2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意设直线l的方程为，然后将点的坐标代入求出，从而可求出直线l的方程.

【详解】因为直线l与直线垂直，

所以设直线l的方程为，

因为直线l经过点，

所以，得，

所以直线l的方程为，

故选：D

2．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由椭圆的标准方程，明确的取值，根据焦点的位置，设不等式，可得答案.

【详解】由方程，则，，即，可得.

故选：B.

3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出抛物线的准线方程，可得出的值，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出该双曲线的方程.

【详解】抛物线的准线方程为，所以，，解得，

因此，该双曲线的方程为.

故选：A.

4．台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长.

【详解】

如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，

以为圆心，为半径作圆，

则圆的方程为，

当台风进入圆内，则城市处于危险区，

又台风的运动轨迹为，

设直线与圆的交点为，，

圆心到直线的距离，

则，

所以时间，

故选：C.

5．过点的直线l与椭圆交于A，B两点，设线段AB中点为M，设直线l的斜率为，直线OM的斜率为，则的值为（    ）

A． B．－2 C． D．2

【答案】A

【分析】假设出A，B两点坐标，代入椭圆方程，两式相减求出，已知M坐标求出，最后相乘即可得出答案.

【详解】设，，联立方程

两式相减得，所以，，.

故选:A

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，的内心为I，若，则C的离心率为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】首先设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别相切于点P、Q、N，根据双曲线的概念得到，从而得到A与N重合，再结合题意得到，即可得到答案.

【详解】设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别

相切于点P、Q、N，如图所示：

.

所以，，，

则，

而，所以，即A与N重合，

即内切圆I与相切于点A，所以，又，所以A为的中点，

所以，故.

故选：A.

7．已知圆C：和两点,，若圆C上存在点P使得，则m的取值范围是（    ）

A．[8，64] B．[9，64] C．[3，7] D．[9，49]

【答案】C

【分析】设P的坐标为，由可得P的轨迹为，又因为点P在圆C上，所以两圆有公共点，从而求解即可.

【详解】解：设P的坐标为，因为，,，

所以，化简得，

又因为点P在圆C：上，

所以圆与圆C有公共点，

所以且，

解得，

故选：C．

8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值

【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，

，，（） ，

则，解之得

又

则

则，则

则，则

（当且仅当时等号成立）

则的最小值为

故选：B

二、多选题

9．已知曲线C：，则（    ）

A．当时，则C的焦点是，

B．当时，则C的渐近线方程为

C．当C表示双曲线时，则m的取值范围为或

D．不存在实数m，使C表示圆

【答案】ABC

【分析】对于A，直接由方程求出，从而可求出进行判断，对于B，直接由方程求渐近线方程，对于C，由求解即可，对于D，当时表示圆，求出判断.

【详解】对于A，当时，曲线C：，则，则，所以C的焦点是，，所以A正确，

对于B，当时，曲线C：表示双曲线，则由，得C的渐近线方程为，所以B正确，

对于C，当C表示双曲线时，，解得或，所以C正确，

对于D，当时，即时，曲线C：，即表示圆，所以D错误，

故选：ABC

10．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．的渐近线与圆相切 D．

【答案】ACD

【分析】根据题意求得双曲线的方程，可判定A正确；根据离心率的定义，求得的值，可判定B不正确；利用直线与圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，可判定D正确.

【详解】设点，由直线与的斜率之积为，可得，

整理得，即曲线的方程为，所以A正确；

曲线的离心率，所以B不正确；

由圆，可得圆心为，

可得圆心到曲线的渐近线的距离，

又由圆的半径为1，所以曲线的渐近线与圆相切，所以C正确；

联立方程组 ，整理得，则，，所以，所以D正确．

故选：ACD．

11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（    ）

A．

B．若，则M到x轴距离为4

C．若，则

D．的最小值为4

【答案】AD

【分析】根据的最小值即为，求得p，判断A；利用抛物线的焦半径公式可判断B；根据求出的纵坐标，结合焦半径公式判断C；判断P点位置，利用的几何意义，几何作图分析，可求得其最小值，判断D.

