2022-2023学年四川省仁寿县文宫中学高二下学期5月期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省仁寿县文宫中学高二下学期5月期中数学（理）试题

一、单选题

1．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】逐一列出程序框图循环结构的运算结果，从而判断即可.

【详解】因为，

第一次循环：；

第二次循环：；

第三次循环：；

第四次循环：；此时满足输出的的值为，

所以此时要结束循环，故条件应该为，才能在第四次循环后结束循环，

因此图中判断框内①处应填.

故选：B.

2．数4557、1953、5115的最大公约数是（　　）

A．31 B．93 C．217 D．651

【答案】B

【分析】用辗转相除法计算最大公约数．

【详解】由题意得，，所以的最大公约数为；

，，，所以的最大公约数为．

故选：B．

3．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（    ）

A．4.8万 B．6万 C．6.8万 D．12万

【答案】B

【分析】由频率分布直方图求出可得答案.

【详解】由得，

估计居民中月均用水量在的人数为万，

故选：B.

4．若，，，则事件与的关系是（    ）

A．事件与互斥 B．事件与对立

C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立

【答案】C

【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.

【详解】∵，

∴，

∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.

故选：C

5．如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自或内部的概率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用几何概型的概率求解.

【详解】解：设，

所以，

所以点取自或内部的概率为：，

故选：A

6．有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法，

然后将3个项目全排列，共有种排法，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，

因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，

故选：D

7．将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（    ）

A．18种 B．36种 C．48种 D．60种

【答案】D

【详解】试题分析：当甲一人住一个寝室时有：种，当甲和另一人住一起时有：，所以有种.

【解析】排列组合.

8．已知的最小值为，则的展开式中常数项为（    ）

A．20 B．160 C． D．

【答案】C

【分析】根据绝对值不等式可得，进而结合二项式定理运算求解.

【详解】因为，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为，

可知的展开式的通项为，

令，解得，

所以的展开式中常数项为.

故选：C.

9．随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为 .

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．

【详解】根据题意，由于，那么可知，时，则可得概率和为1，即.

∴

∴

故选D.

【解析】离散型随机变量的分布列

点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目考查的内容比较简单，但是它是高考知识点的一部分

10．已知随机变量服从正态分布，则（    ）

A．0.21 B．0.58 C．0.42 D．0.29

【答案】D

【分析】已知随机变量服从正态分布，结合正态曲线的特点即可求解.

【详解】，

.

随机变量服从正态分布

,

曲线关于对称，

.

故选：D.

11．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①与负相关且；

②y与负相关且；

③y与正相关且；

④y与正相关且.

其中一定不正确的结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【答案】D

【分析】由回归直线的方程概念判断，

【详解】设回归直线方程为，若y与正相关，则，若y与负相关，则，可知①④一定不正确，

故选：D

12．已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：

由上表可得线性回归方程，则c＝（　　）

A． B． C．109 D．

【答案】D

【分析】根据表格数据求，代入回归方程求参数a，结合得，由方程的形式可知，即可求c.

【详解】由表格数据知：.

由，得，则.

∴，

由，得，

∴，即.

故选：D.

二、填空题

13．已知随机变量，若，则           .

【答案】16

【分析】根据正态分布可得，结合方差的性质运算求解.

【详解】因为，则，

又因为，所以.

故答案为：16.

14．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的概率为_________．

【答案】/

【分析】利用线性规划与向量数量积的坐标表示作出相对应的可行域，从而利用几何概型即可得解.

【详解】的坐标满足 ，表示的可行域如图，

易得，，，

则可行域的面积为，

又，

而，即，如图阴影部分所示，

易得，则，

所以的概率为．

故答案为：.

15．的展开式中的项的系数是        .

【答案】1560

【解析】把转化为，再利用二项式的展开式的通项公式，可求出答案.

【详解】由题意，，

因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，

所以的展开式中的项的系数是.

故答案为：1560.

【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理的应用，考查三项展开式的系数问题.解决本题的关键是把转化为，进而分别求出、的展开式的通项公式，令，可求出的展开式中的项的系数.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.

16．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为     ．（以数字作答）

【答案】288.

【详解】解：∵数学课排在前3节，英语课不排在第6节，

∴先排数学课有种排法，

再排最后一节有种排法，

剩余的有种排法，

∴根据分步计数原理知

共有=288种排法.

三、解答题

17．设求；

(1)

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）由赋值法得当与原式的值，再化简求解

【详解】（1）当时，；

当时，；

（2）

.

