2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年上海奉贤区致远高级中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．已知集合A＝，B＝，则＝       ．

【答案】

【分析】根据交集定义直接求得结果即可.

【详解】由交集定义可得：

故答案为：

2．不等式的解集为           .

【答案】

【分析】利用分式不等式的解法，即可求得不等式的解集.

【详解】由不等式，可得，

结合分式不等式的解法，可得，即不等式的解集为.

故答案为：.

3．某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为          

【答案】200

【分析】根据中年人在住户中的比例求解.

【详解】因为某小区共有住户2000人，其中中年人1000人，且样本容量为400，

所以样本中中年人的人数为人，

故答案为：200

4．设等差数列的前项和为，若，则          .

【答案】26

【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出.

【详解】由已知，所以.

则.

故答案为：.

5．已知射手甲击中目标的概率为0.8，射手乙击中目标的概率为0.7，若甲、乙两人各向目标射击一次，则射手甲或射手乙击中目标的概率是             

【答案】

【分析】利用独立事件与对立事件的概率公式计算即可.

【详解】由题意可知，射手甲乙没射中目标的概率分别为，

故甲乙各向目标射击一次甲或乙射中的概率为：.

故答案为：

6．函数的驻点为           .

【答案】1

【分析】求出导函数，由解确定结果．

【详解】

由得，

时，，时，，因此是函数的驻点．

故答案为：1．

7．已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为        ．

【答案】

【分析】根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可.

【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为2，

由题可知，过一三象限的渐近线为，即，

所以右焦点到渐近线的距离为，

又，∴，

∴．

故答案为: .

8．设是函数的最小值点，则曲线在点处的切线方程是      .

【答案】

【分析】通过基本不等式或导函数确定最小值点，即确定切点，再由导函数确定切线斜率，即可得到答案.

【详解】函数，

当且仅当，即时等号成立，

则函数的最小值点，

则切点为，

，则切线斜率，

故切线方程为：，

故答案为：.

9．已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为      ．

【答案】

【分析】先求出球的半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系式，即可得到侧面积表达式，然后用重要不等式即可求解．

【详解】解：设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，

则由题意知，，解得．

又圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，则圆柱的两个底面圆的圆心关于球心对称，且．

则圆柱的侧面积，，

因为，当且仅当，即，时，等号成立．

所以，．

故答案为：．

10．某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为           分.

【答案】92

【分析】先利用频率分布直方图进行数据分析，求出，再套公式求出分位数.

【详解】由频率分布直方图知，

由得：.

因为，

所以该次体能测试成绩的分位数落在内，设其为，

则由，解得.

故答案为：92.

11．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，

相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为      尺.

【答案】84

【分析】根据给定条件可得以冬至日晷长为首项，芒种日晷长为第12项的等差数列，求出公差即可列式计算作答.

【详解】依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为，芒种日晷长为2.5尺，记为，

因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到芒种日晷长的各数据依次排成一列得等差数列，

数列的公差，

因夏至与芒种相邻，且夏至日晷长最短，则夏至的日晷长为，

又大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，则大雪的日晷长为，

显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，

所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为(尺).

故答案为：84

12．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为      .

【答案】

【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.

【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，

由图象可知，在区间递减，；

在区间递增，.

所以的解集.

故答案为：

二、单选题

13．下列关于散点图的说法中，正确的是（    ）

A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图 B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系

C．从散点图中可以看出两个量的因果关系 D．从散点图中无法看出数据的分布情况

【答案】B

【分析】根据散点图的概念判断即可.

【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误；

散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误；

散点图中能看出数据的分布情况，故D错误.

故选：B

14．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）

A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8

【答案】C

【详解】试题分析：由题意得，，选C.

【解析】茎叶图

15．等比数列中的项，是函数的极值点，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点，再根据等比数列下标和性质计算可得.

【详解】解：因为，所以，

当或时，当时，

所以、为函数的极值点，

即或，又，

所以且；

故选：D

三、多选题

16．在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论错误的是（    ）

A． B．三棱锥的体积为

C．线段最小值为 D．的取值范围为

【答案】ABC

【分析】根据题意取中点，连接，，，从而判断得N点的位置特征，再由N点的位置变化，结合图形对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A，取中点，连接，，，

由正方体性质易得，，

又面BMD，面BMD，则面BMD，面BMD，

又，面，则平面平面BMD，

因为平面，平面，所以平面，

又N为四边形内一点（含边界），所以在线段上，

当在时，与的夹角为45°，故A错误；

对于B，由正方体性质易得，

因为面，，所以面，

所以到面的距离与到面的距离相同，且为，

所以，故B错误；

对于C，线段的最小值为等腰三角形腰上的高，

而，到的距离为，

故，故C错误；

对于D，由正方体性质易知面，而面，故，

所以，故，

当为点时最大，的最小，此时为最小，

当最小值为直角三角形斜边的高，即，此时为最大，

所以，故D正确.

