2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高二下学期5月调研数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高二下学期5月调研数学试题

一、单选题

1．直线与直线平行，则的值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答.

【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，，

解得或，

当时，直线与直线重合，

当时，直线与直线平行，

所以的值为.

故选：C

2．近期多所学校发布了2023年强基计划招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学，要报考复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，每位同学只能报考其中的一所学校，且每所学校至少有一名同学报考，则不同的报考方法共有多少种（    ）

A．18 B．36 C．72 D．12

【答案】B

【分析】将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到复旦大学、南京大学、东南大学三所学校求解.

【详解】解：由题意，将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，

然后分配到复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，

则不同的报考方法共有种,

故选；B

3．函数，则函数在处切线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数几何意义求对应点处的切线斜率即可.

【详解】由，则，即在处切线的斜率为.

故选：D

4．的展开式中二项式系数最大的为，则不可能为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】A

【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.

【详解】根据二项式系数的对称关系，

当时，所有二项式系数中，最大；

当时，所有二项式系数中，，且均为最大；

当时，所有二项式系数中，最大；

当时，所有二项式系数中，，且均为最大；

故选:A.

5．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，直线与直线所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，分别求得，，以及又由，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】根据空间向量的运算法则，可得，

因为以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，

所以

，所以，

由，所以

所以，

又由 ，

所以，

所以直线与直线所成角的余弦值为.

故选：D.

6．数列满足，，则的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【分析】由，，可求出，从而可得数列是以3为周期的周期数列，从而可求出项的最大值.

【详解】由，得，

因为，所以，，

，，

所以数列是以3为周期的周期数列，

因为，

所以的最大值为，

故选：A

7．已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】由题意可求得椭圆方程为，由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.

【详解】由题意得，则，，

所以椭圆方程为，

因为，所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，

因为，所以点为线段的中点，

设，则，

，所以，

所以，

所以，即，

所以，

所以直线为，即，

因为M为直线上任意一点，

所以的最小值为点到直线的距离，

故选：B

8．在数列中，，且函数的导函数有唯一零点，则的值为（    ）．

A．1021 B．1022 C．1023 D．1024

【答案】A

【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断为偶函数，根据有唯一零点知，构造法有，应用等比数列定义写出通项公式并求对应项.

【详解】由在上有唯一零点，

而，

所以为偶函数，则，故，且，

所以是首项为4，公比为2的等比数列，则，

则.

故选：A

【点睛】关键点点睛：判断导函数为偶函数，进而得到为关键.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量~，则

B．若随机变量的方差，则

C．若，，，则事件与事件独立

D．若随机变量~且，则

【答案】ACD

【分析】通过计算可以判断选项ABD；计算得到，则事件与事件独立，所以选项C正确.

【详解】A. 若随机变量~，则，所以该选项正确；

B. 若随机变量的方差，则,所以该选项错误；

C. 若，则事件与事件独立，所以该选项正确；

D. 若随机变量~且，则，所以该选项正确.

故选：ACD

10．已知是等差数列，其前项和为，，则下列结论一定正确的有（　　）

A． B．最小 C． D．

【答案】AC

【分析】计算得 所以，所以选项A正确；由于符号不确定，所以选项B错误；所以选项C正确；，所以选项D错误.

【详解】根据题意，数列是等差数列，若

即

变形可得 所以，所以选项A正确；

，

如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小；

如果，则，由于，则没有最小值.所以选项B错误；

，所以选项C正确；

，所以选项D错误.

故选：AC

11．点是抛物线上第一象限内的点，过点A作圆C：的两条切线，切点为、，分别交轴于P，Q两点，则下列选项正确的是（   ）

A．

B．若，则直线MN的方程为

C．若，则的面积为92

D．的面积最小值为72

【答案】ABD

【分析】根据勾股定理即可判断A，根据相交弦的方程即可由两圆方程相减求解B,根据三角形面积与内切圆的关系即可列出方程求解C，结合基本不等式即可求解D.

【详解】对于A选项，，故,A正确；

对于B选项，，,则以为直径的圆的方程为，与圆相减得，故MN直线为，故B正确；

对于C选项，,又，当时，，则，故，故C错误；

对于D选项，由C可知当且仅当时，等号成立，故时，取得最小值72，故D正确，

故选：ABD.

【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

12．如图，点M是棱长为l的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（    ）

A．不存在点M满足平面

B．存在无数个点M满足

C．当点M满足时，平面截正方体所得截面的面积为

D．满足的点M的轨迹长度是

【答案】BCD

【分析】对于A：根据线面垂直关系可得，分析判断；对于B：根据线面垂直关系可得，分析判断；对于C：根据平行线的性质以及利用空间向量分析运算求截面，进而可求截面面积；对于D：利用空间向量求点M的轨迹，进而求点M的轨迹长度.

【详解】对于选项A：连接，

因为四边形ABCD是正方形，所以，

∵，且平面，所以，

，平面，

所以平面，且平面，

可得，

同理可证，

，平面，所以，

又点M是面上的一个动点（包含边界），所以当M与A1重合时，

故A错误；

对于选项B：连接，

 ，，则，

又因为，，，

所以，

可知当M在线段上时，有故存在无数个点满足，故B正确；

对于选项C：延长交于点，

∵，则为线段靠近点的三等分点，

且，则，则为线段的中点，

如图，以D点为原点建立空间直角坐标系，

则，可得，

设平面的法向量为，则，

令，则，即，

设平面，点，则，

则，解得，

则，故，

可得，即，

且，

故截面面积，故C正确；

对于选项D：

因为正方体的棱长为l，所以设

所以，，

因为，所以

化简得：，

所以点M的轨迹是一段以为圆心，半径为的圆弧，

设圆弧与分别交于点，

取，则，即；取，则，即；

则，则，

且，即，

∴轨迹长度是，故D正确．

故选：BCD.

