即，

又由，则，

而由切线的斜率可知，∴，即，

由，解得，

∴，．

(2)由(1)知，则，

令，得或，

当变化时，，的变化情况如下表：    

∴的极大值为，极小值为，又，，所以函数在上的最大值为13．

【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

18．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情，某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第天的滑雪人数（单位：百人）的数据

(1)根据表中的数据，求出关于的线性回归方程；

(2)经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请根据关于的线性回归方程，预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.

参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，

【答案】(1)

(2)滑雪场开业的第9天开始盈利

【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法的计算公式，即可求解．

（2）由回归直线方程，列不等式即可求解.

【详解】（1）由表中数据可得，，，

所以，

，

所以，

，

故回归直线方程为.

（2）因为一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑场雪可实现盈利，

即时，可实现盈利，解得，

故根据回归方程预测，该滑雪场开业的第9天开始盈利．

19．已知四边形是直角梯形，，分别为的中点（如图1），以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面（如图2）.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）从平面平面，推平面，进而得到，于是可证平面；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求法向量，即可求得二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：由题意得，，，，

由余弦定理得：，所以．

如图，连接，易知，于，所以，所以，即，所以．

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

又因为平面，所以，

又因为，，平面，所以平面.

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，

，

，，

设平面和平面的法向量分别为，

，令，，

，令，，

所以二面角的余弦值为.

20．已知椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆经过点，且的面积为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设斜率为1的直线与圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，当取得最小值时，求直线的方程并求此时的值．

【答案】（1）；（2），．

【分析】（1）根据三角形面积可，将点代入椭圆得到，联立即可求得，；

（2）设直线的方程为，表示出，联立直线与椭圆，根据根的判别式得到的取值范围，结合条件表示出，利用取值范围求得其范围.

【详解】解：（1）由的面积可得．即，∴．①

又椭圆过点，∴．②

由①②解得，．故椭圆的标准方程为．

（2）由题知圆，设直线的方程为，则原点到直线的距离，

由弦长公式可得．

将代入椭圆方程，得，

由判别式，解得．

由直线和圆相交的条件可得，即，也即，

综上可得的取值范围是．

设，，

则，，

由弦长公式，得

．

由，

得．

∵，∴，则当时，取得最小值，此时直线的方程为．

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合，根的判别式，弦长公式，考查学生运算能力，属于中档题．

21．设函数.

(1)求的单调区间；

(2)若时，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)

【分析】（1）分别讨论当及时的正负，从而得到在上的单调区间；

（2）将原不等式转化为在时恒成立，先证得恒成立，再证对任意的恒成立即可，通过新设函数，求导判断单调性得到时，不等式恒成立.

【详解】（1）由已知

当时，在恒成立，在上单调递增；

当时，由得，

若时，在上单调递增，

若时，在上单调递减；

综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）时，恒成立，

即在时恒成立，

当时，恒成立，即又，则.

下面证明：当时，在时恒成立.

先证明时，，由（1）知：

当，在上单调递增，在上单调递减；

则，即有，

所以，当时，

要证明，只需证明：

对任意的恒成立，

令则，

由得

①当即时，在上恒成立，

则在上单调递增，于是

②当即时，

在上单调递减，在上单调递增，

于是，

令，则则在上单调递增，

于是，所以恒成立，

所以，时，不等式恒成立，

因此，a的范围是

【点睛】利用导数方法证明不等式在给定区间上恒成立的基本方法是构造新函数，然后根据函数的单调性、或者函数的最值，证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口。

22．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.

（1）当时，求M点的极坐标；

（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.

【答案】（1）点M的极坐标为或（2）

【解析】（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.

（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.

【详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标，

由，得，

∵

∴或，

所以点M的极坐标为或

（2）由题意可设，.

由，得，.

故时，的最大值为.

【点睛】本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.