2022-2023学年浙江省嘉兴市海盐第二高级中学高二下学期3月阶段检测数学试题含答案

2022-2023学年浙江省嘉兴市海盐第二高级中学高二下学期3月阶段检测数学试题

一、单选题

1．的展开式的第6项的系数是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.

【详解】由题得，

令r=5,所以，

所以的展开式的第6项的系数是.

故选C

【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

2．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的运算法则以及复合函数的求导法则，求出各项的导数，即可得出答案.

【详解】对于A项，，故A项错误；

对于B项，，故B项正确；

对于C项，，故C项错误；

对于D项，，故D项错误.

故选：B.

3．设A，B为两个事件，且，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用条件概率公式，代入即可求解．

【详解】由题意， ，

根据条件概率的计算公式，可得．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，属于基础题.

4．澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（  ）

A．480 B．240 C．384 D．1440

【答案】A

【分析】应用排列数求出“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数，间接法求出上述两道菜不能接连相邻上菜的方法种数即可.

【详解】若“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜，则有种，

再将其与其它4道菜作全排列，共有种，

所以“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数有种；

而六道菜依次上菜的总顺序有种，

所以其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜的方法数种.

故选：A

5．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是（    ）

A．9 B．10 C．36 D．45

【答案】D

【分析】结合二项式展开式的二项式系数求得正确结论.

【详解】由题意知第10行的数就是二项式（a+b）10的展开式中各项的二项式系数，

故第10行第9个数是．

故选：D

6．已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.

【详解】对于不等式对，

当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；

当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．

综上，原不等式的解集为．

故选：A

7．在大庆市第一次高考模拟考试之后，我校决定派遣名干部分成三组，分别到高三年级的三个不同层次班级进行调研，若要求每组至少人，则不同的派遣方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【分析】先将人分为三组，每组至少人，然后将三组分配给高三年级三个不同层次的班，利用分步乘法计数原理可得结果.

【详解】先将人分为三组，每组至少人，则三组人数分别为、、或、、，然后将三组分配给高三年级三个不同层次的班，

由分步乘法计数原理可知，不同的派遣方案种数为.

故选：C.

【点睛】方法点睛：对于分组分配问题，一般遵循“先分组再分配”的原则进行，但要注意完全均匀分组与部分完全分组.

8．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求导，分离参数可得有两个解，构造，利用导数研究其最值即可求解.

【详解】令，得到.

令，

则函数有两个极值点可转化为与的图象在有两个不同的交点.

，

令，解得：.

当时，，函数单调递增;

当时，，函数单调递减.

所以当时函数取得最大值.

当时，，时且,

如图为的图象，

当与的图象有两个不同交点时，.

故选:B.

二、多选题

9．下列问题属于排列问题的是（    ）

A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳

B．从10人中选2人去游泳

C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队

D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数

【答案】AD

【分析】根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答.

【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；

对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；

对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；

对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．

故选：AD

10．若为正整数，的展开式中存在常数项，则的可能取值为（    ）

A．16 B．10 C．5 D．2

【答案】BC

【分析】先得出展开式的通项公式，再令，由此可得选项.

【详解】解：的展开式的通项公式为，

令，得，又，，所以结合选项知，可取5和10．

故选：BC．

11．如图，用种不同的颜色把图中四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（   ）

A．

B．当时，若同色，共有48种涂法

C．当时，若不同色，共有48种涂法

D．当时，总的涂色方法有420种

【答案】ABD

【分析】根据同色或者不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解.

【详解】对于A，由于区域与均相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确，

对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，

涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂，

故共有种涂法，B正确；

对于C，当时，涂有种，

当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误；

对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，

涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂，

故共有种涂法，

当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有，

只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法，

综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确，

故选：ABD

12．已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可

【详解】对于A，，令，得，有“巧值点”；

对于B，，令，

如图，作出函数，的图象，

结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”；

对于C，，

令，即，得，无解，无“巧值点”；

对于D，，令，得，

令，则，

所以函数在上为增函数，

又，

所以函数在上有唯一零点，

即方程在上有解，

即有“巧值点”.

故选：ABD.

三、填空题

13．函数的图象在点处的切线的倾斜角的大小为      ．

【答案】135°/

【分析】利用导数的极限定义求解

【详解】，即函数的图象在点处的切线的斜率为－1，所以切线的倾斜角．

故答案为：135°

14．某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为      ；

【答案】0.7

【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥

根据题意得：，，

由全概率公式，得：

.

