2022-2023学年江西省南昌市第一中学高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江西省南昌市第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．在正方体中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正方体的结构特征结合向量相等及向量线性运算即可得解.

【详解】如图，在正方体中，，，

所以，.

故选：B

2．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可

【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为

故选：C

3．已知直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ）

A． B．

C．或 D．不存在

【答案】C

【分析】根据直线垂直的关系即得.

【详解】由两直线垂直可得，

解得或.

故选：C.

4．已知椭圆的离心率为，焦点是，则椭圆方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出长半轴长，进而求出短半轴长作答.

【详解】由椭圆的焦点是，得椭圆的半焦距，由离心率为，得，即，

因此椭圆的短半轴，

所以椭圆方程为.

故选：A

5．已知双曲线的一个焦点是，则实数的值是（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】B

【分析】先根据焦点坐标判断焦点所在轴,再由计算即可.

【详解】由焦点坐标，知焦点在轴上，所以，

可得双曲线的标准方程为，

由可得，可得.

故选:.

6．圆在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出圆心坐标，利用切线的性质求出切线的斜率作答.

【详解】圆的圆心，显然点在此圆上，直线的斜率为，

所以所求切线斜率为，切线方程为，即.

故选：D

7．已知抛物线的焦点为，圆（）经过点F，且圆心在抛物线上，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出焦点及圆心的坐标，再根据给定信息列出方程组并求解作答.

【详解】抛物线的焦点，圆的圆心，

依题意，，解得，而，则，

所以实数等于4.

故选：B

8．已知双曲线的左右焦点分别为，高为的梯形的两顶点A，B分别在双曲线的左、右支上，且，则该双曲线的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，，在和中， 利用余弦定理得解.

【详解】解：由梯形的高为得到，

设，，

在中，，因此，

即，①

在中，，

因此，

即，②

①②相减得．

故选：A

二、多选题

9．设P是椭圆上的动点，则（    ）

A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为

B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为

C．点P到左焦点距离的最大值为

D．点P到左焦点距离的最大值为

【答案】AC

【分析】利用椭圆的定义可判断A，B选项，离左焦点距离最远的点为右顶点，可判断C,D选项

【详解】由题意得，，由椭圆的定义可知，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为，故A正确，B错误；

又，所以，即，到左焦点距离的最大值为，

故选：AC

10．已知双曲线C：，则（    ）

A．双曲线C与圆有3个公共点

B．双曲线C的离心率与椭圆的离心率的乘积为1

C．双曲线C与双曲线有相同的渐近线

D．双曲线C的一个焦点与抛物线的焦点相同

【答案】BCD

【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得.

【详解】解：作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，，，，所以双曲线C的焦点为，顶点为，渐近线方程为，

离心率为，易知选项BCD正确．

故选：BCD

11．已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（    ）

A．时，的最小值为

B．的取值范围是

C．当点是弦的中点时，直线的斜率为

D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有

【答案】ABD

【分析】设出直线AB的方程，与C的方程联立，结合抛物线定义计算判断A；求出直线与C的交点纵坐标判断B；由点A，B的坐标，求出斜率判断C；求出弦AB的中垂线方程判断D作答.

【详解】抛物线的焦点，准线方程为，

对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，，

由消去x并整理得，则，

，当且仅当时取等号，

所以当时，的最小值为，A正确；

对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得，

由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确；

对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在，

若，则直线的斜率，C错误；

对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为，

即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点，

所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确.

故选：ABD

12．以下四个命题表述正确的（    ）

A．圆上有4个点到直线：的距离都等于1

B．已知，，三点，动点不在轴上，且满足，则直线的斜率取值范围是

C．圆：与圆：恰有一条公切线，则

D．圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，为切点，则直线经过定点

【答案】BD

【分析】根据直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系转化为代数式求解.

【详解】(1)圆心到直线：的距离，

而圆的半径等于2，所以圆上只有3个点到直线距离等于1，所以A错误;

(2)设点，由得，

化简得（），

设过点且与（）相切直线方程为

即，则有，解得，

因为点在圆（）上，

所以的斜率取值范围是，所以B正确；

(3)由题可知

解得，所以C错误；

(4)因为点为直线上，所以设，

圆：的圆心为，

所以中点坐标为，，

所以以为直径的圆方程为，

即，

圆与圆的公共弦直线方程为，

即

令，则，解得，

所以直线过定点,

所以D正确.

故选:BD.

三、填空题

13．在空间坐标系中，点关于xOy平面的对称点的坐标为         .

【答案】

【分析】根据点关于坐标平面对称的特征求解作答.

【详解】点关于xOy平面的对称点的坐标为.

故答案为：

14．已知点与点关于直线对称，则的值为          ．

【答案】

【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案.

