2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知椭圆（）的左焦点为，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.

【解析】椭圆的基本性质

2．设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于

A．4 B．5 C．8 D．10

【答案】D

【详解】试题分析：因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知 ，

故选D．

【解析】1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义．

3．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则

A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b

【答案】B

【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.

【详解】椭圆的离心率,化简得,

故选B.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.

4．渐近线方程为的双曲线的离心率是

A． B．1

C． D．2

【答案】C

【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c

则该双曲线的离心率为 e，

故选C．

【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.

5．设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于(　　)

A．1 B．17

C．1或17 D．以上答案均不对

【答案】B

【分析】根据双曲线定义直接求解.

【详解】由双曲线有.则.

由题意知，所以点在双曲线的左支,

则由双曲线的定义有，故.选.

【点睛】本题主要考查双曲线定义的简单运用.解题中很容易因忽略双曲线上的点到焦点的距离的取值范围而错选.

6．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），

故选D.

【解析】双曲线的简单性质

【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4） 的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.

7．抛物线的准线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可的准线的方程.

【详解】由，得，所以其准线方程是.

故选: A

8．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.

9．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（     ）

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义以及方程得出，再由面积公式求解即可.

【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，

由及抛物线的定义可得，解得，

代入抛物线方程得，

所以，

故选：C

10．直线与椭圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】A

【分析】根据直线恒过，且在椭圆内可直接得到结论.

【详解】，在椭圆内，

恒过点，直线与椭圆相交.

故选：A.

11．直线，当k变化时，此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（    ）

A．2 B． C．4 D．不能确定

【答案】B

【分析】利用两点间距离公式得到弦长为，再根据点在椭圆上可得，然后求最值即可.

【详解】直线恒过定点，且点在椭圆上，

设另外一个交点为，所以，则，弦长为，

当时，弦长最大，为.

故选：B.

12．已知椭圆，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（　　）

A．3 B．2 C． D．

【答案】C

【详解】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，

代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，

设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=2，解得k=﹣ ，

∴x1x2= ，

∴|AB|= ．

故选C．

点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.

13．直线与双曲线交点的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】B

【分析】根据已知直线和渐近线平行即可得答案.

【详解】由题知，双曲线的渐近线方程为，

所以直线与双曲线的一条渐近线平行，

由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点.

故选：B

14．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是（    ）

A．a＝1 B．0<a<1

C．a>1 D．a≥1

【答案】D

【分析】由题意可知双曲线的渐近线方程与直线y＝ax(a>0)的关系，进而求出a的取值范围.

【详解】等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，

且双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，

.

故选：D

15．双曲线与直线的公共点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2

【答案】C

【分析】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可.

【详解】因为双曲线的渐近线方程为，

所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点；

当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.

故选：C

16．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即得解；

【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线符合题意．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由，得，

当时，符合题意；

当时，由，可得，

即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条．

故选：C

二、填空题

17．若方程表示椭圆，则k的取值范围是        .

【答案】

【分析】根据方程表示椭圆列不等式组，由此求得的取值范围.

【详解】由于方程表示椭圆，

所以.

故答案为：

18．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是     .

【答案】.

【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.

【详解】由已知得，

解得或，

因为，所以.

因为，

所以双曲线的渐近线方程为.

【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.

三、解答题

19．已知椭圆的两个焦点为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，求直线的斜率的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆定义得，再根据借助勾股定理求，从而求得椭圆方程；

（2）得从而，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得及，代入可解得.

【详解】（1）由已知，椭圆的两个焦点为，可设椭圆方程为，

由椭圆定义，有，

所以椭圆的方程为：.

（2）显然直线存在斜率，设直线，设，

联立，整理得，

所以，，

由，可得，所以，

，解得，

因为，点位于轴上方，所以，

所以直线的斜率为.