2022-2023学年河南省周口市项城市第三高级中学高二下学期第三次考试数学试题（A）含答案

2022-2023学年河南省周口市项城市第三高级中学高二下学期第三次考试数学试题（A）

一、单选题

1．已知随机变量，且，则（    ）

A． B．12 C．3 D．24

【答案】C

【分析】结合，求得，即可求解．

【详解】由题意，随机变量，可得，

又由，解得，

即随机变量，可得，

故选：C．

2．函数，则函数在处切线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数几何意义求对应点处的切线斜率即可.

【详解】由，则，即在处切线的斜率为.

故选：D

3．近期多所学校发布了2023年强基计划招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学，要报考复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，每位同学只能报考其中的一所学校，且每所学校至少有一名同学报考，则不同的报考方法共有多少种（    ）

A．18 B．36 C．72 D．12

【答案】B

【分析】将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到复旦大学、南京大学、东南大学三所学校求解.

【详解】解：由题意，将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，

然后分配到复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，

则不同的报考方法共有种,

故选；B

4．的展开式中二项式系数最大的为，则不可能为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】A

【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.

【详解】根据二项式系数的对称关系，

当时，所有二项式系数中，最大；

当时，所有二项式系数中，，且均为最大；

当时，所有二项式系数中，最大；

当时，所有二项式系数中，，且均为最大；

故选:A.

5．某产品的宣传费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表所示：

根据上表可得回归方程，则宣传费用为6万元时，销售额最接近（    ）

A．55万元 B．60万元 C．62万元 D．65万元

【答案】B

【解析】计算出和，根据回归方程过点，求出，再代入可得结果.

【详解】，，

由回归方程过点，故，得，即.

当时，，所以最接近的是60

故选：B

6．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ）

A．72种 B．36种 C．12种 D．60种

【答案】A

【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.

【详解】如下表

故选：A．

7．根据教育部的规定，从2021年9月1日以来，全国各地的中小学都开展了课后延时服务．各个学校都及时安排老师参加课后延时服务工作，学校要求张老师在每个星期的周一至周五要有三天参加课后延时服务．若张老师周五一定参加课后延时服务，则他周四也参加课后延时服务的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设事件A为张老师“周五参加课后延时服务”，事件B为张老师“周四参加课后延时服务”，利用古典概型求出，和的值，再根据条件概率公式，即可求出结果.

【详解】设事件A为张老师“周五参加课后延时服务”，事件B为张老师“周四参加课后延时服务”，则，，故．

故选:A．

8．在数列中，，且函数的导函数有唯一零点，则的值为（    ）．

A．1021 B．1022 C．1023 D．1024

【答案】A

【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断为偶函数，根据有唯一零点知，构造法有，应用等比数列定义写出通项公式并求对应项.

【详解】由在上有唯一零点，

而，

所以为偶函数，则，故，且，

所以是首项为4，公比为2的等比数列，则，

则.

故选：A

【点睛】关键点点睛：判断导函数为偶函数，进而得到为关键.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量~，则

B．若随机变量的方差，则

C．若，，，则事件与事件独立

D．若随机变量~且，则

【答案】ACD

【分析】通过计算可以判断选项ABD；计算得到，则事件与事件独立，所以选项C正确.

【详解】A. 若随机变量~，则，所以该选项正确；

B. 若随机变量的方差，则,所以该选项错误；

C. 若，则事件与事件独立，所以该选项正确；

D. 若随机变量~且，则，所以该选项正确.

故选：ACD

10．已知是等差数列，其前项和为，，则下列结论一定正确的有（　　）

A． B．最小 C． D．

【答案】AC

【分析】计算得 所以，所以选项A正确；由于符号不确定，所以选项B错误；所以选项C正确；，所以选项D错误.

【详解】根据题意，数列是等差数列，若

即

变形可得 所以，所以选项A正确；

，

如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小；

如果，则，由于，则没有最小值.所以选项B错误；

，所以选项C正确；

，所以选项D错误.

故选：AC

11．以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励.已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关.下列说法正确的是（    ）

A．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率是；

B．只有甲小组受到奖励的概率是；

C．已知该技术难题一定能被攻克，只有丙小组受到奖励的概率是

D．受到奖励的小组数的期望值是

【答案】ACD

【分析】根据独立事件的概率计算后判断选项ABC，求出受到奖励的小组数对应的概率，计算出期望值后判断D．

【详解】设甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题分别为事件，即，相互独立，

，A正确；

，B错；

该技术难题一定能被攻克的概率是，

只有丙小组受到奖励的概率是，

因此在该技术难题一定能被攻克的条件下只有丙小组受到奖励的概率是，C正确；

设受到奖励的小组数为，则的值为，

，

，

，

．

所以．D正确．

故选：ACD．

12．已知、，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；构造函数，利用函数在上的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，

所以，，当且仅当时，等号成立，A对；

对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以，，B对；

对于C选项，取，，则

，此时，C错；

对于D选项，令，其中，

则，所以，函数在上为增函数，

因为，则，D对.

故选：ABD.

三、填空题

13．的展开式中，常数项为           

【答案】

【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解.

【详解】的展开式通项为，其中，

因为，

在中，由，可得，

在中，得，

所以，展开式中，常数项为.

故答案为：.

14．现有两批产品，第一批产品的次品率为5%，第二批产品的次品率为15%，两批产品以3:2的比例混合在一起，从中任取1件，该产品合格的概率为          .

【答案】0.91/

【分析】设两批产品共取件，求出第一批和第二批产品中的合格品的件数即得解.

