2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．设复数，则（    ）

A． B． C．3 D．5

【答案】A

【分析】求得后再求模长即可.

【详解】，故.

故选：A

2．复数，若为纯虚数，则（　　）

A．-i B．7i C．-5i D．5i

【答案】B

【分析】化简得，由得解.

【详解】由题意得，

因为为纯虚数，所以，

所以．

故选：B．

3．命题，则命题的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.

【详解】命题，的否定是，

故选：C

4．点极坐标为，则它的直角坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据极坐标与直角坐标互化原则直接求解即可.

【详解】由点的直角坐标为，则，，

则点的直角坐标为.

故选：C.

5．在直角坐标系中，点．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据及点位于第三象限计算可得.

【详解】点位于第三象限，又，

所以，所以，

即点的极坐标可以为.

故选：B

6．在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换后，变为，则曲线C的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得曲线的方程，进而求得曲线的渐近线方程.

【详解】依题意，，

所以由可得，

所以，

所以曲线的渐近线方程为.

故选：A

7．如图是导函数的图象，则下列说法不正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递减

B．函数在区间上单调递减

C．函数在处取得极大值

D．函数在处取得极小值

【答案】B

【分析】根据已知，利用图形以及导数与函数单调性、极值的关系进行判断.

【详解】由图可知，导函数在区间上满足，

所以在区间上单调递减，故A正确；

导函数在区间上满足，

所以函数在区间上单调递增，故B错误；

在附近，当时，导函数满足，

当时，导函数满足，

所以函数在处取得极大值，故C正确；

在附近，当时，导函数满足，

当时，导函数满足，

所以函数在处取得极小值，故D正确.

故选：B.

8．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】求得在上单调递增的充要条件即可判断.

【详解】由题

若在上单调递增，则恒成立，即，

故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件

故选:.

9．复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C． D．5

【答案】B

【分析】利用复数在复平面内的几何意义，转化点到点的距离求解.

【详解】设，

复数的对应点在以原点为圆心，半径的圆上运动，

表示点与复数的对应点的距离，

故选：B.

10．已知，则（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．有极大值，无极小值 D．有极小值3，无极大值

【答案】C

【分析】根据导数判断单调性与极值

【详解】，则时，时

在区间上单调递增，在区间上单调递减

有极大值

故选：C

11．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将极坐标化为直角坐标, 利用点到直线的距离公式即可得.

【详解】点的直角坐标为，，

直线： 即，化为直角坐标方程为．

由点到直线的距离公式得，

故选．

【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的互化,属于基本题型,解题中关键是运算的准确性.

12．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用构造函数法，结合导数判断出所构造函数的单调性，从而求得正确答案.

【详解】构造函数，

，

所以在上递增，，

由于，

根据的单调性解得，

所以的解集.

故选：D

二、填空题

13．已知复数（i为虚数单位），则     

【答案】

【分析】先利用复数的除法化简复数z，再利用模的公式求解.

【详解】因为，

所以，

故答案为：

14．在极坐标系中，点到圆上动点的距离的最大值为      ．

【答案】/

【分析】将曲线和点都转化为直角坐标，进而利用圆的性质即得.

【详解】由题得点的直角坐标为，

，，

∴，即，

所以曲线是以点为圆心，以1为半径的圆，

所以点到圆上动点的最大距离为.

故答案为：.

15．在极坐标系中，直线与圆交于 两点，则     .

【答案】

【分析】只需将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程都化为直角坐标方程，再利用圆中的弦长公式即可求得弦长．

【详解】直线转换为直角坐标方程为：，

圆转换为直角坐标方程为：，

转换为标准方程为：，圆心为，半径为，

则圆心到直线的距离，

所以．

故答案为：．

16．若函数对任意的，都有成立，则实数的取值范围是          .

【答案】

【分析】求出函数的定义域和，判断函数的单调性求出最小值，再结合条件求出实数的取值范围.

【详解】由已知得定义域为，.

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增，

所以在处取得极小值，也是最小值，

所以.

因为对任意的，都有成立，

所以对任意的，都有成立，

所以，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数.

(1)若的图象在处的切线方程是，求实数；

(2)若有两个极值点，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线方程，对比已知切线方程可构造方程组求得结果；

（2）将问题转化为在上有两个不等实根问题，根据一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果.

【详解】（1），，又，

在处的切线方程为：，即，

，解得：，.

（2）有两个极值点，，

在上有两个不等实根，

，解得：，即实数的取值范围为.

18．已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线

(1)求a的值.

(2)求函数的单调区间与极值；

【答案】(1)

(2)增区间为,减区间；极小值,没有极大值.

【分析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值；

（2）由（1）的结果知,于是可用导函数求的单调区间与极值；

【详解】（1）对求导得，

由在点处切线垂直于直线，

知解得；

（2）由（1）知，

则

令，解得或.

因不在的定义域内，故舍去.

当时，故在内为减函数；

当时，故在内为增函数；

所以函数在时取得极小值,没有极大值.

19．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表：

(1)根据所给数据知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（值精确到0.01）

(2)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：.

临界值表：

【答案】(1)r≈0.95可以用线性回归模型拟合y与x的关系；

(2)列联表见解析，有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关

【分析】(1)先计算土地使用面积x的平均值，再根据公式计算r；

(2)先填好列联表，再运用卡方计算.

【详解】（1）依题意：，

，

又，

，

与的相关系数近似为0.95，与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；

（2）完成的列联表如下：

计算，

有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.

综上，可以用线性回归模型拟合与的关系；有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.

20．若曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线交于两点，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则可直接转化得到结果；

（2）将直线方程转化为直角坐标方程，与曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用弦长公式可求得结果.

【详解】（1）由得：，即，

曲线的直角坐标方程为：.

（2）由得：，

，即直线方程为：；

设，由得：，

，，.

21．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos＝1.

（1）求曲线C1和C2的公共点的个数；

（2）过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形.

【答案】（1）0；（2）2＋2＝1；圆.

【解析】（1）将两个曲线化为普通方程，根据圆心到直线的距离与半径大小进行判定；

（2）用相关点法求解动点的轨迹，利用极坐标进行处理.

【详解】（1）C1的直角坐标方程为（x＋1）2＋y2＝1，

它表示圆心为（－1，0），半径为1的圆，

C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，

所以曲线C2为直线，

由于圆心到直线的距离为d＝>1，

所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点.

（2）设Q（ρ0，θ0），P（ρ，θ），

则即①

因为点Q（ρ0，θ0）在曲线C2上，

所以ρ0cos＝1，②

将①代入②，得

即为点P的轨迹方程，

化为直角坐标方程为2＋2＝1，

因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.

【点睛】本题考查极坐标下曲线交点的求解，涉及极坐标下轨迹方程的求解，属综合中档题.