【详解】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，

则有，解得，A正确；

抛物线的方程为，焦点，准线，设，

对于B，点，由抛物线的定义知，，

有，所以M到x轴距离，B不正确；

对于C，，

由得：，即，

又，即，则，解得，

于是得，C不正确；

对于D，抛物线中，当时，，

因此点在抛物线上方，

过点P作于，交抛物线于点Q，连QF，

过A作于，连AF，AP，，如图，

显然，

当且仅当点A与Q重合时取等号，

所以，D正确.

故选：AD

12．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．椭圆上的点到直线的最大距离为

B．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，AB为切点，直线AB经过定点

C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则

D．圆上存在4个点到直线l：的距离都等于1

【答案】AB

【分析】设直线与椭圆相切，联立椭圆方程，利用判别式求得参数b，即可求得最大距离，判断A；求出P点所在圆的方程，进而求得公共弦方程，结合点P为直线上一动点，求出直线AB经过的定点坐标，判断B；根据圆与圆的位置关系求得参数，判断C；根据直线与圆的位置关系进行判断，可判断D.

【详解】对于A，设直线与椭圆相切，

联立方程得：，

因为直线与椭圆相切，所以，得，

当时，直线与距离为；

当时，直线与距离为，

故椭圆上的点到直线的最大距离为，故A正确.

对于B，设点，因为AB为切点，所以，，

连接，根据圆周角与圆直径关系可知，AB两点在以为直径的圆上，

以OP为直径的圆的方程为，和相减可得，

两圆公共弦AB所在直线方程为，

联立方程，得，令，则，

即直线AB经过定点，故B正确.

对于C，曲线：，曲线:，

因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，故，

解得，故C不正确.

对于D，圆的圆心到直线的距离为，

圆的圆心到直线的距离为，

即直线与圆相切，且与距离为1，

则直线与圆的切点到直线距离为1，

由于与间的距离为1，

则直线与圆的2个交点到直线距离也是1，

因此圆上存在3个点到直线的距离都等于1，故D错误.

故选：AB

【点睛】难点点睛：本题判断的难点在于B选项的判断，解答时要求出动点P所在圆的方程，进而利用圆的方程求出公共弦方程，再结合点P为直线上一动点，求出直线AB经过的定点坐标.

三、填空题

13．直线l过且与圆相切，则直线l的方程为          

【答案】或.

【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，当直线斜率不存在时直线符合题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径求出直线斜率即可.

【详解】由圆的方程，得，

则圆心坐标为，半径为，

当直线的斜率不存在时，直线：，与圆相切，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线：，即，

由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，

即，解得，所以：；

综上，直线的方程为或.

故答案为：或.

14．已知双曲线的焦距等于，则双曲线的渐近线方程为      ．

【答案】或

【分析】由双曲线的标准方程可得到，，再结合即可求得，从而可得双曲线的渐近线方程.

【详解】依题意，易得，解得，

所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：或.

15．已知直线l：与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是             ．

【答案】

【分析】求出直线l所过的定点恰好为圆的圆心，由得到为AB的中点，利用点差法得到，结合，且，求出，从而求出离心率的取值范围.

【详解】变形为，恒过点，

即直线经过圆的圆心，

因为，所以为AB的中点，

设，则，

则有，两式相减得：，

即，

因为，且，所以，

则离心率，

故答案为：.

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为A，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是       

（1）双曲线的离心率    

（2）当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上    

（3）为定值    

（4）的最小值为

【答案】（1）（3）（4）

【分析】先依据题给条件求得双曲线的标准方程.求得双曲线的离心率判断（1）；求得△的内切圆的圆心的横坐标判断（2）；对化简整理，并求值判断（3）；求得的最小值判断（4）.

【详解】双曲线的左、右焦点分别为，

双曲线的渐近线为，由圆与双曲线的渐近线相切，

可得，解之得或（舍），

则双曲线，，，

（1）双曲线的离心率.判断正确；

（2）为双曲线右支上（异于右顶点）一点，

设△的内切圆与x轴相切于M点，

则，解之得，则切点

则△的内切圆的圆心横坐标为，则圆心总在直线上.判断错误；

（3）设双曲线右支上的动点坐标为，则

又双曲线的渐近线为

则，即为定值.判断正确；

（4）设双曲线右支上的动点坐标为，则

由，可得

由，可得

不妨令，

则

由为双曲线右支上的动点，可得，则

则，即的最小值为.判断正确.