【详解】因为、，所以的中点为，

因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上，

所以，即，

故答案为：

15．已知平面上两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为       ．

【答案】/-0.75

【分析】利用解析方法，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到动点P点的轨迹方程，分和两种情况讨论，当时，利用两圆的位置关系得到关于的不等式，进而求解得到的取值范围.

【详解】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则

．

设，且动点P满足，

即，

则，

当时，满足题意；

当时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，

即圆与圆相离或外切内切或内含，

所以或，

解得或（舍去），

所以负数的最大值为．

故答案为：.

16．已知抛物线上三点满足： 的重心是，则直线的斜率之和为               ．

【答案】/

【分析】设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式及斜率坐标公式求解作答.

【详解】设抛物线上三点，

由的重心是，得，即有，

直线的斜率分别为，，

所以直线的斜率之和.

故答案为：

四、解答题

17．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．若点A(5,0)到l的距离为3，求直线l的方程．

【答案】4x－3y－5＝0或x＝2

【分析】通过直线联立得交点坐标，分直线斜率存在和不存在两种情况设直线方程，进而根据点到直线的距离公式列方程求解即可.

【详解】方法一　联立得交点P(2,1)，

当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，

即kx－y＋1－2k＝0，

∴＝3，解得k＝，

∴l的方程为y－1＝ (x－2)，即4x－3y－5＝0．

当直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意．

∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．

方法二　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

∴＝3，

即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，

∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．

【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，点到直线的距离公式，属于基础题.

18．已知两圆.

求：（1）它们的公共弦所在直线的方程；

（2）公共弦长.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程；（2）通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长．

【详解】（1）联立两圆的方程：；

两式相减得：，

所以两圆的公共弦所在直线的方程为．

（2）由题可知，圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以公共弦长为：．

【点睛】本题是中档题，考查两个圆的位置关系，相交弦所在的直线方程，公共弦长的求法，考查计算能力，高考作为小题出现．

19．已知抛物线的焦点为，圆的圆心在抛物线上，且过点，若圆被轴截得的弦长为，求圆的方程．

【答案】或

【分析】圆的圆心在抛物线上，且过点可知圆半径长即为焦半径的长，结合弦长公式，即可求出圆形半径，则由圆的标准方程即可求解答案.

【详解】抛物线的焦点为,

焦点为，

圆的圆心在抛物线上，且过点,

圆的半径,

,

解得，

可得圆的方程为或.

20．已知双曲线的左、右焦点分别为，与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线的交点分别为，．

(1)求；

(2)求双曲线的实轴长．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出点的横坐标，再利用对称性求解作答.

（2）由（1）的信息求出，再利用双曲线定义计算作答.

【详解】（1）抛物线：的焦点，准线方程为，设，

由，得，解得，，

由抛物线、双曲线的对称性知，点关于x轴对称，所以.

（2）由（1）知，，，

所以双曲线的实轴长.

21．如图，已知椭圆E：的离心率为，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线过点B且垂直于x轴，直线AP与交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为，△BQR的面积为，试判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）是定值，.

【分析】（1）由离心率为，及当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为，列方程组解得a，b，即可得出答案；

（2）设P（x0，y0），则，写出直线AP的方程，令x＝2时，得Q得坐标，由QR⊥BR，推出kQR，写出直线RQ的方程，进而得A，B两点到直线RQ的距离分别为d1，d2，推出，即可得出答案．

【详解】（1）由已知，，当点P在短轴端点时，由△AOP，

此时圆C的面积为，得b＝1，a＝2，故椭圆的标准方程为：；

（2）设，则①.

A，B的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，直线AP；，

令，则，又，点R在圆上，所以QR⊥BR，因此，

所以直线RQ的方程为：，即，

由①式得到，代入直线RQ的方程，化简为：，

设A，B两点到直线RQ的距离分别为，则，为定值.

【点睛】关键点点睛：点R在圆上，得QR⊥BR，由，得，得出直线RQ的方程.

22．已知 的两顶点坐标，．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）变形给定等式，利用正弦定理结合椭圆的定义确定轨迹，再求出轨迹方程作答.

（2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理，结合斜率公式可得直线经过定点，进而由面积公式，结合对勾函数的性质即可求解.

【详解】（1）在中，由，得，

由正弦定理得，

因此动点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆（点外），

显然此椭圆半焦距，短半轴长，

所以动点的轨迹的方程为．

（2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为， 点，

由消去x并整理得：，

，化为，

，

由直线关于轴对称，得直线的斜率互为相反数，

即，且，则，

即，于是，

化简得，即有，满足，因此直线经过定点，

则面积

，

令，函数在上单调递增，于是，

即，从而，

所以面积的取值范围是.

【点睛】策略点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.