2022-2023学年陕西省榆林市靖、府、绥、米四校高二下学期第一次联考数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省榆林市靖、府、绥、米四校高二下学期第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合的并集运算求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

2．已知复数（为虚数单位），则复数的实部为（    ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】先根据复数的乘法求出，然后根据定义得到实部.

【详解】因为，所以的实部为3．

故选：A

3．在中，角的对边分别是，若，，，则

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理，利用题设中的边a，b的长和A，求得sinB的值，进而由边的大小关系判断出为锐角，求得的值．

【详解】由正弦定理得，

∵a＞b，∴

∴

故选A．

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用．已知两边的长和一个边的对角，可选择用正弦定理的来解决．

4．已知，是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】D

【分析】根据向量平行的相关知识，结合平面向量基本定理即可得解.

【详解】由，得，

所以，

又，是平面内不共线的两个向量，

则，解得.

故选：D.

5．已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.

【详解】解：由，若，则可能平行或，充分性不成立；

由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

6．已知一组数据6，6，8，8，10，10，则该组数据的方差是（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】利用平均数与方差的计算公式求解即可.

【详解】由题意，该组数据的平均数为，

所以该组数据的方差是.

故选：C.

7．若函数为奇函数，则实数（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】由函数为上的奇函数，可得，进而可得出答案.

【详解】因为函数为奇函数，定义域为，

所以，即，解得，

经检验，当时，是奇函数．

故选：B．

8．用反证法证明“若，则或”时，应假设（    ）

A．或 B．或

C．且 D．或

【答案】C

【分析】利用反证法的假设要求，结合“或”的否定进行解答即可.

【详解】因为用反证法证明命题时，需要把要证的结论进行否定，再将否定结果作为假设，

而题干命题的结论为“或”，其否定为“且”，

所以应假设且.

故选：C.

9．已知，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.

【详解】因为，

由基本不等式可得，可得，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.

故选：A.

10．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”，他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．这个求三角形面积的方法，可用如图所示的程序框图表示，若中，，，，利用这种方法可求出的面积为（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用程序框图的逻辑进行运算求解即可.

【详解】因为中，，，，

根据程序框图可得满足下一步的要求，

将代入，得，

执行下一步，得，故输出的值为.

故选：C.

11．已知直线与轴，轴分别交于P，Q两点，点是圆上的动点；若的面积的取值范围是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用点线距离公式得到圆心到直线的距离，再利用面积的取值范围得到动点到直线距离的取值范围，从而得到关于的方程组，解之即可得解.

【详解】由题意知，圆心，所以，

点到直线的距离，

设点到直线的距离为，，

因为，所以，

所以直线与圆相离，则，即，

所以，解得.

故选：B.

12．已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.

【详解】根据题意，构造函数，则，

所以函数在R上单调递增，又，即，

所以，即，解得.

故选：D.

二、填空题

13．如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则           ．

【答案】18

【分析】由图案规律得通项公式后求解，

【详解】由题意得，故，

故答案为：18

14．设复数，则         ．

【答案】

【分析】利用复数的四则运算求得，从而求得，再利用模的运算公式即可得解.

【详解】由题意知，

所以，

所以.

故答案为：.

15．若直线与曲线相切于点，则      .

【答案】

【分析】利用切点在曲线上和在切线上，以及切点处的导数等于切线斜率可解.

【详解】将代入，得，

所以，可得

又在直线上，所以，解得.

故答案为：.

16．粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等．粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品．某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个棱长为的正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，则这个肉丸的体积的最大值是           ．

【答案】/

【分析】由题意，当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，计算正四面体的表面积与体积，再根据等体积法求解出内切球的半径，代入球的体积公式计算即可.

【详解】当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，

如图，设正四面体的高为，内切球的半径为，

所以，所以，

正四面体的表面积为，

根据等体积法，得，即，

解得，所以，

即肉丸的体积的最大值为．

故答案为：                                          

三、解答题

17．已知曲线C的参数方程是（为参数），直线E的方程为（t为参数）．

(1)求曲线与直线的普通方程；

(2)求曲线上的点到直线的最大距离．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用消参法，结合三角函数的平方关系即可得解；

（2）利用三角换元法，结合点线距离公式与辅助角公式即可得解.

