2022-2023学年新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州阿克陶县高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州阿克陶县高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可得，可得斜率为从而求得倾斜角．

【详解】由可得，所以直线的斜率为，

设直线的倾斜为，则，因为，所以．

故选：D

2．已知空间四点，，，共面，则（    ）

A．0 B．2 C．4 D．6

【答案】D

【分析】根据四点共面推出向量共面，再根据共面向量定理列式可求出结果.

【详解】因为，，，，

所以，，

因为空间四点，，，共面，

所以、、共面，

所以存在实数使得，

所以，

所以，解得.

故选：D

3．如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点的距离为2，N是的中点，O是坐标原点，则线段ON的长为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．

【答案】C

【分析】设椭圆的另一个焦点为，根据椭圆的定义可得，再根据中位线定理可得结果.

【详解】设椭圆的另一个焦点为，

因为，所以，

因为，所以，

所以.

故选：C.

4．在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据四点共面的向量表示，可得结果.

【详解】由共面知，

故选：

【点睛】本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.

5．点到直线的距离是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】直接利用点到直线的距离公式求解即可

【详解】解：点到直线的距离为

，

故选：A

6．如果直线与直线平行，那么直线在轴上的截距为（    ）

A．8 B． C． D．4

【答案】A

【分析】先由两直线平行求得或，又两直线重合，则，再求出直线在轴上的截距即可.

【详解】由两直线平行得，解得或．又时，，，

两直线重合，则，，则在轴上的截距为8.

故选：A.

7．如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且，则.

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2a，BC＝2b，利用向量法能求出AB与BC的长度之比．

【详解】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，

建立空间直角坐标系，

设AB＝2a，BC＝2b，

则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），

D（0，0，2b），

（﹣2b，a，0），（0，﹣2a，2b），

∵FM与BD所成角为θ，且cosθ，

∴|cos，|，

整理，得5a2b2+4b4﹣26a4＝0，

∴﹣26×（）4+5×（）2+4＝0，

解得（）2，或 （）2 （舍），

∴

故选C．

【点睛】本题考查两线段长的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

8．已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是（    ）

① 圆心在直线上；② 的取值范围是；

③ 圆半径的最小值为；④ 存在定点，使得圆恒过点.

A．①② B．③④ C．②③ D．①④

【答案】D

【分析】根据圆的性质得圆心横坐标为1判断①，根据二次函数与轴有两个交点可得的取值范围判断②, 假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围判断③，再根据圆的方程的判断是否过定点判断④.

【详解】二次函数的对称轴为，

因为对称轴为线段的中垂线，

所以圆心在直线上，故①正确；

因为二次函数与轴有两点不同交点，

所以，即，故②错误；

不妨设在的左边，则，

设圆方程为 ，则 ，

解得 ，

因为，所以即，故③错误；

由上得圆方程为，

即，恒过点，故④正确.

故选D.

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．过点且在，轴截距相等的直线方程为

B．直线的纵截距是．

C．直线的倾斜角为60°

D．过点并且倾斜角为90°的直线方程为

【答案】BD

【分析】根据直线的截距的定义，倾斜角和斜率的关系，结合直线的方程，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：因为直线也过点且在，轴截距相等，故错误；

：对直线方程，令，可得，则其纵截距为，故B正确；

C：直线的斜率，设其倾斜角为，

则，又，故该直线的倾斜角为，故C错误；

D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确.

故选：.

10．已知向量，，，则下列等式错误的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】以正方体为载体，结合向量的加法与减法运算，逐一验证即可求解

【详解】在正方体中，不妨令，

对于A：，，故A正确 ；

对于B：，

，故B正确；

对于C：，

，

，故C错误；

对于D：，

，，故D错误；

故选：CD

11．已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ）

A．圆关于轴的对称圆的方程为

B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为

C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则

D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点和，从而可求出直线方程，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，然后由圆的性质可求出，进而可求得的值，对于D，设，，表示弦长和弦心距，可表示出面积，从而可求出其最大值

【详解】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径，

圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为，

所求圆的方程为：，即，A正确；

对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心，

入射光线所在直线经过点，，

入射光线所在直线方程为：，即，B正确；

对于C，反射光线经过点关于轴的对称点，

，

，则，C错误；

对于D，设，

则圆心到直线的距离，

，

，

则当时，，D正确.

故选：ABD.

12．已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（    ）

A． B． C．4， D．4，

【答案】BD

【分析】设平面是坐标原点的一个法向量是y，，利用求解方程组，得到法向量．

【详解】设平面是坐标原点的一个法向量是y，，

则即得，

令，解得

令，解得

故或，．

故选：BD．

【点睛】本题主要考查空间平面法向量的计算方法，考查计算能力与方程思想，属于基础题．

三、填空题

13．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为        .

【答案】或

【解析】由题意可知点在反射光线上，设反射光线所在的直线方程为，利用直线与圆的相切的性质即可得出.

【详解】由题意可知点在反射光线上，

设反射光线所在的直线方程为，即.

圆的圆心，半径为1，

由直线与圆相切的性质可得，

解得或.

故答案为：或

14．已知椭圆的上、下两个焦点分别为、，点为该椭圆上一点，若、为方程的两根，则=____ .

【答案】-3

【分析】由为方程的两根和椭圆的定义，知＝-2m＝6，由此能求出m的值．

【详解】∵为方程的两根，∴＝﹣2，

∵椭圆的上下两个焦点分别为F1、F2，点P为该椭圆上一点，

∴＝6，∴﹣2＝6，＝﹣3．

故答案为:﹣3．

15．平行于直线且与圆相切的直线的方程是                 ．

【答案】或

【分析】利用直线平行假设所求直线方程为，再由直线与圆相切求得参数，从而得解.