故答案为：0.7.

15．若，则           .

【答案】

【分析】利用赋值法令、分别求出、，再解得即可.

【详解】因为，

令可得，

令可得，

所以.

故答案为：

16．设为，，，，，的一个排列，则满足的不同排列的个数为         .

【答案】

【分析】根据题意，分析可得需要将，，，，，分成组，其中和，和，和必须在一组，进而分步进行分析：首先分析每种个数之间的顺序，再将分好的三组对应三个绝对值，最后由分步计数原理计算可得答案．

【详解】根据题意，若，则，

需要将，，，，，分成组，其中和，和，和必须在一组，

每组个数，考虑其顺序，有种情况，三组共有种顺序，

将三组全排列，对应三个绝对值，有种情况，

则不同排列的个数为；

故答案为：．

四、解答题

17．计算：

(1)若，求

(2)若，求

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据组合式的性质计算可得；

（2）根据排列数、组合数公式计算可得.

【详解】（1）因为，所以或，

解得或.

（2）因为，

所以，又，所以，

所以，解得.

18．从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数.（所得结果用数值表示）

(1)A，B必须被选出；

(2)至少有3名女生被选出；

(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）从以外的人中，任选个人，由此求得选法数.

（2）先计算出从人任选人的方法数，然后减去至多有名女生被选出的方法数，由此求得选法数.

（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人进行安排，由此求得选法数.

【详解】（1）由于，必须被选出，再从以外的人中，任选个人，故选法数有种.

（2）从人任选人的方法数有，选出的人中没有女生的方法数有，

选出的人中有名女生的方法数有,选出的人中有名女生的方法数有.

所以至少有2名女生被选出的选法数为.

（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人安排职务，故选法数为.

19．已知函数，

(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间上的最值.

【答案】(1)极大值是，极小值是．

(2)最大值为，最小值为．

【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；

（2）根据极值和端点值即可确定最值.

【详解】（1）．

令，解得或5，

当或时，；当时，,

所以的极大值是，的极小值是．

（2）因为，

由（1）知，在区间上，有极小值，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为．

20．已知的展开式中第五项的系数的与第三项的系数的比是，

(1)求展开式中二项式系数最大的项

(2)求展开式中含的项

(3)求展开式中各项系数的绝对值和.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先写出各项的通项，根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是列方程求出进而求出展开式中二项式系数最大的项；

（2）令求出进而求出展开式中含的项；

（3）令，将负号变正号，展开式所有项全用正号连接，此时每项之和即为展开式中各项系数的绝对值和.

【详解】（1）由题意得，

展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是，

，

（舍去），

，

二项式系数最大的项为；

（2）令，

解得，

展开式中含的项为；

（3）求展开式中各项系数的绝对值和即求展开式中各项系数和，

令，得展开式中各项系数的绝对值和为.

21．已知函数．

(1)求这个函数的图象在处的切线方程；

(2)若过点的直线l与这个函数图象相切，求l的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)令，根据导数的几何意义求出，结合和直线的点斜式方程即可求出切线方程；

(2)设切点为，根据导数的几何意义和两点坐标求直线斜率公式分别求出切线的斜率，列出方程，解方程可得，进而求出斜率，利用直线的点斜式方程即可得出结果.

【详解】（1）令，则，

函数的定义域为，，

所以，又，

所以函数在处的切线方程为；

（2）设切点为，

由(1)知，，

又直线l的斜率为，

有，解得，

所以，

所以直线l的方程为.

22．已知函数，

(1)若，讨论的单调性；

(2)若在上单调递减，在上单调递增，求的取值范围；

(3)若在上恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)单调性见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先求函数的导数,再分,和求导函数正负确定函数的单调性即可;

（2）根据函数的单调性确定导函数的正负计算求解即可;

（3）由已知条件应用参数分离,设函数求导数确定最值可求参数范围.

【详解】（1）,,

当时, 单调递增, 单调递减;

当时, 单调递增, 单调递减;

当时, 单调递增;

（2）因为在上单调递减，在上单调递增，,

所以在上恒成立，恒成立，

令，在上单调递增，所以；

在上单调递增，所以在上恒成立，恒成立，在上单调递增，

所以；

所以.

（3）,

在上恒成立，设,

所以,

所以在上单调递增,所以,