2022-2023学年云南省昆明市第八中学高二下学期特色部开学考试数学试题含答案

2022-2023学年云南省昆明市第八中学高二下学期特色部开学考试数学试题

一、单选题

1．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义直接求得答案.

【详解】由题意可知，

则,

故选：C.

2．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】C

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．

【详解】对于A，，，对应关系不同，即不是同一函数，故A不正确；

对于B，定义域为，定义域为，

定义域相同，对应关系不同，函数不是同一函数，故B不正确；

对于C，，定义域为，，定义域为，

定义域、对应关系相同，故为同一函数，故C正确；

对于D，定义域为，定义域为，

定义域不同，函数不是同一函数，故D不正确；

故选：C

3．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（     ）

A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3

C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x

【答案】C

【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，f(x)＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点，

且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

对于B，f(x)＝x3在R上是单调函数，有唯一零点，

且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，

故不能用二分法求零点；

对于D，f(x)＝ln x在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，

且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

故选：C．

4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（    ）

A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定

【答案】A

【分析】根据棱柱的定义进行判断

【详解】如图.

∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，

∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)，因此呈棱柱形状.

故选：A

5．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（    ）

A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位

【答案】D

【分析】设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可．

【详解】解：设每生产单位试剂的成本为，

因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，

职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，

则，

当且仅当，即时取等号，

满足，

所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．

故选：D．

6．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【分析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.

【详解】，故①正确；

根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；

每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.

故选：B.

7．已知事件A与事件B是互斥事件，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.

【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，则不一定是互斥事件，所以不一定为0，故选项A错误；

因为事件A与事件B是互斥事件，所以，则，而不一定为0，故选项B错误；

因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；

因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故选项D正确.

故选：D.

8．21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如图所示时，此时正方体的棱长最长，再根据图中的几何关系即可求出此结果．

【详解】因为圆锥的高和母线长分别为和，

则圆锥的底面半径为，

过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示：

此时正方体的棱长最大，设正方体的棱长为，则

作垂直地面于，则

因为，所以，

即即，所以.

故选：D.

二、多选题

9．下列运算中正确的是（    ）

A．

B．

C．当时，

D．若，则

【答案】BC

【分析】根据换底公式、对数运算法则，根式与分数指数幂的互化及幂的运算法则判断．

【详解】，A错；，B正确；

当时，，C正确；

时，，所以，D错．

故选：BC．

10．将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（    ）

A． B．在]上单调递减

C．直线是图象的一条对称轴 D．在[π，π]上的最小值为2

【答案】ABD

【分析】先由三角函数图象变换规律求出的解析式，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得，

再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得，

即，所以A正确，

由，得，所以在]上单调递减，所以B正确，

因为，所以直线不是图象的一条对称轴，所以C错误，

由，得，所以当时，取得最小值，所以D正确，

故选：ABD

11．已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】ABC

【分析】根据题意可得，解之即可得解.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以

解得.

故ABC正确，D错误

故选：ABC.

12．已知，，，点M满足且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用，将用表示，利用也将用表示，再通过平面向量基本定理可得；根据向量的线性运算可判断CD.

【详解】

，三点共线且为中点，

，，

，

三点共线且为上靠近A的三等分点，

，，

，

，

，，A正确，B错误；

，

C正确；

，D不正确.

故选：AC.

三、双空题

13．若指数函数的图象经过点，则        ；不等式的解集是              .

【答案】         

【解析】先求出函数的解析式，从而可得的值，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解.

【详解】设，

因为的图象经过点，

所以，所以，则，

等价于，

即，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查指数函数的解析式，考查指数函数单调性的应用，属于基础题.

四、填空题

14．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%，20%，50%，且三家工厂的次品率分别为3%，3%，1%，则市场上该品牌产品的次品率为        .

【答案】0.02/

【分析】根据全概率公式即可求解.

【详解】设，，分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；B表示买到一件次品，由题意有，，，，，

由全概率公式，得

.

故答案为：0.02.

