2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期第三次质量检测数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期第三次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由复数的运算求出复数z，再由复数几何意义即可解答.

【详解】由题意，

所以，则复数z在复平面内对应的点，为第四象限内的点.

故选：D

2．（    ）．

A．15 B．30 C．45 D．60

【答案】C

【分析】由排列数公式，组合数公式及性质计算即可．

【详解】，

故选：C．

3．设函数的导数为，且，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】可先求函数的导数，令求出即可.

【详解】由，

令得，

解得.

故选：B.

4．曲线在x=0处切线方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

【详解】函数，求导得，

则曲线在x=0处切线斜率，而切点坐标为，

所以曲线在x=0处切线方程是，即，A正确，BCD错误.

故选：A

5．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（    ）

A．0.09 B．0.42 C．0.51 D．0.6

【答案】C

【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译的概率为，得到答案.

【详解】甲乙都不能译出密码得概率为，

故密码被破译的概率为.

故选：C

6．由直线及曲线围成的封闭图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出直线与曲线的交点坐标，确定被积函数与被积区间，利用定积分可求得结果.

【详解】联立，解得或，如下图所示：

由图可知，所求区域的面积为.

故选：B.

7．用数学归纳法证明不等式时，从“到”左边需增加的代数式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据数学归纳法证明的步骤即可求解.

【详解】解：利用数学归纳法知：

当时，

假设成立，

当时，

需证成立，

故从“到”左边需增加的代数式为：.

故选：D.

8．若，则（    ）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

【答案】D

【分析】先令x=0，求出，再令x=1，求出，进而得到答案.

【详解】令x=0，则，

令x=1， 则，

所以.

故选：D.

9．随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分布列的性质求出，再由均值的公式即可求出答案.

【详解】，∵，

∴，解得，

则，

∴．

故选：B

10．市教育局要将5位新老师分配到三所高中任教，要求每个学校至少分配一个老师，则不同分配方法的种数为（    ）

A．150 B．240 C．300 D．360

【答案】A

【分析】先分为两种类型，逐个求解，先分成三个小组，再分配到三个学校.

【详解】将5位新老师分配到三所高中任教，要求每个学校至少分配一个老师，分为两种情况：

第一种情况是，一个学校3人，另外两个学校均为1人，此时有种方案；

第二种情况是，一个学校1人，另外两个学校均为2人，此时有种方案；

综上可得共有.

故选：A.

11．掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数大于等于2”，B为“掷得点数为奇数”，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】列举出事件A的所有基本事件，然后从其中找出满足事件B的基本事件，利用古典概型概率公式可得.

【详解】事件有下列可能： ，共5种；

在事件A条件下满足条件有：共2种，所以.

故选：D.

12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

二、填空题

13．函数的单调递减区间为      ．

【答案】/

【分析】利用导数求得的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为，∵，

令得，

∴函数的单调递减区间是．

故答案为：

14．已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则        ．

【答案】/

【分析】先求出随机变量的概率，再求出，最后根据性质求出即可.

【详解】由题

，

所以，

由，

所以，

故答案为：.

15．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X<2）等于        ．

【答案】

【分析】由题意分析X服从超几何分布，直接求概率即可.

【详解】由题意可得： X服从超几何分布，X可取0，1，2.它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，

即，

，

，

于是．

故答案为：.

16．若函数有两个实根，则的取值范围是      ．

【答案】

【分析】参数分离，构造新函数，求解新函数的值域，运用几何解释求解.

【详解】，原问题等价于直线与曲线有2个交点，

，当时，单调递增，当时，单调递减，

在处，取得极小值也是最小值，，当时， ，

，当时，，当趋于时，趋于；

函数的大致图像如下：

所以，k的取值范围是 ；

故答案为：.

三、解答题

17．求实数的值，使复数分别是：

(1)实数；

(2)纯虚数.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据题意可得出，解之即可；

（2）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，解之即可.

【详解】（1）解：若复数为实数，则，解得或.

（2）解：若复数为纯虚数，则，解得.

18．已知的展开式中，第项和第项的二项式系数相等.

（1）求；

（2）求展开式中的常数项.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质及组合数公式得到方程，求得的值．

（2）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．

【详解】解：（1）由题意，

，

整理得

解得，或（舍）

；

（2）二项展开式通项公式为，

令，解得，

故所求展开式中的常数项为.

19．已知是的极值点.

(1)求实数的值；

(2)求在上的值域.

【答案】(1)5

(2)

【分析】（1）根据极值的定义进行求解即可；

（2）根据（1）的结论，结合函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1），

由题意得：是方程的根，

，得，

，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

所以是函数的极值点，满足题意，

实数的值为5；

（2）由（1）得，，

当时，，当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

，

又，

在上的值域为.

20．小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.

【答案】（1）0.398；（2）0.994.

【分析】结合独立事件的乘法公式即可.

【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.

则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.

（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为

P1＝P()＋P()＋P()＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()

＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.

（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为

P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.

21．某大型企业生产的产品细分为个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到级到级的评为优秀，检测到级到6级的评为良好，检测到级到级的评为合格，检测到级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表:

(1)从这件产品中随机抽取件，请估计这件产品评分为优良的概率；

(2)从该企业的流水线上随机抽取件产品，设这件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望及方差.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为，方差为

【分析】（1）先求得样本优良的频率，进而得到这件产品产品评分为优良的概率；

（2）先求得的每个取值对应的概率，进而得到的分布列、期望方差.

【详解】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件：产品的评分为良好.

根据统计学原理，可以用样本来估计总体，

由统计表得，.

因为互斥，所以可以估计该件产品为优良的概率为.

（2）由(1)知，评分为优秀的概率为，由题意得，

则

当时，；

当时，；

当时， ；

当时，；

当时，.

所以的分布列为

数学期望，

方差.

22．已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有最小值，证明：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出的定义域与导数，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）由（1）可知，当时，函数有最小值，可得出，利用导数分析出函数在上的最大值为，其中，结合二次函数的基本性质可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为，函数的定义域为，

则.

①当时，对任意的，，函数的增区间为，无减区间；

②当时，由可得，由可得，

所以，函数的减区间为，增区间为.

综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；

当时，函数的减区间为，增区间为.

（2）解：由（1）可知，当时，函数的增区间为，则函数无最小值，

当时，函数的减区间为，增区间为，此时函数有最小值.

则，其中，

则，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递减，

因为，所以，，即，

因为，，

所以，存在，使得，即，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，.

因为函数在上单调递增，

所以，，

因此，.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.