2022-2023学年新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学高二下学期开学摸底数学试题含答案

2022-2023学年新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学高二下学期开学摸底数学试题

一、单选题

1．若直线经过两点，且倾斜角为45°，则m的值为（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】求出直线的斜率，再借助斜率坐标公式计算作答.

【详解】因直线的倾斜角为，则此直线的斜率，

而直线过点，因此，，解得，

所以m的值为2.

故选：A

2．直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】将直线方程化为截距式方程即可得出.

【详解】由可得，即，

，.

故选：B.

3．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线的方程即可求出双曲线渐近线.

【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，所以，即，

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：B

4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【详解】试题分析：将直线方程化为：与平行，所以，所以所求两条平行直线间的距离为：

，故答案为B.

【解析】1.两条直线平行；2.两条平行直线间的距离.

5．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；

【详解】．

故选：C．

6．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由已知求出圆的半径，然后根据圆的标准方程即可求解.

【详解】由题意可得圆心坐标，半径为，

则圆的方程为，即为，

故选：C.

7．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据双曲线的定义求出，然后可求得答案.

【详解】2a＝

所以，又c＝6，

所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.

所以双曲线的标准方程为

故选：B

8．加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆的蒙日圆的半径为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径．

【详解】解：由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线、的交点在圆上，

所以蒙日圆的半径.

故选：C．

9．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA=．若点M为PD中点，则直线CM与PB所成角的大小为（    ）

A．60° B．45° C．30° D．90°

【答案】C

【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，，利用向量法即可求出.

【详解】如图所示：以为坐标原点，以，，为单位向量建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，

故，，

故，

由异面直线夹角的范围是，故直线与所成角的大小为.

故选：C.

10．已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（    ）

A．0 B．4 C．8 D．12

【答案】C

【分析】根据两圆相交圆心距验证各选项即可.

【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足，

故选：C

11．若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（    ）

A．6 B．8 C．12 D．16

【答案】D

【分析】根据题意，结合跑线的定义得到，即可求解.

【详解】由题意，抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，

根据抛物线的定义，可得，解得.

故选：D.

12．设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出，利用双曲线的定义求出，进而可求得，利用勾股定理可求出的值，由此可得出双曲线的离心率的值.

【详解】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，

因为为等边三角形，则，所以，，

所以，，则，

所以，，则，

因此，该双曲线的离心率为.

故选：D.

二、填空题

13．已知空间向量，，则           .

【答案】

【分析】求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值.

【详解】因为空间向量，，则，

因此，.

故答案为：.

14．抛物线的准线方程是                    ．

【答案】

【分析】先将抛物线方程化为标准方程，然后可求出，从而可求出准线方程

【详解】抛物线的标准方程为，

所以，得，

所以抛物线的准线方程为，

故答案为：

15．圆与圆的公共弦所在直线的方程为       .

【答案】

【分析】将圆的方程作差即可求得公共弦方程.

【详解】将所给的两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为：，

即.

【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，公共弦方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为          .

【答案】

【分析】将题干数据代入公式，即可得出答案

【详解】由题意知：

所以则点到平面的距离，

故答案为：.

三、解答题

17．已知，．

(1)若，求的值；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据向量夹角公式计算即可；

（2）根据垂直关系的向量坐标表示求解.

【详解】（1）由已知可得，，

．

（2），

，

，，

即，解得．

18．已知直线过直线和的交点P.

（1）若直线过点，求直线的斜率；

（2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出交点的坐标后可求直线的斜率.

（2）求出直线的斜率后可求其一般方程.

【详解】（1）由题意可知：联立方程组，

解得，即交点，

又因为直线过点所以直线的斜率为：.

（2）因为已知直线斜率为，所以直线斜率为，

所以直线l的方程为：，

即为：.

19．回答下列各题.

(1)求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程.

(2)求焦点在轴上，虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求椭圆的焦点坐标为，结合椭圆的定义求得的值，然后可得方程；

（2）设方程为，根据题意可得，即可求得a，b，c的值，代入方程，即可得答案.

【详解】（1）解：椭圆的焦点坐标为，

因为所求椭圆过点，且该椭圆的焦点在轴上，

设所求椭圆的标准方程为，

则，

所以，，，

因此，所求椭圆的标准方程为.

（2）解：因所求双曲线的焦点在轴上，设所求双曲线的方程为.

由题意得，解得，，，

所以，所求双曲线的方程为.

20．如图，正四棱柱中，，为棱的中点.

(1)用向量法证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】建立空间直角坐标系，设，从而得到点、、、、的坐标，即可得到、、，然后求出平面的一个法向量，可得，且平面，从而得到平面；

（2）由（1）可得，设与面所成角为，可得，再利用空间向量数量积的坐标运算可求得结果.

【详解】（1）证明：在正四棱柱中，以为坐标原点，

、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，则、、、、、，

则、、，

设是平面的一个法向量，

则，取，可得，

所以，，则，

又因为平面，因此，平面.

（2）解：由（1）可知，平面的一个法向量为，

设与面所成角为，

则.

因此，与面所成角的正弦值为.

21．已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点．

(1)求直线y＝x被圆C所截得的弦长；

(2)圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．

（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径．

【详解】（1）∵圆C：，

∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，

∵直线y＝x，即x－y＝0，

∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，

∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵圆C：，圆C与x轴交于A，B两点，

∴x2－2x－7＝0，

则，|x1－x2|＝＝，

∴圆心的横坐标为x＝，

∵圆心在直线y＝x+1上，

∴圆心为(1,2)，

∴半径r＝，

故圆M的方程为．

22．已知焦点在轴的抛物线经过点.

（1）求抛物线的标准方程.

（2）过焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的纵坐标为，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意可设抛物线方程为：（），再将点代入抛物线的方程中得到p的值，最后写出抛物线的方程即可；

（2）设的方程为，，，联立直线与抛物线的方程可得，由韦达定理可得，再由线段中点的纵坐标为可得，进而求出m的值，最后写出直线的方程即可.

【详解】（1）由题意可设抛物线方程为：（），

∵抛物线过点，∴，

∴；

（2）设的方程为，，，

则由，，

所以，

由题意，，

故，

即直线的方程为.

【点睛】方法点睛：对于第二问，有两种方法：方法一：设点，，根据中点纵坐标即可利用点差法求得直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程；方法二：设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理和中点的纵坐标，即可求得直线的方程.