18．已知命题：“，使等式成立”是真命题，

(1)求实数的取值集合；

(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）由已知可得，由二次函数的性质计算在区间上的值域即可求解；

（2）根据已知条件可得，讨论，，时集合，再根据包含关系列不等式，解不等式即可求解.

【详解】（1）由可得，

因为，所以时，，

当时，，

所以，

（2）若是的必要条件，则，

方程的两根分别为，，

①当即时，，

由可得，解得：，

②当即时，，

由可得，解得：，

③当即时，，此时不符合题意，

综上可得：或.

19．用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

（1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；

（2）在区间和内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率；

（3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差.

【答案】（1）84；（2）；（3）平均数和方差分别为和148.

【分析】（1）在内的成绩占比为70%，在内的成绩占比为95%，由 ，可得答案；

（2）得出在区间和内的男生成绩样本数据，并列出数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点和调查对象来自不同分组的样本点，由古典概型的概率计算公式可得答案；.

（3）设男生成绩样本数据为，，…，，平均数为，方差为；

女生成绩样本数据为，，…，，平均数为，方差为；总样本的平均数为，方差为，由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得，

可得答案.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，在内的成绩占比为70%，在内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于内.

因为，

所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84；

（2）在区间和内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，

分别用和表示，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点

有，，

个数为，

记事件“调查对象来自不同分组”，

则事件包含的样本点有，

个数为，

所以；

（3）设男生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为

女生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，

方差为；总样本的平均数为，方差为.

由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，

得.

因为

又，

同理，所以

.

所以总样本的平均数和方差分别为和148.

20．某学校进行自主实验教育改革，选取甲､乙两个班做对比实验，甲班采用传统教育方式，乙班采用学生自主学习，学生可以针对自己薄弱学科进行练习，教师不做过多干预，两班人数相同，为了检验教学效果，现从两班各随机抽取20名学生的期末总成绩，得到以下的茎叶图：

(1)从茎时图中直观上比较两班的成绩总体情况.并对两种教学方式进行简单评价；若不低于580分记为优秀，填写下面的列联表，根据这些数据，判断是否有的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”，

(2)若从两个班成绩优秀的学生中各取一名，则这两名学生的成绩均不低于590分的概率是多少.

参考公式：

参考数据：

【答案】(1)列联表答案见解析，有的把握认为“成绩优与教学方式有关”

(2)

【分析】（1）根据茎叶图分析理解，并完善列联表，求，并与临界值对比分析；

（2）根据题意可得两个班成绩优秀的学生人数，结合古典概型运算求解.

【详解】（1）由茎叶图可以看出，甲班的成绩均匀分布在550~590之间；而乙班在580~600之间的高分段比例较高，成绩好于甲班､故学生自主进行学习能有效的提高总成绩.

列联表如下，

，可知有的把握认为“成绩优与教学方式有关”.

（2）甲班成绩优率的有6人，成绩不低于590分的有1人，

乙班成绩优率的有13人，成绩不低于590分的有5人，

可知基本事件的总数为，

从两个班成绩优率的学生中各取一名，则这两名学生的成绩均不低于590分分的基本事件个数为5，

所以这两名学生的成绩均不低于590分的概率.

21．某企业为改进生产，现 某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：

表中，．

若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，．

(1)利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．

【答案】(1)选择模型②，理由见解析；

(2)6.

【分析】（1）根据已知，根据的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模型②；

（2）与可用线性回归来拟合，有，求出系数，得到回归方程，即可得到成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，代入，即可求出结果.

【详解】（1）应该选择模型②.

由题意可知，，则模型②中样本数据的残差平方和比模型①中样本数据的残差平方和小，即模型②拟合效果好.

（2）由已知，成本费与可用线性回归来拟合，有.

 由已知可得，，

所以，

则关于的线性回归方程为.

成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，

当（吨）时，（万元/吨）.

所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.

22．习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前“日行万步”正成为健康生活的代名词，某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；

（2）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望；

（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；试判断10000元的预算是否足够.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）足够.

【分析】（1）本题可根据频率分布直方图求出样本平均数；

（2）本题首先可通过频率分布直方图求出“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”的人数，然后求出的所有可能的值以及对应的概率，即可列出的分布列，最后根据的分布列即可求出的数学期望；

（3）本题可通过频率分布直方图求出、内的人数，然后求出奖励所需要的总金额并与进行对比，即可得出结果.

【详解】（1）由频率分布直方图易知，50名教职工日行步数的样本平均数为：

.

（2）由频率分布直方图易知，50名职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有6人，

则的所有可能的值为、、、，

，，

，，

故的分布列为：

.

（3）用样本估计总体，步数在内的概率为，有人，

步数在内的概率为，有人，

因为，所以的预算足够.