故答案为：（1）（3）（4）

四、解答题

17．设直线l的方程为

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.

【答案】(1)或.

(2)6，

【分析】（1）分截距是否为0两种情况，求得参数a，即可得答案.

（2）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为.

当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为，

故，解得，

可得直线l的方程为:.

综上所述，直线l的方程为或.

（2）由题意知，

令，解得，解得；

令，解得，解得或.

综上有.

∴

，

当且仅当，即时取等号.

∴（为坐标原点）面积的最小值是6，

此时直线方程，即.

18．已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为

(1)求圆C的方程；

(2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方程来求得，从而求得圆的方程.

（2）先求得，通过求的最小来求得的最小值.

【详解】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，半径为，

到直线的距离为，

所以，解得，

所以圆的方程为.

（2）由（1）得，圆的圆心为，半径，

，所以当最小时，最小.

到直线的距离为，

所以的最小值为，

所以四边形PACB面积的最小值为.

19．已知椭圆经过点，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；

（2）讨论当直线斜率为0时不成立，再设的方程为，，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理，再代入求解即可.

【详解】（1）设椭圆C的焦距，则

又经过点(，)，，

因此，椭圆C的方程为

（2）①当直线斜率为0时，与椭圆交于，而，此时，故不符合题意．

②当直线斜率不为0时，的方程为，设点，

将直线l的方程代入椭圆方程，并化简得．

解得或

由韦达定理得

，同理可得．

所以

即．

解得：符合题意

因此，直线l的方程为或

20．已知抛物线经过点，其焦点为．

(1)求抛物线的方程；

(2)设点在抛物线上，试问在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)直线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时或．

【分析】(1)将点代入抛物线方程去即可；

(2)要使得四边形是平行四边形只需要，找出和之间坐标的关系即可.

【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，即，

所以抛物线的方程为．

（2）由(1)知，设．因为四边形是平行四边形，所以，所以，所以即，将点代入抛物线的方程，可得，即，解得或，所以或，经检验，满足四边形是平行四边形．

所以直线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时或．

【点睛】(1)若四边形为平行四边形，则可利用或，然后引入坐标，代入方程（抛物线）或结合根与系数的关系（椭圆、双曲线）求解；

(2)若四边形为菱形，可先求出的中点，然后利用求解，或直接利用求解；

(3)若四边形为矩形，则利用求解．

21．在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．

(1)求椭圆的方程；

(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．

【答案】(1) ；

(2)证明见解析， ．

【分析】（1）写出的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得和椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，，．联立直线与椭圆方程， 根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得和 的关系，即可证明直线过定点并求出该定点．

【详解】（1）由题意知，，，，

∵，，

∴，解得，从而，

∴椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，，．

直线不过点，因此．

由 ，得，

时，，，

∴

，

由，可得，即，

故的方程为，恒过定点．

22．如图，已知点为抛物线的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线交x轴于点Q，且Q在点F的右侧，记，的面积分别为，．

(1)求p的值及抛物线的准线方程；

(2)设A点纵坐标为，求关于t的函数关系式；

(3)求的最小值及此时点G的坐标．

【答案】(1)，准线方程

(2)

(3)的最小值为，点G的坐标为

【分析】（1）由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；

（2）设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，再用代换并化简即可；

（3）根据已求的函数关系式，结合基本不等式即可求得的最小值和点G的坐标.

【详解】（1）因为点为抛物线的焦点，

所以，即，准线方程.

（2）设，

设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：

，故：，

，

设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：

，，

令可得：，则.即，

由斜率公式可得：，

直线AC的方程为：，

令可得：，

故，

且，

由于，代入上式可得：，

由可得，则，

则，

令 ，得.

即关于t的函数关系式为.

（3）设，则，

当且仅当，即，，时等号成立，

即的最小值为，

此时，，则点G的坐标为.

【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.