2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二下学期第三次考试数学试题含答案

2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二下学期第三次考试数学试题

一、单选题

1．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可

【详解】对于A：，故A不正确；

对于B：，故B不正确；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D不正确，

故选：C.

2．展开后的不同项数为（    ）

A．9 B．12 C．18 D．24

【答案】D

【分析】由分步乘法计数原理求解即可

【详解】分三步：第一步，从中任取一项，有4种方法；

第二步，从中任取一项，有3种方法；

第三步，从中任取一项有2张方法.

根据分步乘法计数原理，得共有（项）.

故选：D

3．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由图象的变化趋势，结合导数的几何意义有，即可得结果.

【详解】由图知：，即.

故选：A.

4．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，则取得的这盒X光片是次品的概率为（    ）

A．0.08 B．0.1

C．0.15 D．0.2

【答案】A

【分析】以分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的X光片为次品，然后根据全概率公式结合题意可求得结果.

【详解】以分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的X光片为次品，

则，，

所以由全概率公式，所求概率为

故选：A

5．已知，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求导，再代值求出，，即可求得，再求即可

【详解】因为，，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

故选：A

6．已知随机变量，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．6 C．4 D．2

【答案】C

【分析】根据正态分布的对称性即可求解，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.

【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，又因为，所以，所以．

当时，,所以有

，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，

故选:C．

7．算盘是我国一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位､十位､百位､千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意列举出所有基本事件，进而求出，然后利用条件概率公式求解即可.

【详解】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．

基本事件为：，

5500共14种，

事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050，则，

所以．

故选：A．

8．定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由的奇偶性得到在上恒成立，进而得到在上单调递减，由为奇函数得到在R上单调递减，从而由单调性解不等式，求出解集.

【详解】因为为奇函数，所以，

对任意正数恒有，即，

故在上恒成立，

故在恒成立，

故在上单调递减，

定义域为R，又，故为奇函数，

所以在上单调递减，又的图象连续不断，

故在R上单调递减，

变形得到，

所以，解得，解得.

故选：D

二、多选题

9．下列命题中是真命题有（    ）

A．若，则是函数的极值点；

B．函数的切线与函数图象可以有两个公共点；

C．函数在处的忉线方程为，则

D．函数，，则的单调递增区间是．

【答案】BC

【分析】A可以举反例说明错误; B可以举特例说明可以成立；C可以由导数几何意义验算; D可以先求出函数的导数, 再求出导数为正的的范围,即可进行判断.

【详解】对于A:当函数时,,当时,,但是不是函数的极值点,故A错误;

对于B:函数的切线可能与函数的图象有两个交点,例如函数在处的切线与函数的图象还有一个公共点为，故B正确;

对于C:函数在处的切线方程为,当时，，而切点是切线与曲线的公共点，所以；根据导数的几何意义,故C正确;

选项D,定义在区间上的函数,

,,

故的单调递增区间是和,函数的单调增区间（或减区间）有多个，应该用逗号隔开，或者分别叙述，不能用并集符号“”，故D错误

故选:BC

10．2023春节档期有《流浪地球2》，《满江红》，《深海》，《无名》，《交换人生》5部电影，现采用抽签法决定放映顺序，记事件A：“《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场”，事件B：“《深海》是第一场”，则下列结论中正确的是（    ）

A．事件B包含144个样本点 B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由条件求出样本空间的样本点的个数，再分别求事件所包含的样本点的个数，由此判断A，再利用古典概型概率公式及条件概率公式判断其余选项.

【详解】随机试验采用抽签法决定5部电影放映顺序有个样本点，

《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场的排法可分为两类

第一类，《满江红》排最后一场，其余4部电影在前4个位次全排列，共有种排法，

第二类，《满江红》不排在最后一场，先排《满江红》有种排法，再排《无名》有种排法，

再排其它影片有种排法，故第二类共有 种排法，

所以事件包含的样本点的个数为，

事件包含的样本点的个数为，所以A错误；

由古典概型概率公式可得，B正确；

《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场，且《深海》是第一场的排法可分为三步完成，

第一步先排《深海》排在第一场，只有一种方法；再在第二场到第四场中排《无名》有种方法，最后在剩余三个位次排列其它影片有种排法，

所以事件包含的样本点的个数为，

由古典概型概率公式可得，C正确；

由条件概率公式可得，D错误；

故选：BC.

11．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（    ）

A．  B．时，

C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小

【答案】ABC

【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.

【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，

故A正确，

对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，

则，

所以，

，

所以，故B正确，

对于C,D选项，，

当时，为正项且单调递增的数列，

故随着的增大而增大故选项C正确，

当时，为正负交替的摆动数列，

故选项D不正确.

故选：ABC.

12．已知的展开式中x项的系数为30，项的系数为M，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C．M有最大值10 D．M有最小值

【答案】ABC

【分析】由题可得，进而可判断AB，由题可得，利用导数可判断CD.

【详解】∵，

又的展开式的通项公式为，

∴，

，故B正确；

，又，，故A正确；

由题可得，

所以，

，由，得，

∴，，

∴M在处取得最大值10，无最小值，故C正确，D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．的展开式中的常数项为   ．（用数字作答）

【答案】1792

【分析】由的展开式通项公式得到符合要求，从而求出答案.