【详解】（1）由得，则，

所以曲线的普通方程为.

由消去得，即，

所以直线的普通方程为.

（2）依题意，设，

则到直线的距离，

因为，的周期为，

故当时，取得最大值，即，

所以曲线上的点到直线的最大距离为.

18．2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课在中国空间站问天实验舱开讲，神舟十四号飞行乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲在轨介绍了问天实验舱基本情况和植物生长研究项目，演示了微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验、太空趣味饮水、会调头的扳手等趣味实验．某市组织全市中小学生观看了“天宫课堂”第三课，并随机抽取1000名中小学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下列联表：

(1)若将样本频率视为概率，求从全市中小学生中随机选择1名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率；

(2)完成上面的列联表，能否有99.9%的把握认为学生性别和有“飞天宇航梦”有关？

附：，其中．

临界值表：

【答案】(1)

(2)列联表见解析，能

【分析】（1）根据题意依次分析出有有“飞天宇航梦”的男生与女生的人数，从而得解；

（2）结合题意完成列联表，再根据列联表计算，从而对比临界值表即可得解.

【详解】（1）由题意与列联表可知被调查的男、女学生都是500人，

其中有“飞天宇航梦”的男生有400人，女生有350人，一共750人，

所以学生有“飞天宇航梦”的频率为，

因此从全市中小学生中随机选择1名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率为.

（2）列联表如下:

根据列联表中的数据，经计算得到：

，

所以有的把握认为学生性别和有“飞天宇航梦”有关.

19．已知数列是由正数组成的等比数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等比数列通项得，解出，的值，即可得出其通项；

（2），分组求和即可.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

由，得，

是由正数组成的等比数列，则，，

则，解得或（舍），

又，

所以，解得，

所以.

（2），

所以

.

20．已知.

(1)求函数的最小正周期；

(2)已知均为锐角，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦二倍角公式和降幂公式直接化简函数，再结合三角函数的周期公式直接求解；

（2）根据已知条件求出，再根据正弦的差角公式求值.

【详解】（1），

所以，

即函数的最小正周期为

（2）因为，所以，

又因为，所以.

因为，所以，

所以

21．已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)求在区间上的最小值.

【答案】(1)极大值，极小值；

(2)答案见解析.

【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而判断并求出的极值；

（2）对求导，讨论、、对应的符号确定的单调性并求最值，注意时讨论与区间位置关系求最值，即可得结果.

【详解】（1）由题设且，则，

当或时，当时，故在、上递增，在上递减，

所以极大值，极小值.

（2）由，

当时，在、上，在上，

所以在、上递增，在上递减，故上最小值为；

当时，在上，即在上递增，故上最小值为；

当时，在、上，在上，

所以在、上递增，在上递减，

若，上最小值为；

若，上最小值为；

若，上最小值为；

综上，时，最小值为；

时，最小值为；

时，最小值为.

22．已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据，，得到，再由求解；

（2）当直线与轴垂直，容易判断；当直线与轴不垂直，设直线的方程是，与椭圆的方程联立，根据以为直径的圆过点，由，即结合韦达定理求解.

【详解】（1）解：因为，

所以椭圆的左焦点的坐标是，

所以

解得

所以椭圆的方程为.

（2）若直线与轴垂直，则直线与椭圆的交点，的坐标分别是，，

以为直径的圆显然过点，此时直线的方程是；

若直线与轴不垂直，设直线的方程是，

与椭圆的方程联立，消去并整理，得.

设，，则，

，，

.

因为以为直径的圆过点，

所以，即，，

所以，，

，解得.

显然满足，

所以直线与轴不垂直时，直线的方程是，即.

综上所述，当以为直径的圆经过点时，直线的方程是或.