五、双空题

15．在中，角所对的边分别为，且．若，则面积的最大值为         ；若，则           ．

【答案】         

【分析】由正弦定理化边为角，结合诱导公式求得角，若，应用余弦定理及基本不等式求得的最大值，可得面积最大值，若，由，应用两角差的正弦公式化简变形可求得，再求得后，由两角和的余弦公式计算．

【详解】因为，由正弦定理得，

，

中，，所以，是三角形内角，所以．

若，则，即，当且仅当时等号成立，

所以，最大值为．

若，则，

，，，

所以，又，，所以，

所以．

故答案为：；．

六、填空题

16．正方体的棱长为，点O为底面正方形的中心，点P在侧面正方形的边界及其内部运动，若，则点P的轨迹的长度为      ．

【答案】

【分析】通过证明平面，确定点的轨迹就是线段，利用线段长度关系即可求解.

【详解】如图所示，设中点为：

当点在处时，，

当点在的中点时，，

，，

所以，

所以，又，

所以平面，

所以点的轨迹是线段，

所以

故答案为：.

七、解答题

17．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)-1

(2)2

【分析】根据三角函数的定义，，再利用三角恒等变换，分别化简两个式子，将正切值代入，即可得到答案；

【详解】（1）根据三角函数的定义，．     

原式；

（2）原式．

18．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350（单位：）之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示：

(1)求在被调查的用户中，用电量落在区间的户数；

(2)求直方图中x的值；

(3)求这组数据的平均数.

【答案】(1)30户

(2)0.0044

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图估计频数即可；

（2）根据频率分布直方图的各矩形面积和为求解即可；

（3）根据频率分布直方图估计平均数即可.

【详解】（1）解：，

所以在被调查的用户中，用电量落在区间的户数为30户

（2）解：

所以直方图中x的值为0.0044.

（3）解：各区间的中点值分别为：75､125､175､225､275､325，

所以这组数据的平均数为.

19．如图，直三棱柱中，点是上一点.

(1)若点是的中点，求证∥平面；

(2)若平面平面，求证.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连接，设，则由三角形中位线定理可得∥，然后利用线面平行的判定定理可得结论；

（2）在平面中，过作，则由面面垂直的性质可得平面，则，再由直棱柱的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，从而由线面垂直的性质可得结论.

【详解】（1）证明：连接，设，则为的中点，

连接，由是的中点，得∥，

又面，且面，

所以∥平面；

（2）证明：在平面中，过作，

因为平面平面，又平面平面，

所以平面，

因为平面，所以，

在直三棱柱中，平面，平面，

所以，

又，平面，所以平面，

因为平面，所以.

20．在①，，；②，，；③，，这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________，解三角形.

【答案】答案见解析

【分析】选择条件①：利用正弦定理求出，即可得出，再利用正弦定理即可求出；选择条件②：利用正弦定理求出，即可求出和；选择条件③：利用正弦定理求出，即可求出和.

【详解】选择条件①：

因为，，，

由正弦定理得，即，

所以，则或（舍去），

所以，

因为，

由正弦定理可得，则.

选择条件②：

因为，，，

由正弦定理得，即，

所以，解得或，符合题意，

当时，，则，

当时，，则；

选择条件③：

因为，，，

由正弦定理得，即，

则，所以，

所以，.

21．设m为实数，已知函数是奇函数.

(1)求m的值；

(2)证明：在区间(+∞)上单调递减：

(3)当时，求函数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)(1,+∞).

【分析】（1）利用奇函数的定义即得；或利用特殊值法；

（2）利用单调性的定义证明即得；

（3）利用指数函数的性质即得.

【详解】（1）解法1：由题意得，函数的定义域为，

又因为函数为奇函数，所以，

∴，即，

解得

解法2：取，则有，

∴，解得，

当时，，

而

所以在上为奇函数，

故

（2）由（1）知，对于任意，设，

则有.

由得，那么，

从而有，即，

故在区间(+∞)上单调递减.

（3）对于，有，得，

从而，

所以当，函数的取值范围为.

22．A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：

(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？

(2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.

(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？

【答案】(1)10人、20人与180人；

(2)；

(3)至少要花11233元，最多要花16980元.

【分析】（1）设出老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，列出方程组，求出结果；（2）分与两种情况进行求解；（3）在第二问基础上分别求出购买火车票的总费用，比较后得到至少要花11233元，最多要花16980元.

【详解】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，

若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：，

 解得，则.

答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.

（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，

①当时，最经济的购票方案为：

学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票.

所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.

②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张.

所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.

综上：

（3）由（2）知，当时，，

由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，，

由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元.所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元.