2022-2023学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作高二下学期5月联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作高二下学期5月联考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作高二下学期5月联考数学试题

一、单选题
1．已知函数，则（   ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据导数的运算及导数的概念求解即可.
【详解】因为，所以
所以.
故选：D.
2．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得．
【详解】根据题意，且，则，
由正态曲线得，所以．
故选：C．
3．某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率的计算公式即可求得答案.
【详解】记事件A表示“张老师在周二参加课后延时服务”，
事件B表示“张老师在周三参加课后延时服务”，
则，，所以，
故选：B．
4．某选拔性考试需要考查4个学科语文、数学、物理、政治，已知物理考试与数学考试不能相邻，则这4个学科不同的考试顺序共有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】先排语文、政治，再利用插空法求解即可．
【详解】先安排语文、政治形成3个空隙，再将数学、物理插入到其中2个空隙中，
则这4个学科不同的考试顺序共有种．
故选：C
5．已知一系列样本点…的回归直线方程为若样本点与的残差相同，则有
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项.
【详解】样本点的残差为，样本点的残差为，依题意，故，所以选C.
【点睛】本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题.
6．在正方体中，分别为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ）
A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为定值
C．平面∥平面 D．点到平面的距离为定值
【答案】B
【分析】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的性，利用空间向量逐个计算判断即可
【详解】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
设，，即，所以，
设，，即，所以，
对于A，因为，
所以，所以，，
因为，平面，所以平面，所以A正确，
对于B，因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，则
不是定值，所以B错误，
对于C，由选项A可知平面，所以为平面的一个法向量，
因为，所以，
所以，
因为，平面，所以平面，
所以平面∥平面，所以C正确，
对于D，因为，所以点到平面的距离为
，为定值，所以D正确，
故选：B

7．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为，且三家工厂的次品率分别为，则市场上该品牌产品的次品率及该次品是甲厂生产的概率分别为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相互独立事件乘法公式及条件概率公式即可求解.
【详解】市场上该品牌产品的次品率为
记事件A为该产品为次品，事件B为甲厂生产，则，，
则该次品是甲厂生产的概率为
故选：B
8．定义在上的函数的图像关于直线对称，其导函数为，当时，恒有，若，则下列一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对称性得是偶函数，构造函数，得其为偶函数，再由导数得单调性，由此可得结论．
【详解】的图象关于对称，的图象关于对称，是偶函数，
∴不等式可化为，
令，，∴是偶函数，
，
则在上单调递减，从而在上单调递增，
∴得，即，
∴，
故选：D.

二、多选题
9．下列说法中，正确的命题有（    ）
A．相关系数的值越大，说明成对样本数据的线性相关程度越强
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和
C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D．若样本数据的方差为，则数据的方差为4
【答案】BC
【分析】由相关系数与线性相关性的关系判断A，由对数的运算性质及回归思想判断B，由残差图与回归效果间的关系判断C，求解方差判断D．
【详解】选项A，相关系数的绝对值越大，说明成对样本数据的线性相关程度越强，A错误；
选项B，由题意，因此，，，B正确；
选项C，在做回归分析时，残差图中残差点分布的水平带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，C正确；
选项D，新数据的方差为，D错误．
故选：BC．
10．空间直角坐标系中，已知，，，，则（    ）
A．
B．与夹角余弦值为
C．与平行的单位向量的坐标为或
D．在方向上的投影向量的坐标为
【答案】ABC
【分析】A选项先算出，然后根据向量的数量积计算是否为来判断；B选项先算出与，然后根据夹角公式计算；C选项根据向量的单位化方法求解；D选项根据投影向量的坐标公式求解.
【详解】，，
根据向量的数量积运算，，故，A选项正确；
，又，
根据夹角公式，，B选项正确；
与平行的单位向量为：，即单位向量的坐标为或，C选项正确；
根据投影向量的坐标公式，在方向上的投影向量的坐标为：，D选项错误.
故选：ABC
11．已知，则（    ）
A．展开式中所有项的系数和为
B．展开式中二项式系数最大项为第项
C．
D．
【答案】ACD
【分析】AC选项可用赋值的办法解决，对于D选项观察式子结构，可先左右两边同时求导之后再进行赋值，B选项根据二项式系数的性质进行判断.
【详解】A选项，取，得到，即展开式中所有项的系数和，A选项正确；
B选项，根据二项式系数的性质，且是二项式系数中最大的两项，于是展开式中二项式系数最大项为第项和第项，B选项错误；
C选项，取，得到，取，得到，故，C选项正确；
D选项，等式两边同时求导，得到，取，得到，D选项正确.
故选：ACD
12．已知方程(为常数)，下列说法正确的有（    ）
A．为方程实根 B．
C．方程在无实根 D．方程所有实根之和大于
【答案】ACD
【分析】将方程等价为，则或，构造函数，又导数求解单调性，结合极值点偏移，即可构造函数求解.
【详解】方程可化为,
即，令，则或，
令，，
令，所以在单调递增，在单调递减，
且，所以，故B错误，
故当时，，此时方程在无实根，A正确，
令的两个根为且则，
又，
令
则，
当无限接近1时，接近于，
令,则,
所以在上单调递减，
由于，所以，故，
所以，
故在上单调递增，
，故在上单调递减，故，
即，故
，即可
又时
所以方程所有实根之和大于.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