【详解】展开式的通项公式，

令，得，令无整数解，所以展开式中的常数项为．

故答案为：1792

14．春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有          种．

【答案】144

【分析】将A，B捆绑，先确定A，B的位置，再将剩余节目排序，即可得出答案.

【详解】解：将A，B捆绑，先确定A，B的位置，有种可能，再将剩余节目排序，有种可能，所以不同的排序方式有（种）．

故答案为：144.

15．对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：对于是偶数时，；对于是奇数时，.现有如下四个命题：①；②；③的个位数是；④的个位数是.正确的命题序号为      .

【答案】①②③④

【分析】根据的双阶乘的定义可直接验证知①正确；将展开式各项提出之后，即可知②正确；由展开式中含因数因数可知③正确；结合的个位数可推导得④正确.

【详解】对于①，，①正确；

对于②，，②正确；

对于③，的展开式中含因数，其个位数为，③正确；

对于④，，

的个位数与的个位数相同，个位数为；

又，的个位数与相同，个位数为，④正确.

故答案为：①②③④.

16．若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是      ．

【答案】

【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得解.

【详解】因为，

所以，

则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，

令，则，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，此时，

所以，则，

所以，即.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）计算：;                         

（2）已知，求.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）利用排列数公式求解即可；

（2）利用组合数的性质求解即可.

【详解】解：（1）;

(2)已知，则或

解得：或，经检验均符合.

故或.

18．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的极值.

【答案】(1)

(2)极小值为,无极大值.

【分析】（1）求导，进而得到，又，写出切线方程；

（2）由（1）知，令列表求解即可.

【详解】（1）

切点为，

切线的斜率为

所以曲线在点处的切线方程为

（2）令，解得，或

当时，函数取得极小值,无极大值.

19．从包含甲､乙2人的8人中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各多少种不同的排法？

(1)甲､乙2人都被选中且必须跑中间两棒；

(2)甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；

(3)甲､乙2人都被选中且必须跑相邻两棒.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用排列数以及分步乘法计数原理即可求解.

（2）利用排列数、组合数以及分步乘法计数原理即可求解.

（3）利用捆绑法以及分步乘法计数原理即可求解.

【详解】（1）甲､乙2人必须跑中间两棒，则他们本身有一个全排列，

余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，

根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.

（2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，

则需要从甲､乙2人中选出1人，有种选法，

然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种结果，

另外6人中要选3人的剩余的三个位置上排列，

根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为.

（3）甲､乙作为一个整体，从余下的6人中选2人，

相当于3个人在三个位置上排列，

则不同的排列种数为.

20．已知展开式的二项式系数和为a，展开式的奇数项的二项式系数和为b，且，则在的展开式中，求解下列问题：

(1)二项式系数最大的项；

(2)系数的绝对值最大的项．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，用n表示出a，b并求出n，再利用二项式系数的性质求解作答.

（2）由（1）的结论，求出二项式展开式的通项，再列出不等式即可求解作答.

【详解】（1）依题意，，于是，即，解得，

所以的展开式中第4项的二项式系数最大，

即.

（2）由（1）知，展开式的通项公式为，

设第项的系数的绝对值最大，因此，

整理得，解得，而，则，即系数的绝对值最大的项是第3项，

所以系数的绝对值最大的项为.

21．网络购物相比于实体店购物更加方便、省时，成为大学生日常生活中的购物新模式．某高校学生会分别随机抽取本校男、女学生各100人进行网络购物问卷调查，调查问卷中有一项是“你每学年用于网购消费的金额”，经过数据整理，得到如下频数分布表：

(1)试估计该高校学生网购消费金额低于900元的频率；

(2)以频率作为概率，若将每学年用于网购消费的金额不低于900元的学生称为“网购过度消费”，低于900元的学生称为“非网购过度消费”，从该校“网购过度消费”的学生中随机抽取4名学生进一步了解他们对网络购物的满意度，记抽到男生的人数为，求的分布列与期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）利用网购消费金额低于900元的学生人数与200的比值求出频率；

（2）先得到，利用二项分布知识求出分布列和期望.

【详解】（1）由题图可知，该高校学生网购消费金额低于900元的频率为：；

（2）从该校“网购过度消费”的学生中，任取一名网购消费金额不低于900元的学生，该生是男生的概率为，

随机抽取4名学生，抽到男生的人数为，易知，

，，，

，，

的分布列为：

且．

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；

(3)证明：.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)

(3)证明见解析

【分析】(1)利用导函数讨论单调性；

(2)根据导函数与单调性、最值的关系求解；

(3)利用导函数与单调性的关系证明不等式.

【详解】（1）∵，∴，

当时，，函数在上单调递增；

当时，令，得；令，得.

∴在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，不符合题意；

当时，，

且，

当趋于无穷大时，的增长速率远远大于的增长速率，所以趋于,由此作出的图象，

∴若有且仅有2个零点，只需.

设，则.

∴当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

又，

∴或.

∴实数a的取值范围为.

（3）证明：由（1）可知当时

在上单调递减，在上单调递增.

，

即，当且仅当时取等号，

设，则.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

又，

∴，当且仅当时取等号.

∴.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．