2022-2023学年四川省成都东部新区养马高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省成都东部新区养马高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集为，集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别求出集合A, B对应的范围，由集合的运算可求解.

【详解】由题意知所以，

所以.

故选：A.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦公式进行化简求值.

【详解】原式，

故选：D.

3．已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.

【详解】直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.

【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.

4．函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

5．已知为可导函数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解.

【详解】解：因为，

故选：B.

6．函数的图象如图所示，则的图象可能是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】依据原函数图象可看出①当x<0时，函数y=f(x)递增，所以此时f′(x)>0，y=f′(x)的图象在x轴上方；②当x>0时，函数y=f(x)递减，所以f′(x)<0，y=f′(x)的图象在x轴下方

故选D

点睛：本题属于基础题，在给定区间，导数值非负，函数是增函数，导数值为非正，函数为减函数，自左向右看，函数图象上升，函数为增，函数图象下降，函数为减，结合图象即可得到答案

7．若 ，则

A． B． C．1 D．

【答案】A

【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A．

【解析】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．

【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．

8．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】函数的周期为，

将函数的图象向右平移个周期即个单位，

所得图象对应的函数为，

故选D.

9．在数列中，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由依次计算…，判断数列是周期数列，再根据周期计算，即得结果.

【详解】依题意，，，，，…，数列是以为周期的周期数列，

所以.

故选：A.

10．已知函数f(x)的导函数，且满足关系式则的值等于（　　）

A．2 B．—2 C． D．

【答案】D

【分析】对函数求导，再令即可得出结果.

【详解】因为，

所以，

令，则，

即，解得，

故选：D

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先对两边平方，构造齐次式进而求出或，再用正切的二倍角公式即可求解.

【详解】解：对两边平方得

，

进一步整理可得，

解得或，

于是．

故选：C

【点睛】本题考查同角三角函数关系和正切的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.

12．设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数几何意义可知，由正切函数图象与性质可确定倾斜角范围.

【详解】，，

，.

故选：.

【点睛】本题考查利用导数几何意义求解切线倾斜角所处范围的问题，关键是能够通过导函数的值域确定切线斜率的取值范围，进而利用正切函数性质求得结果.

二、填空题

13．函数的最小值为          ．

【答案】

【分析】（1） 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值．

【详解】，

当时，

当时，

所以在上递减，在递增，

所以函数在处取得最小值，即．

【点睛】本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 ．

14．在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则      .

【答案】2

【详解】直线过圆的圆心，因此

【点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程时，要灵活运用以及，，同时要掌握必要的技巧.

15．若函数有极值点，则实数c的取值范围为       ．

【答案】

【分析】依题意，有两个不同的实数根，利用求解实数c的取值范围.

【详解】，则，

函数有极值点，则有有两个不同的实数根，

可得，解得或.

实数c的取值范围为.

故答案为：

16．函数在上无极值，则m＝      ．

【答案】3

【分析】把题意转化为在上恒有，对m分类讨论，求出m的范围.

【详解】函数在上无极值即导函数在上无根．

在上恒有 ①；

而，

当时，①式解为或；显然时，①式不成立；

当时，①式解为或；显然时，①式不成立；

当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．

故答案为：3．

三、解答题

17．已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.

试题解析：（1）由题意，

所以．

（2）由（1）得，，

所以．

【解析】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．

18．某数学课题组针对高三学生掌握基本知识点的单位值和“一诊”基础题目得分值进行统计分析，所得统计数据如下表所示：

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

(2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测掌握基本知识点的单位值为的得分值.

（参考公式：，）

【答案】(1)；

(2)掌握基本知识点的单位值为的得分值为.

【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出、的值，即可得出回归直线方程；

（2）将代入回归直线方程，即可得解.

【详解】（1）解：由题意得，，

，

，

所以，，，

所以，关于的线性回归方程为.

（2）解：当时，，

所以，可预测掌握基本知识点的单位值为的得分值为.

19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

（1）若a=c，b=2，求的面积；

（2）若sinA+sinC=，求C.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；

（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.

【详解】（1）由余弦定理可得，

的面积；

（2）[方法一]：多角换一角

，

，

，

.

[方法二]：正弦角化边

由正弦定理及得．故．

由，得．

又由余弦定理得，所以，解得．

所以．

【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.

20．设函数

（1）求的单调区间；

（2）求函数在区间上的最小值．

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）1.

【分析】（1）直接求导，由得单调递增区间即可；

（2）判断的单调性即可求出最值.

【详解】解：（1）定义域为， ，

由得，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）

，由得，

∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.

【点晴】此题考利用导数求单调区间和最值，属于简单题.

21．已知，其中为实数．

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论的单调性．

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）若，则，切线的斜率，切点为，由直线的点斜式方程即可得切线方程；

（2）对求导，由可得两根为和，分别讨论、、、时解不等式和，即可求解.

【详解】（1）若，则，，

在处的切线的斜率为，

则，又，切点为

所以，在处的切线方程为：，即；

（2），

①当时，由得 ；由得，

故在上单调递减，在上单调递增；

②当时，由得；由得或，

所以在和上单调递增，在上单调递减；

③当时，恒成立，

所以在上单调递增；

④当时，由得；由得或，

所以在和上单调递增，在上单调递减；

综上所述，

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减．

22．选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos2t＋sin2t=1消参数得普通方程：（x－4）2＋（y－5）2＝25 ，再根据将普通方程化为极坐标方程：（2）将代入得得，也可利用直角坐标方程求交点，再转化为极坐标

试题解析： （1）∵C1的参数方程为

∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，

即C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，

把代入（x－4）2＋（y－5）2＝25，

化简得：.

（2）C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，

∴C1与C2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.

∴C1与C2交点的极坐标为.

【解析】参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程