【详解】设两批产品共取件，

所以第一批产品中的合格品有件，第二批产品中的合格品有件，

所以从中任取1件，该产品合格的概率为.

故答案为：0.91

15．北京时间2022年11月30日7时33分，神舟十五号航天员乘组在载人飞船与空间站组合体成功实现对接后，从飞船返回舱进入轨道舱，并与神舟十四号航天员乘组“胜利会师”，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有      种

【答案】44

【分析】首先求出总的方案种数，再求出甲乙在一起的情况，相减即可求得甲乙不在一起的情况.

【详解】由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人，共有种方案；

若甲乙两人同时在天和核心舱，则有种方案；若甲乙两人同时在问天实验舱，则有种方案.

所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则有种.

故答案为：44

16．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为          ．

【答案】

【分析】原不等式转化为存在，成立，令，由导数可知函数为增函数，据此可得，转化为成立，分离参数求的最小值即可.

【详解】由题意：存在，使得不等式成立，

即成立，即成立，

令，，则恒成立，

所以在上单调递增，

所以只需时，有成立，即成立，

令，则，

所以当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以的最小值为e．所以a的取值范围是．

故答案为：

四、解答题

17．为调研某中学足球训练开展情况，今随机抽取该校男女学生各100名，统计每人日均参加足球训练的时间，结果都在30~90分钟之间，其中60分钟及以上者106人．将100名男生参加足球训练的时间分成6组：，制作频率分布直方图如图所示：

(1)求频率分布直方图中的值，并估计男生参加足球训练时间的样本数据的分位数；

(2)若将参加足球训练时间在60分钟及以上者视为爱好足球，完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析爱好足球是否与性别有关？

列联表如下：

附：①，其中．

②临界值表：

【答案】(1)，分位数为；

(2)列联表见解析；小概率值的独立性检验，爱好足球与性别有关.

【分析】（1）由直方图频率和为1求得参数，结合百分位数的定义求分位数；

（2）根据已知分析数据完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想确定结论.

【详解】（1）根据男生参加足球训练时间的频率分布直方图得：

，所以，

设样本数据的分位数为，由百分位数的概念知，

，解得：．

（2）由频率分布直方图知，

样本中爱好足球的男生人数为：（人）

所以爱好足球的女生人数为：（人）．

可得列联表如下：

假设：爱好足球与性别无关，

由公式得：，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即爱好足球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．

18．已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出公比和首项，得到的通项公式；

（2）利用分组求和法和裂项相消法求和.

【详解】（1）设等比数列的公比为q(q>0).

由题意得，整理得：，解得：q=2或q=-3(舍).

又，所以，解得：.

所以，.

（2）因为，所以，

所以

所以数列的前n项和为：

19．为了迎接4月23日“世界图书日”，我市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下

(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：

（ⅰ）若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；

（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列及均值．

附参考数据：若随机变量服从正态分布，则

，．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，

【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可；

（2）（ⅰ）根据题中所给的公式，结合正态分布的性质进行求解即可；

（ⅱ）运用二项分布的性质进行求解即可.

【详解】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，

则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，

即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为；

（2）（ⅰ）因为，所以，

故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为；

（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中堕机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布，所以

，

，

，

，

所以随机变量的分布列为：

.

20．已知函数，.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.

【答案】(1)的单调增区间为，；的单调减区间为

(2)

【分析】（1）由导数得出的单调区间；

（2）由得出，由单调性得出函数的简图，进而由直线与的图象有三个不同的交点，得出的取值范围.

【详解】（1）解：，

当时，由，解得或；

由，解得，

故的单调增区间为，；的单调减区间为.

（2）因为在处取得极大值，所以，即.

所以，，

由解得，，

由，解得或；

由，解得，

则函数在，上单调递增，在上单调递减.

故在处取得极大值，在处取得极小值，

当，当，则函数的简图如下图所示：

因为直线与函数的图象有三个不同的交点，

结合的简图可知，的取值范围是.

21．港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平．在开挖隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数、某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控量测结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如下表所示：

研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数进行拟合．令，计算得：，，；，，．

(1)请判断是否可以用线性回归模型拟合u与t的关系；（通常时，认为可以用线性回归模型拟合变量间的关系）

(2)试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；

(3)已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险．若规定每天下午6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方．

附：①相关系数；

②回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

③参考数据：，．

【答案】(1)可以

(2)，累加总下沉量为毫米.

(3)第7天

【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可.

（2）根据公式计算u与t的回归方程，然后转化为z与t的回归方程；

（3）注意下沉速率9毫米/天，指的是瞬时变化率，利用导数求解.

【详解】（1）;

;

.

可以用线性回归模型拟合变量间的关系.

（2）设，则.

；

;

，

,当时，.

所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为毫米

（3），

下沉速率：，

所以设第n天下沉速率超过9毫米/天，

则：，，，，，

所以第8天该隧道拱顶的下沉速率超过9毫米/天，

最迟在第7天需调整支护参数，才能避免塌方．

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)设，若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)单调增区间为的单调减区间为

(2)

【分析】（1）利用导数的性质，结合构造新函数法进行求解即可；

（2）利用常变量分离法，结合导数的性质，结合新函数法进行求解即可；

【详解】（1）定义域为，

令，则

所以在上单调递增，且

令，得，令，得，

所以的单调增区间为的单调减区间为；

（2）恒成立

所以恒成立

设

则

设，则，

当时，递增，

当时，递减，

所以

所以当时，恒成立，

当时，递增，

当时，递减，

所以

由恒成立得，

所以的取值范围为.

【点睛】关键点睛：利用常变量分离法，结合构造新函数法、结合导数的性质是解题的关键.