三、填空题
13．设函数的导函数为，若函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求得，得到，进而求得且，结合直线的点斜式方程，即可求得切线的方程.
【详解】由函数，可得，
则，解得，
即且，
可得且，即切点坐标为，切线的斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
14．2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，会务组将6张不同的纪念邮票分配给来自省的2名代表和省的2名代表，每名代表至少1张，则有 种分配方法．（用数字作答）
【答案】1560
【分析】先将6张邮票分为4组，再分给4个人，利用排列组合数公式计算即可．
【详解】先将6张邮票分为4组，有1，1，2，2和1，1，1，3共2种分组方法，
①按1，1，2，2分组，则有种分配方法；
②按1，1，1，3分组，则有种分配方法；
故共有种分配方法．
故答案为：1560．
15．某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（℃）之间的关系，随机统计了某个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x（）
17
13
8
2
销售量y（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为 件．
【答案】48
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，可得线性回归方程，根据所给的的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．
【详解】由表格得，，
把代入回归方程，得，
解得：，
，
当时，．
故答案为：48．
16．若不等式对任意成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】将不等式变形为对任意成立，构造函数，求导得单调性，进而问题进一步转化为成立，构造，即可由导数求最值求解.
【详解】因为对任意成立，
不等式可变形为:，即，
即对任意成立，
记，则，所以在上单调递增，
则可写为，
根据单调性可知，只需对任意成立即可，
即成立，记，即只需，
因为，故在上，，单调递增，
在上，，单调递减，所以，
所以只需即可，解得.
故答案为:
【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式恒成立或者存在类问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

四、解答题
17．已知是函数的一个极值点．
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最值．
【答案】(1)函数的增区间为、，减区间为
(2)最小值为，最大值为4

【分析】（1）利用求得，再利用导数研究函数的单调性即可得解；
（2）求出函数在区间上的极大值和极小值，与、的值比较大小，可得出函数在区间上的最值.
【详解】（1）因为，则，
因为是函数的一个极值点，则，解得，
经检验满足题意，
此时，，
由可得，由可得或，
所以，函数的增区间为、，减区间为.
（2）由（1）可知，，
函数在上单调递增，在上递减，在上单调递增，
当时，函数的极大值为，极小值为，
又因为，，
所以，函数在上的最小值为，最大值为4
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点.且.
  
(1)求证：平面PCD；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）法一：根据线面垂直的判定定理分别证明，，即可证得结论；法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直，结合线面垂直判定定理即可证得结论；法三：根据空间向量的坐标关系求解直线方向向量与平面法向量，利用向量关系证得结论即可；
（2）利用空间向量的坐标运算求解线面夹角的正弦值即可
【详解】（1）方法一
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵四边形ABCD为矩形，∴，又，PA，平面PAD，
∴面PAD，
∵面PAD，∴，
在中，，E为PD中点，∴
∵，面PCD，面PCD，∴平面PCD.
方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
  