【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线方程为，

又所求直线与圆相切，

因此圆心到直线的距离等于半径，即，解得或，

所以所求直线为或.

故答案为：或.

16．设，点为抛物线上一点，为焦点，以为圆心为半径的圆被轴截得的弦长为6，则圆的标准方程为          ．

【答案】

【分析】结合已知，利用垂径定理和勾股定理可求出的值，进而求出的值；把代入抛物线方程，求出的值，可得圆心坐标和半径，从而得到所求的圆的标准方程.

【详解】由题意可得点到轴的距离为，又已知圆被轴截得的弦长为6，

得，

则，

所以，

因为点为抛物线上一点，且，

所以，

故圆的标准方程为：.

故答案为：.

【点睛】本题是一道关于圆和抛物线的题目，求出圆心坐标和半径是关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

四、解答题

17．已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2).

(1)求AB的中垂线方程；

(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；

(3)一束光线从B点射向（2）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程.

【答案】(1).

(2).

(3).

【分析】（1）利用中点坐标公式求得AB的中点坐标，再利用两直线垂直其斜率间的关系求得AB的中垂线的斜率，再由直线的点斜式方程求得答案；

（2）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；

（3）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出直线方程.

【详解】（1）解：因为，所以AB的中点坐标为，

又所以AB的中垂线的斜率为，

故AB的中垂线的方程为，即；

（2）解：由（1）得所以直线l的方程为，即4x+3y+1=0；

（3）解：设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n），∴ ，

解得 ，∴ ；

由点斜式可得反射光线所在直线的方程为，整理得11x+27y+74=0.

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，过AD的平面分别交PB，PC于M，N两点.

(1)求证:MN∥BC;

(2)若M，N分别为PB，PC的中点，

①求证:PB⊥DN;

②求二面角P-DN-A的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②

【分析】（1）先证明BC∥平面ADNM，再证明MN∥BC.（2）①先证明PB⊥平面ADNM，再证明PB⊥DN. ②以A为坐标原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法求二面角P-DN-A的余弦值.

【详解】(1)证明因为底面ABCD为直角梯形，所以BC∥AD.

因为BC平面ADNM，AD平面ADNM，

所以BC∥平面ADNM.

因为BC平面PBC，平面PBC平面ADNMMN，所以MN∥BC.

(2)①证明因为M，N分别为PB，PC的中点，PA=AB，所以PB⊥MA.

因为∠BAD=90°，所以DA⊥AB.

因为PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA.

因为PAAB=A，所以DA⊥平面PAB.

所以PB⊥DA.

因为AMDA=A，所以PB⊥平面ADNM.

因为DN平面ADNM，所以PB⊥DN.

②如图，以A为坐标原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).

由①知，PB⊥平面ADNM，所以平面ADNM的法向量为.

设平面PDN的法向量为，

因为，，

所以

令z=2，则y=2，x=1.

所以，

所以.

所以二面角P-DN-A的余弦值为.

【点睛】(1) 本题主要考查二面角的向量求法，考查空间线面位置关系的证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.

19．已知圆的圆心在直线上，且，都是圆上的点.

(1)求圆的标准方程；

(2)过点作圆的切线，求切线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设圆的方程为，结合题干条件列出方程组，即得解；

（2）分切线斜率存在与不存在两种情况讨论，利用圆心到切线距离等于半径，列出方程，即得解

【详解】（1）设圆的方程为

故

所以标准方程为

（2）若切线垂直轴，则方程为满足题意，

若切线斜率存在，设为

即：

则

所以切线为或.

20．如图，在四棱锥中，平面，.

（1）求A到平面的距离；

（2）求平面与平面夹角的余弦值；

（3）设E为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】(1)以A为原点，射线、、分别为x、y、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求A到平面的距离；

(2)利用(1)中相关信息，再求出平面的法向量即可计算作答；

(3)设出点E的坐标，利用空间向量求异面直线夹角公式列式计算得解

【详解】(1)在四棱锥中，平面，，

以A为原点，射线、、分别为x、y、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，则，

于是得.

设为平面的一个法向量，则，令，得，

所以A到平面的距离；

(2)由(1)知，平面的一个法向量，而平面的一个法向量，

于是得，显然平面与平面夹角为锐角，

所以平面与平面夹角的余弦值是；

(3)因E为棱上的点，设，则，而，

又异面直线与所成的角为，则，解得，

所以的长为.

21．已知平面向量，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求函数的最大值和最小值及相应的值.

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）运用向量平行坐标所满足的条件，得出，从而求得，结合的条件，求得；

（2）化简的解析式，求得整体角的取值范围，从而求得其最值以及对应的自变量的值.

【详解】（1）由，，，

可得 ，

由，，故；

（2） ，

由 ，

得.

当，即时，；

当，即时，.

【点睛】该题考查的是有关向量与三角的问题，涉及到的知识点有向量平行坐标所满足的条件，已知三角函数值求角，向量数量积坐标公式，函数在某个闭区间上的最值问题，熟练掌握公式是正确解题的关键.

22．如图，直三棱柱中，，，，，M是的中点．

(1)请根据题设条件建立合适的空间直角坐标系，并求直线的一个方向向量的坐标；

(2)求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）以点B为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系，再求的一个方向向量即可.

（2）利用空间向量法求解即可.

【详解】（1）以点B为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示：

所以、、、、、

；

（2）因为M是的中点，所以，所以，

又因为，

所以，所以．