2022-2023学年四川省广元中学高二下学期期中数学试题（文）含答案

2022-2023学年四川省广元中学高二下学期期中数学试题（文科）

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，将集合化简，然后结合并集的运算，即可得到结果.

【详解】因为，且，

则，

故选：C

2．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线方程，可直接写出渐近线方程.

【详解】双曲线焦点在轴上，

所以渐近线斜率为，

则其渐近线方程为：.

故选：C.

3．如图所示，长方体中，给出以下判断，其中正确的是（    ）

A．直线与相交

B．直线与是异面直线

C．直线与有公共点

D．

【答案】D

【分析】利用异面直线的定义可以判断出A、C，利用平行四边形的性质可判断出B、D.

【详解】

对于A，面，面，且B不在AC上，

根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故A选项错误；

对于B，，，

四边形为平行四边形，

，即直线与平行直线，故B选项错误；

对于C，面，面，，

根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故C选项错误；

对于D，，，

四边形为平行四边形，

，故D选项正确；

故选：D.

4．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，进而得到的可能图象.

【详解】由的图象可得，

当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增.

则仅有选项C符合以上要求.

故选：C

5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，

详解：初始化数值

循环结果执行如下：

第一次：不成立；

第二次：成立，

循环结束，输出，

故选B.

点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.

6．“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由直线与直线平行可求得的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若直线与直线平行，

则，解得.

因此，“”是“直线与直线平行”的充要条件.

故选：C.

7．某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ）

A．图中的x值为0.020 B．得分在的人数为400

C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对于A，由，可解得，故选项A正确；

对于B，得分在80分及以上的人数的频率为，

故人数为，故选项B正确；

对于C，频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项C不正确；

对于D，这组数据的平均数的估计值为：，故选项D正确.

故选：C.

二、多选题

8．设平面向量满足，且，则（    ）

A． B．

C． D．与的夹角为

【答案】AC

【分析】根据向量模长公式及数量积公式判断A,B,C选项，根据向量夹角公式判断D选项.

【详解】由题意，得，因为，所以，解得，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

设与的夹角为，则，故与的夹角不为，故D错误．

故选:AC．

三、单选题

9．若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【分析】由点在直线上可知，结合均值不等式即可求解．

【详解】因为直线过点，所以，

由和都是正实数，所以，，．

所以，

当时取等号，即，时取等号，

所以的最小值是.

故选:B．

10．已知双曲线的左焦点为，过点作直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】推导出点为线段的中点，由中位线的性质可得，由双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率.

【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

，所以，，即，是的中点，

过点作直线与圆相切于点，，

是的中点，，

，，，

由双曲线的定义可得，，，，

因此，该双曲线的离心率为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法：

（1）若可求得、，直接利用求解；

（2）若已知、，可直接利用得解；

（3）若得到的是关于、的齐次方程（、、为常数，且），则转化为关于的方程求解.

11．在三棱锥P－ABC中，，，且，，，，则此三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知求得，根据勾股定理证明得到，进而推得平面，则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，求出长方体的体对角线长，即可得出外接球的半径，进而根据体积公式，即可得出答案.

【详解】如图1，

因为，，，

所以.

又，，

所以在中，有，

所以，，即.

又，平面，平面，，

所以平面.

则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，如图2

其中，，，，

则，

所以此三棱锥外接球的半径为，

所以，此三棱锥外接球的体积为.

故选：B.

12．已知函数，对于任意，，，有，则实数的范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得对于任意，，，有，令，则对于任意，，，有在上单调递增，即对于任意，，进而可得答案．

【详解】因为对于任意，，，有，

所以对于任意，，，有，

令，

对于任意，，，有在上单调递增，

所以对于任意，，

，

令，

当，即时，，

所以要使得在上恒成立，需要，

即，，无解，

当，即时，，

所以要使得在上恒成立，需要，

即，

化简得，

解得，又a>1

综上所述，实数的取值范围为．

故选：A

【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可先化简要研究的不等式，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的范围，由此来求得结果.当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.

四、填空题

13．      ．

【答案】/4i+7

【分析】利用复数的乘法运算即可.

【详解】.

故答案为：.

14．若变量，满足约束条件，则的最大值为      ．

【答案】6

【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平行该直线可得最优解．

【详解】作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分所示．

作直线，由可得，平移直线，

可知当直线过点时，取得最大值，最大值为6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作目标函数对称的直线，平移该直线后可得最优解．

15．已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，与准线相交于点，且点A为的中点，求  ．

【答案】2

【分析】设，，根据条件结合抛物线定义可得，由即可求解．

【详解】由题意可得的焦点，准线方程为，

直线与抛物线交于，两点，与准线相交于点，且点A为的中点，

设，，

可得，即有，整理得，

根据抛物线的定义，知，，

所以，

故答案为：2．

16．如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为   ．

【答案】

【分析】先推出平面，设过A的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，，，推出平面，从而可得点的轨迹所围成图形是矩形，计算这个矩形的面积即可得解．

【详解】因为是圆柱下底面圆的直径，

所以，

又，，，平面，

所以平面，

设过A的母线与上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为，连，，，

则四边形为矩形，

因为平面，平面，

所以，

因为，，平面，

所以平面，

所以点在平面内，

又点在圆柱的表面，

所以点的轨迹所围成图形是矩形，

依题意得，，，

所以，

所以矩形的面积为，

故点的轨迹所围成图形的面积为．

故答案为：．

五、解答题

17．已知直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线和曲线的极坐标方程；

(2)若射线分别交直线和曲线于、两点（点不同于坐标原点），求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出直线和曲线的极坐标方程；

（2）设点、的极坐标分别为、，求出、的值，即可得出，即可得解.

