2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二下学期5月质量检测数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二下学期5月质量检测数学（理）试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二下学期5月质量检测数学（理）试题 一、单选题1．已知点的极坐标为，则点的直角坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由极坐标和直角坐标的转化求解即可.【详解】由，可得点的直角坐标为.故选：A.2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（    ）A．s≥t B．s>tC．s≤t D．s<t【答案】A【解析】由做差，然后对差式进行配方可得结果.【详解】故选：A.【点睛】本题主要考查做差法比较大小，关键是对做差以后的式子进行化简.3．不等式的解集是（　　）A．或 B．或C．或 D．【答案】C【分析】根据绝对值不等式的解法，直接求解即可．【详解】因为，所以或，解得或，所以不等式的解集是或，故选：C．4．设，且，则必有A． B． C． D．【答案】B【解析】由 且可得；由且可得【详解】（1） （当且仅当时等号成立） 又且 则得 （2） （当且仅当时等号成立） 又且 则得 综上故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式的变形比较不等式大小.熟记几个重要的不等式，可快速判断. , , , ,(以上不等式当且仅当 时等号成立)5．若实数，则的最小值为（   ）A．1 B．6 C．11 D．【答案】D【分析】利用柯西不等式进行判断即可．【详解】解：，，当且仅当时等号成立，的最小值；故选：D.6．不等式的解集为A． B． C． D．【答案】B【分析】分三种情况讨论：，以及，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集.【详解】当时，成立，此时；当时，，解得，此时；当时，，原不等式不成立.综上所述，不等式的解集为，故选B.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.7．已知点的极坐标是，则过点且垂直极轴的直线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程．【详解】的直角坐标是，∴过且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，即．故选：C．【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．8．直线与圆的位置关系是（    ）．A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离【答案】C【分析】直线化为直角坐标方程，圆化为直角坐标方程，求出圆心到直线距离，与半径比较即可得结论.【详解】解：直线可化成, 所以，,即，圆可化成,即，所以，圆心到直线的距离，所以圆与直线相切．故选：．9．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用绝对值三角不等式可求得最小值，由此可得的范围.【详解】（当且仅当时取等号），，若在上恒成立，则，即的取值范围为.故选：A.10．设曲线的参数方程为，直线的方程，则曲线上到直线的距离为的点的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】将圆C化为普通方程，计算圆心到直线l的距离，通过比较所求距离与的关系即可得到满足条件的点的个数．【详解】化曲线C的参数方程为普通方程：，圆心到直线的距离，所以直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，与l平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意，故选C【点睛】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．11．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.当与有两个公共点时，实数的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得曲线的普通方程、曲线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得的取值范围.【详解】，，两边平方相加得，所以表示圆心为，半径为的圆的下半部分.，，，即，依题意，与有两个公共点，所以，，两边平方得，解得，结合图象可知.故选：D12．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（    ）A． B．12 C． D．3【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，设出，分别表达出和，即可计算出的最大值【详解】解：由题意建立平面直角坐标系如下图所示：则，，，∵圆（后轮）的半径为∴圆设∴，∴当即，时最大，∴最大值为故选：A. 二、填空题13．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为       .【答案】/0.6【分析】根据给定的参数方程求出椭圆的长短半轴长，再利用离心率公式计算作答.【详解】依题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，则该椭圆半焦距，所以该椭圆的离心率.故答案为：14．若，，，则的大小关系是        ．【答案】/【分析】应用分析法及不等式的性质判断的大小关系.【详解】要证，需证，平方后化简得，即证即证，即证，显然成立，所以.故答案为：15．不等式的解集为          ．【答案】【分析】分，，三种情况讨论，即可求出结果．【详解】当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，显然不成立；综上，原不等式的解集为．故答案为：．16．如图，正三棱锥中，，，两两互相垂直，，设点是内一点，现定义，其中，，分别是三棱锥，，的体积，若，则的最小值为          .【答案】【详解】由题中定义可得，三棱锥的体积为，且：，据此有：，即，则：，当且仅当时等号成立.综上可得的最小值为.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 三、解答题17．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程（2）求曲线与交点的极坐标（）【答案】（1）  （2），.【分析】（1）利用 对原方程进行化简，即可求出结果；（2）联立，的直角坐标方程解得交点的直角坐标，在将直角坐标化为极坐标即可.【详解】（1）的极坐标方程为：.（2）的直角坐标方程为：.联立，的直角坐标方程解得交点的直角坐标为和，化为极坐标为，.【点睛】本题主要考查了直角坐标和极坐标的转换，属于基础题.18．已知函数(1)求不等式的解集；(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号求解；（2）根据绝对值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立．当时，不等式转化为，解得．当时，不等式转化为，无解．综上所述，不等式的解集为．（2）由，当且仅当时等号成立，得．，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3．19．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)若，直线与曲线交于两点，是线段的中点，求的值．【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；(2). 【分析】（1）根据可得曲线的直角坐标方程，根据可得直线的普通方程；（2）写出直线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义及韦达定理求解.【详解】（1）由（为参数），得，即，则曲线的直角坐标方程为．由，得，则直线的普通方程为．（2）由题意可得直线的参数方程为（为参数）．将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得．设A，B，M对应的参数分别为，，，则，，从而，故．20．设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ），去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．（Ⅱ）依题意，问题等价于关于的不等式恒成立，，利用绝对值的几何意义转化求解即可．【详解】（Ⅰ），可转化为或或，解得或或无解，所以不等式的解集为． （Ⅱ）依题意，问题等价于关于的不等式恒成立，即，又，当时取等号．所以，解得或，所以实数的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法（或几何法）、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法（或几何法）求解时注意图像的正确刻画．21．在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）在圆上取两点，使得，点与直角坐标原点构成，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到答案.（Ⅱ）将圆方程化为极坐标方程，，，，计算得到答案.【详解】（Ⅰ）由得，化为直角坐标方程为，又圆C是圆心为，半径为r的圆，直线与曲线C相切，可得：． （Ⅱ）由（Ⅰ）圆C的极坐标方程为，不妨设，，则，当时，，所以面积的最大值为．【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，面积的最大值，利用极坐标方程可以简化运算.22．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.【详解】（1）    当且仅当时取等号，即：（2），当且仅当时取等号又，，（当且仅当时等号同时成立）又    【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.