故选：ABC.

.

四、解答题

17．已知{}为等差数列，Sn为其前n项和，若．

(1)求数列{}的通项公式；

(2)求Sn．

【答案】(1)an＝8﹣2n；

(2).

【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；

（2）由等差数列前n项和公式求Sn.

【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，

由a1＝6，a3+a5＝0，则6+2d+6+4d＝0，解得d＝﹣2，

因此an＝a1+（n﹣1）d＝8﹣2n，

所以{an}的通项公式为an＝8﹣2n．

（2）由题意知：，

18．某地区水务局计划派500位企业员工组团参加2023年在广州举行的第十六届中国广州国际水处理技术设备展览会.团队按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数a、b的值；

(2)现在要从年龄较小的第1、2、3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1、2、3组的人数分别是多少？

(3)因会务需要，现从第1、2、3组中抽取6人组成经验交流小组（其中第1组1人，第2组1人，第3组4人），在这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率.

【答案】(1)，

(2)1人，1人，4人

(3)

【分析】（1）由频数分布表和频率分布直方图的性质列出方程，能求出，；

（2）先求出第1，2，3组共有300人，由此利用分层抽样，求出抽取6人年龄在第1，2，3组的人数分别是多少；

（3）设第1组的1位员工为，第二组的1位员工为，第3组的4位员工为，，，，由从6位同学中抽两位员工，利用列举法，求出至少有1人年龄在第3组的概率；

【详解】（1）由题设可知，，，

所以，.

（2）因为第1，2，3组共有人，

利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，

所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人.

（3）设第1组的1位员工为A，第2组的1位员工为B，第3组的4位员工为，，，，则从6位中抽两位员工有：

，，，，，，，，，，，，，，共15种可能.

其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，

所以，至少有1人年龄在第3组的概率为.

19．在如图所示的几何体中，四边形是正方形四边形是梯形，，平面平面，且.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值；

(3)已知点在棱上，且异面直线与所成的夹角为，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）以点为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，用向量法证明；

（2）利用向量法计算出二面角的余弦值，再求正弦值；

（3）利用向量法表示出，再利用导数判断单调性，求出的取值范围.

【详解】（1）∵平面平面，平面平面，平面，.

∴直线平面.

由题意，以点为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：，，，

，，.

因为四边形是正方形，所以.

因为，,面,面,

所以面.

所以是平面的一个法向量.

又，∴，

又∵直线QB平面PDC，∴平面.

（2）∵.

设）为平面PBC的法向量，

则即

不妨设，可得.

设）为平面PBQ的法向量，

又∵

则即

不妨设，可得，

∴.

二面角的正弦值为.

（3）设，则，又，

又，即，.

令，

所以恒成立，所以在区间[0，2]上单调递增，

所以，

所以.

20．某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.

(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的.

【答案】(1)，

(2)见解析

【分析】（1）由圆柱和球的体积的表达式, 得到和的关系. 再由圆柱和球的表面积公式建立关系 式, 将表达式中的用表示，并注意到写定义域时, 利用, 求出自变量的范围.

（2）用导数的知识解决, 注意到定义域的限制, 在区间中, 极值末必存在, 将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.

【详解】（1）设该容器的体积为，则，

又，所以

因为，所以.

所以建造费用，

因此，.

（2）由（1）得，.

由于，所以，令，得.

若，即，当时，，为减函数，当时，，为增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点.

若，即，当时，，为减函数，此时是的最小值点.

综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时.

21．已知动圆经过定点，且与圆：内切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线､的斜率分别为､.

（i）求证：为定值；

（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点

【分析】（1）根据定点和圆心的位置关系，利用两圆内切即可得出半径之和等于圆心距，再根据椭圆定义即可求得轨迹的方程；（2）（i）易知即为椭圆的左右顶点，设出点坐标，利用共线时斜率相等即可得出的表达式，化简即可得出；（ii）根据（i）中的结论，写出直线的方程，将表达式化简即可得出直线经过定点.

【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径；

所以，，

则.

所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.

因此轨迹方程为.

（2）（i）设，，.

由题可知，，如下图所示：

则，，

而，于是，

所以，

又，则，

因此为定值.

（ii）设直线的方程为，，.

由，得，

所以.

由（i）可知，，即，

化简得，解得或（舍去），

所以直线的方程为，

因此直线经过定点.

【点睛】方法点睛：解决定值或定点问题时，经常会用到设而不求的方法，即首先设出点坐标或直线方程，再根据题目条件寻找等量关系即可实现整体代换求得定值或定点.