2022-2023学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年新疆生产建设兵团第二师八一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ）

A．， B．，2 C．，2 D．，

【答案】D

【分析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可.

【详解】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为；

根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2.

故选：D.

2．等比数列中，已知：，，则公比（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质即可求解.

【详解】因为是等比数列，所以，故，

故选：B

3．在数列中，，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据递推关系依次求出即可.

【详解】，，

，，，.

故选：A.

4．5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是（    ）

A．53 B．35 C．5×4×3 D．5×4

【答案】B

【分析】根据题意，分析可得每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每位同学均有3种讲座可选择，进而根据分步计数原理得到结果.

【详解】根据题意，每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每位同学均有3种讲座可选择，

则5位同学共有种不同的选法.

故选：B.

5．记为等比数列的前项和，若，则（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】设等比数列的公比为，根据题意，结合等比数列的求和公式列出方程组，即可求解.

【详解】设等比数列的公比为，

因为，可得，解得，

所以.

故选：C.

6．学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（    ）

A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65

【答案】D

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”；

则,,,

由全概率公式可知

,

故选：D.

7．已知等差数列的前项和为，若与方程的两个实根，则（    ）

A．46 B．44 C．42 D．40

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求解.

【详解】因为与方程的两个实根，

所以.

由等差数列的性质可得：，

所以.

故选：B

8．的展开式中的系数是（    ）

A．84 B．120 C．122 D．210

【答案】D

【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个的系数，求和得出答案，或者根据，快速计算结果.

【详解】∵的通项为，

∴的通项为，

∴的展开式中的系数为，

同理得展开式中的系数为，展开式中的系数为，

故展开式中的系数为：

（也可以根据性质：，因为，故）

故选：D.

9．6人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻的排法共有（    ）

A．36种 B．72种 C．144种 D．288种

【答案】C

【分析】将甲乙视为1个人，利用插空法排列使甲乙与丙不相邻，再排甲乙作答.

【详解】把甲乙视为1个人，先排除甲乙丙外的另3人，有种方法，

再将甲乙与丙插入4个空隙中，有种方法，最后排甲乙，有种方法，

由分步乘法计数原理知，（种），

所以所求的排法共有144种.

故选：C

10．某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）

A．240种 B．300种 C．420种 D．460种

【答案】C

【分析】按的顺序进行布置，由此计算出不同的布置方法数.

【详解】按的顺序进行布置，其中与可以相同也可以不相同，

所以不同的布置方法数为种.

故选：C

11．数列，用图象表示如图所示，记数列的前n项和为，则（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】数列，用图象可知，在取不同值时的符号，然后利用排除法，即可求解.

【详解】由题意，数列，用图象可知，

当时，；当时，，

所以时，，所以，可排除A项；

由，所以，可排除D项；

由，所以，可排除C项；

当时，，所以，可得B项正确.

故选：B.

【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；

1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；

2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；

3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.

12．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.

【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，

第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

所以共（种）选派方案，

故选：A.

二、填空题

13．若，则n的值是      ．

【答案】10

【分析】根据组合数的性质，结合条件，即可得答案.

【详解】根据组合数的性质，且，

所以.

故答案为：10

14．10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率      .

【答案】

【分析】根据题目所给已知条件，结合概率计算公式即可.

【详解】根据题意，10件产品中有7件正品，3件次品，

则在第一次抽到次品后，还有2件次品，7件正品；

故第二次抽到次品的概率为：.

故答案为：.

15．已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为      .

【答案】405

【分析】利用赋值法求出a，再结合通项即可求解.

【详解】已知的展开式的各项系数之和为1024，

令可得，所以，

所以展开式的通项为，

令，则，

故展开式的常数项为.

故答案为：405.

16．已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为      .

【答案】

【分析】利用倒序相加法可得到，即可求得前16项的和.

【详解】，①

，②

两式相加，又因为，

故，所以，

所以的前16项的和为

故答案为：

三、解答题

17．已知等差数列的前n项和为，若，公差.

(1)求数列的通项公式和前n项和；

(2)求的最大值及取得最大值时n的值.

【答案】(1)

(2)当或时取得最大值，最大值为30

【分析】（1）由首项和公差，可利用公式直接计算通项公式与前n项和；

（2）由前n项和，结合二次函数的性质，即可得到结果.

【详解】（1）等差数列中，若，公差，

则有，.

（2），又，

∴当或时取得最大值，最大值为.

18．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足

(1)求数列和的通项公式；

(2)令求数列的前n项和；

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；

（2）分组求和即可.

【详解】（1）设的公差为,

由已知,有解得，

所以的通项公式为, 的通项公式为.

（2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.

19．已知正项等比数列的前项和为，且，.

（1)求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)根据题中所给的条件,结合数列前n项和的特征，以及数列的通项公式，化简得到关于该数列的公比q的等量关系式，利用正项数列，作出取舍，进一步求得数列的首项，从而得到其通项公式；

(2)利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为，，

所以或（舍去）.又，故，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，∴，①

∴，②

②①得，∴.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，项与和之间的关系，以及错位相减法求和，属于中档题目，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

20．已知．

(1)求；

(2)求；

(3)求．

【答案】(1)49

(2)301

(3)179

【分析】（1）由二项式定理求解

（2）由赋值法求解

（3）由赋值法求解

【详解】（1）就是项的系数，所以．

（2）令，得，

令，得，

所以．

（3）令，得，    ①

令，得，    ②

由②－①可得，所以．

21．已知数列的前项和为满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)设．求数列前项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用求得数列的递推公式，再利用等比数列的定义和通项公式进行求解；

（2）先利用对数的运算得到，再利用裂项抵消法进行求和.

【详解】（1）当时，∵，①

∴，②

①-②得：，∴，即，

又；得：，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列

∴

（2）∵，，

∴，

∴．

．

22．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，在①，且；②；③，，这三个条件中任选一个，解答下列问题：

(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；

(2)已知当且时，，数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值.

注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）由与的关系或等比数列的定义及通项公式求解即可；

（2）由裂项相消法求出后，再由恒成立进行求解即可.

【详解】（1）若选择条件①：因为，

所以，又，所以，即，

又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；

若选择条件②：因为，所以当时，有，

两式相减，得，即（），

又，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，

所以；

若选择条件③：由，得，即，

又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；

（2）由（1）知，，，且，

则，

因为数列为递增数列，所以的最小值为，

又恒成立，则，解得，

故的最小值为.