2022-2023学年天津市实验中学滨海学校高二下学期第二次质量调查数学试题含答案

2022-2023学年天津市实验中学滨海学校高二下学期第二次质量调查数学试题

一、单选题

1．已知集合，,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式求得集合，再由交集的概念进行运算即可.

【详解】对于集合，由解得，∴，

又∵，∴由交集的概念，.

故选：B.

2．设，且，则常数的值为（  ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，再根据给定等式列式即可求得常数.

【详解】由得，，

依题意得，，解得，

所以常数的值为.

故选：B

3．已知函数是R上奇函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用奇函数的性质即可求得答案.

【详解】由题意函数是R上奇函数，当时，，

故，

故选：C

4．设，则的值为（    ）

A．9 B．11 C．28 D．14

【答案】B

【分析】代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值.

【详解】.

故选：B

5．“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】解出的取值范围即可得出结论.

【详解】由题意，

在中，解得：，

∴“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】本题可用排除法，先根据函数的奇偶性排除A、B选项，再由特殊值，即可确定结果.

【详解】因为函数定义域为R，且，所以为偶函数，排除A、B；又，排除D，即可确定答案为C.

故选：C

【点睛】本题主要考查函数性质的应用体现学生数形结合思想，属于中档题.

7．化简的值为（         ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式

，

故选：B

8．下列四组函数中，导数是同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据选项中的函数，求得和，结合同一函数的判定方法，即可求解.

【详解】对于A中，由函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以A不符合题意；

对于B中，函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以B不符合题意；

对于C中，函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以C不符合题意；

对于D中，函数，可得的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数，所以D符合题意.

故选：D.

9．已知函数的定义域为R，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先由条件转化为恒成立，再讨论求的取值范围.

【详解】由条件可知，恒成立，

当时，恒成立，

当时，，解得：，

综上可知，.

故选：B

10．已知，记，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

故选：A

11．已知，且，则（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8

【答案】C

【分析】根据二项分布期望、方差公式及已知列方程求即可.

【详解】由题设，，则，

所以.

故选：C

12．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设条件可得是周期为4的周期函数，结合给定区间解析式，利用周期性、奇偶性求的值.

【详解】由题意，在上的奇函数，且，得，

∴，则，即，

∴，即是周期为4的周期函数，

当时，，则.

故选：B.

13．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围.

【详解】因为函数在区间上单调递增，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令，

则，

所以在上递增，又，

所以.

所以的取值范围是.

故选：B

14．若定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析可知偶函数在上为增函数，由可得出，解之即可.

【详解】因为是定义在上的偶函数，且该函数在上为减函数，

所以，函数在上为增函数，

由可得，

所以，，即，即，解得或.

故选：A.

15．已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的奇偶性与单调性可得出原不等式的解集.

【详解】由题意可知，当时，，

构造函数，其中，

则，所以，函数为偶函数，

且当时，，所以，函数在上单调递减，

因为，

由可得，即，

所以，，故，

即或，解得或.

故选：C.

16．已知函数若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.

【详解】函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，

作出函数的图象，

对于A，，

当时，，令，解得，

结合图象可知，故A错误；

结合图象可知，解得，故B正确；

又，且，

所以，即，

所以，故C错误；

根据二次函数的性质和图象得出，所以，故D错误；

故选：B

二、填空题

17．函数的单调递增区间为           .

【答案】/

【分析】首先明确函数是复合函数，因此要先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法进行求解.

【详解】令，得；

而此时的单调递增区间为，单调递减区间为，

函数是单调减函数 ，

故函数的单调递增区间为，

故答案为：或

18．已知随机变量，且，则          ．

【答案】/

【分析】由正态分布的对称性得出概率.

【详解】.

故答案为：

19．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则的最大值为        ．

【答案】1

【分析】根据指对互化公式得到x＝loga3，y＝logb3，.＝＝log3a＋log3b＝log3ab，结合均值不等式可得到最值.