三、填空题

13．若，则=  .

【答案】3

【分析】列出关于x的方程，解之即可求得x的值.

【详解】由，可得，

即，整理得，

解之得或（舍）

故答案为：3

14．现有两批产品，第一批产品的次品率为5%，第二批产品的次品率为15%，两批产品以3:2的比例混合在一起，从中任取1件，该产品合格的概率为          .

【答案】0.91/

【分析】设两批产品共取件，求出第一批和第二批产品中的合格品的件数即得解.

【详解】设两批产品共取件，

所以第一批产品中的合格品有件，第二批产品中的合格品有件，

所以从中任取1件，该产品合格的概率为.

故答案为：0.91

15．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为    .

【答案】

【分析】先求得面积的表达式，再利用二次函数的性质即可求得面积的最大值.

【详解】圆的圆心，半径，

直线恒过定点，则，

设中点为M，则点M在以为直径的圆上，

设圆心到直线距离为d，

则，，

则的面积为

当即时取得最大值.

则面积的最大值为.

故答案为：

16．已知函数在处取得极值，且在上的最大值为1，则的值为   .

【答案】或

【分析】先求得的导函数，进而按t讨论得到的单调性，利用题给条件列出关于的方程，进而求得的值.

【详解】由（），可得

由函数在处取得极值，可得，

若，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

则在处取得极大值即最大值，

则，解之得.

若，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则在处取得极大值，

又由在上的最大值为1可得，

，即，不等式组无解.

若，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则在处取得极小值，

在处取得极大值

又由在上的最大值为1可得，

，解之得.

综上，的值为或.

故答案为：或.

四、解答题

17．已知的展开式的所有项的二项式系数和为512.

(1)若，求

(2)求中的项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由所有项的二项式系数和为512，求出的值，然后令可求出，再令，结合可求得答案；

（2）中的项为展开式中的一次项和常数项决定.

【详解】（1）因为的展开式的所有项的二项式系数和为512，

所以，得，

所以，

令，得，

令，，

所以

（2）因为展开式的通项公式为，

所以中的项为.

18．如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．

(1)求证：平面ABC；

(2)若，求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明；

（2）利用空间向量的坐标运算求二面角.

【详解】（1）如图，连接．因为侧面为菱形，且，

所以为等边三角形，所以．

又因为平面平面，

平面，

平面平面，

所以平面ABC．

（2）  

由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，

分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．

不妨设，由题可知，，，，．

由，可得．

设平面的法向量为，

而，，则有,

取，得．

设平面的法向量为，

而，，

则有，

取，得．

设平面与平面夹角为，

则，

所以，

即平面与平面夹角的正弦值为．

19．为了迎接4月23日“世界图书日”，我市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下

(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：

（ⅰ）若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；

（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列及均值．

附参考数据：若随机变量服从正态分布，则

，．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，

【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可；

（2）（ⅰ）根据题中所给的公式，结合正态分布的性质进行求解即可；

（ⅱ）运用二项分布的性质进行求解即可.

【详解】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，

则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，

即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为；

（2）（ⅰ）因为，所以，

故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为；

（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中堕机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布，所以

，

，

，

，

所以随机变量的分布列为：

.

20．已知数列的前项和为，满足，

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前20项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由给定的递推公式，利用构造法求出，再求出数列通项作答.

（2）利用（1）的结论，借助裂项相消法求和作答.

【详解】（1）由，得，而，

因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即，

当时，，显然也满足上式，

所以.

（2）由（1）知，，，

因此，

所以.

21．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)设，若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)单调增区间为的单调减区间为

(2)

【分析】（1）利用导数的性质，结合构造新函数法进行求解即可；

（2）利用常变量分离法，结合导数的性质，结合新函数法进行求解即可；

【详解】（1）定义域为，

令，则

所以在上单调递增，且

令，得，令，得，

所以的单调增区间为的单调减区间为；

（2）恒成立

所以恒成立

设

则

设，则，

当时，递增，

当时，递减，

所以

所以当时，恒成立，

当时，递增，

当时，递减，

所以

由恒成立得，

所以的取值范围为.

【点睛】关键点睛：利用常变量分离法，结合构造新函数法、结合导数的性质是解题的关键.

22．已知双曲线:的左、右焦点分别为，，离心率为，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点.

(1)求的值；

(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+=，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，或

【分析】（1）根据离心率公式求出双曲线方程，再根据斜率公式求解即可；

（2）利用韦达定理和斜率公式分别表示出从而可求得，结合（1）所得结论可求解.

【详解】（1）由题意得,,所以，

所以，因为所以，

所以双曲线E：，

所以曲线E的左、右焦点分别为，，

设，

，同理可得

∴.

（2）  

设，

直线方程为，

代入双曲线方程可得：，

所以，则，

则，

，

，

，

同理，

即，

即，

∴或，

又，

若，无解，舍去.

∴，解得，，或，，

若，，由A在直线上可得，，

∴.此时，

若，，由A在直线上可得，，

∴此时

∴存在点，或，满足