【详解】（1）解：直线的直角坐标方程为，

根据转换为极坐标方程为，

曲线的直角坐标方程为，即，

根据转换为极坐标方程为.

（2）解：设点、的极坐标分别为、，

射线与直线交于点，

故，

射线与曲线交于点，故，

故.

18．每天锻炼一小时，健康生活一辈子，现在很多年轻人由于诸多原因身体都是处于“亚·健康”状态，为了了解现在的年轻人运动锻炼的状况，某社会机构做了一次调查，随机采访了100位年轻人，并对其完成的调查结果进行了统计，将他们分为男生组、女生组，把每周锻炼的时间不低于5小时的年轻人归为“健康生活”，低于5小时的年轻人归为“亚健康生活”，并绘制了如下2×2列联表.

附：

(1)能否有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关？（运算结果保留三位小数）

(2)用分层抽样的方法在健康生活的45名受采访的年轻人中选取6人参加一次公益活动，需要在这6名年轻人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员均为男性的概率.

【答案】(1)没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关

(2)

【分析】（1）计算，并与表中3.841比较大小得出结果；

（2）列出6名年轻人中随机选取两人的所有基本事件，再找到两名均为男性的事件个数，求其概率即可.

【详解】（1）由，

∵3.030<3.841，

∴没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关；

（2）易得选取参加公益活动的6人为4男2女，

用a，b，c，d，1，2表示此4男2女，则基本事件：，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，

记两名联络员均为男性为事件A，事件A包含6个基本事件，

，

∴两名联络员均为男性的概率为.

19．已知函数，且．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值与最小值．

【答案】(1)；

(2)最大值为2，最小值为.

【分析】（1）由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；

（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.

【详解】（1）因为，故，解得，

因为，所以，

则所求切线的斜率为，且，

故所求切线方程为，即；

（2）因为，，所以，

令，得（舍去），

由，可得，函数单调递减，

由，可得，函数单调递增，

所以的极小值为，又，，

所以的最大值为2，最小值为.

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，.

(1)求证：平面PAB；

(2)求直线MN与平面PBD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）若是中点，连接，易证为平行四边形，进而有，利用线面平行的判定证结论；

（2）转化为求直线与平面PBD所成角正弦值，利用等体积法求到面的距离，即可求夹角正弦值.

【详解】（1）若是中点，连接，又为中点，

所以且，又ABCD为正方形，即且，

而为中点，故且，即为平行四边形，

所以，面，面，则面.

（2）由（1）知：直线MN与平面PBD所成角，即为直线与平面PBD所成角，

若到面的距离为，则到面的距离为，

由平面ABCD，平面ABCD，则，

由ABCD为正方形，则，又，

所以△为边长为的等边三角形，即，

由，即，则，而，

综上，直线MN与平面PBD所成角正弦值为.

21．已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．

【答案】(1).

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据题意可求得的值，即得答案.

（2）当直线斜率存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合化简可得参数的关系式，从而化简直线方程，可得定点坐标，当直线斜率不存在时，可同理推得直线过该定点.

【详解】（1）根据椭圆定义得，，即 ，

，故椭圆的标准方程为．

（2）证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：，

则由题意得，将，代入整理得：

（*），

将代入椭圆方程整理得，

需满足 ，则，

代入（*）式得：，

整理得，

当时，过B点，不合题意；

故，直线的方程为，

故此时过定点；

当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ，

不妨设，

由可得 ，解得，

此时方程为，也过定点，

综合上述，过定点.

【点睛】方法点睛：关于直线和圆锥曲线的位置关系涉及直线过定点的问题，一般方法是设出直线方程，并和圆锥曲线方程联立，应用根与系数的关系式结合条件表示出参数之间的关系，从而将直线看作直线系方程，分离参数即可求得定点，同时要注意直线斜率不存在的情况.

22．已知函数．

（1）若函数的一个极值点是，求函数的单调区间

（2）当时，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先根据是的极值点得，解得，进而得，研究得函数在上单调递增且，故在上单调递减，在上单调递增；

（2）当时，在上单调递增，由于，，故当，时，取极小值，故，进而得，故，.

【详解】（1）依题意，函数的定义域为，

对函数求导得．

∵是的极值点，

∴，即，解得，

于是，．

所以，

所以函数在上单调递增，且．

因此当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，，

所以，

故在上单调递增．

又，，故，

在上有唯一的解，且．

当时，；

当时，．

故当时，取极小值，

故由得，解得，

故，

∵，∴，故．

当且仅当，即时，等号成立，

而，∴．

综上所述，当时，．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，单调性，证明不等式等，考查运算能力，是中档题.