【详解】因为a>1，b>1，ax＝by＝3，a＋b＝2，所以x＝loga3，y＝logb3.＝＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝log32＝1，当且仅当a＝b时，等号成立．

故答案为1.

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

三、双空题

20．已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则        ，展开式中的系数为        .

【答案】         

【分析】由二项式系数和求n，再应用二项式定理写出含的项，即可得结果.

【详解】由题意，则，故原二项式为，

所以其展开式通项为，

当，则，故所求系数为.

故答案为：，

21．在5道题中有3道代数题和2道几何题，不放回地依次抽取2道题，则第1次和第2次都抽到代数题的概率为      ；在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为      .

【答案】     /     /

【分析】用表示第次抽到代数题，用表示第2次抽到几何题，利用排列数和古典概型概率公式即可求解第1次和第2次都抽到代数题的概率；先计算，，结合条件概率的计算公式，即可求解在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

【详解】用表示第次抽到代数题，用表示第2次抽到几何题，

所以第1次和第2次都抽到代数题的概率，

因为，，

所以在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为:

.

故答案为：；.

四、填空题

22．已知函数（是自然对数的底数），对任意的，存在，有，则的取值范围为          .

【答案】

【分析】根据题意将问题转化为，再利用导数求得，利用二次函数的性质分类讨论求得，从而求得的取值范围.

【详解】因为对任意的，存在，有，

所以，

因为，所以，

令，得；令，得；

所以在上单调递增，在上单调递减，故，

因为开口向下，对称轴为，

当，即时，在上单调递减，则，

所以，则，故；

当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，故；

当，即时，在上单调递增，

所以，即，故；

综上：，即.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

（4）考查数形结合思想的应用．

五、解答题

23．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，求在区间上的最小值．

【答案】(1)当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．

(2)①当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为．

【分析】（1）求导可得，讨论两根两者的大小关系，判断的单调性；（2）结合（1）中的单调性，讨论在上的单调性，进而确定最小值．

【详解】（1）因为，所以．

①当时，，则在R上单调递增；

②当时，令，解得或，

则在，上单调递增，在上单调递减；

③当时，令，解得或，

则在，上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）知，当时，或．

①当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

此时在上的最小值为；

②当，即时，在上单调递减，

此时在上的最小值为．

24．冬奥组委会为大会招募志愿者，对前来报名者进行专业知识测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题6道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲､乙两人报名参加测试，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲､乙两人各题是否答对相互独立.

(1)分别求甲､乙两人录用为志愿者的概率；

(2)记甲､乙两人中录用为志愿者的人数为，求的分布列及.

【答案】(1)甲被录用为志愿者的概率为，乙被录用为志愿者的概率为,

(2)的分布列见解析，.

【分析】(1)利用古典概型概率公式求出甲被录用为志愿者的概率，利用独立事件概率乘法公式求乙被录用为志愿者的概率；(2)由条件确定的可能取值，及取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式及性质求.

【详解】（1）从6道题中任选4道共有种取法，

因为甲能答对6道题中的4道题，

故甲能答对所选的4道题中的3道或4道的选法有种，

故事件甲被录用为志愿者的概率，

因为乙能答对每道题的概率均为，

故乙被录用为志愿者的概率,

（2）由已知可得的可能取值有0，1，2，

由(1)可得，，

，

所以的分布列为：

所以,

所以.

25．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.

【答案】(1)；

(2)递减区间是，递增区间是；

(3)3.

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）利用导数求出的单调区间作答.

（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答.

【详解】（1）函数，求导得，则，而，

所以曲线在点处的切线方程是.

（2）函数的定义域是，，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以函数的递减区间是，递增区间是.

（3），，

令，求导得，

由（2）知，在上单调递增，，，

因此存在唯一，使得，即，

当时，，即，当时，，即，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

于是，则，

所以整数的最大值是3.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.