则，，，，，，
，，，∴.
在中，，E为PD中点，∴.
∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD；
方法三：设平面PCD的一个法向量为，，，，
则，∴.
令，则，∴，
∵，∴，∴平面PCD.
（2）由（1）得：平面PCD，
∴为平面PCD的一个法向量，.
记直线BE与平面PCD所成角为，
∴，
∴直线BE与平面PCD所成角的正弦值为；
19．为了调查某公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系，随机抽取30名员工，调查他们的饮食习惯和月收入的关系，并制作了30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表（说明：表中饮食指数不高于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.其中月收入4000元以上员工中饮食指数高于70的有11人.
饮食指数表
20
21
21
25
32
33
36
37
42
43
44
45
45
58
58
59
61
66
74
75
76
77
77
78
78
82
83
85
86
90
  
(1)填表，并根据小概率值的独立性检验（精确到0.001），分析饮食习惯是否与月收入有关系；

月收入4000元及以下
月收入4000元以上
合计
主食蔬菜



主食肉类



合计



(2)用样本估计总体，从该公司主食蔬菜的员工中随机抽取3人，设这3人中月收入4000元以上的人数为，求的分布列与数学期望.
附：参考公式及临界值表：，其中 .












【答案】(1)填表见解析，饮食习惯与月收入有关系
(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据饮食指数表进行数据统计，填入列联表，然后由题干附注的公式算出，对应参考表格中的临界值分析饮食习惯是否和月收入有关；
（2）根据步骤写出分布列，对应的概率值，由于人数基数大，可以视为二项分布，然后由二项分布的期望公式求解.
【详解】（1）根据频率分布直方图，月收入4000元以上的人数为，
所以2×2列联表如下：

月收入4000元及以下
月收入4000元以上
合计
主食蔬菜
8
10
18
主食肉类
1
11
12
合计
9
21
30
所以，
根据小概率值的独立性检验，认为饮食习惯与月收入有关系；
（2）从主食蔬菜的员工中任选1人，该人月收入4000元以上的概率.
可取
所以，，
，，
所以的分布列为










∵，根据二项分布的期望公式，∴.
20．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)当时，在上为增函数；当时，在单调递增，在单调递减；
(2)

【分析】（1）求导函数，讨论，时导函数符号从而得函数单调性；
（2）将不等式转化为，使得，设，求导确定单调性从而得函数最值，即可得实数的取值范围．
【详解】（1），定义域为，
若，则在上为增函数，
若，令，得，
当时，；当时，
在单调递增，单调递减
综上所述当时，在上为增函数；
当时，在单调递增，在单调递减；
（2）因为，使得，所以，
令，即，
因为，
设，
所以在单调递减，又，
则当，当，
故函数在单调递增，单调递减，
的最大值为，
即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：已知含参不等式求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：构造差函数，求导确定单调性，再相应最值确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
21．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨询该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见下表）
等级

B
询单转化率


人数
6
4
视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，设抽取的等级客服的人数为，求随机变量的分布列，并求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率；
(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)

【分析】（1）依题意的可能取值为、、、、，对应的询单转化率中位数分别为，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；
（2）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出的取值范围.
【详解】（1）依题意、等级客服的询单转化率分别为.
则的可能取值为、、、、，
由题意可得，服从超几何分布，所以的分布列为，.
即，，
，，
，
所以的分布列为：












当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为.
所以当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.
所以.
（2）设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为、.
则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为，
所以，则.
因为，等级客服的询单转化率分别为，
所以改革前日均成交人数为；
改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为，
所以，则，
故改革后日均成交人数为.
由得①，
因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服接待的概率为.
又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以，
解得：②，
由①②得：，所以应该控制在.
22．已知函数，其中．
(1)讨论函数零点个数；
(2)求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，进而可求解，
（2）根据，取，利用累加法，结合指对互化即可求解.
【详解】（1）
①当时，即在单调递减，
又，只有一个零点.
②当时，令则，
当时，当时，
故在单调递增，在单调递减，
，
令，则，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
故，
又，，
故当时，只有一个零点，
当且时，有两个零点，
综上可知：故当或时，只有一个零点，
当且时，有两个零点，
（2）由（1）可知，当时，在单调递减，
故当时，，故，
取，则，即，
相加可得，
，
，
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.