2022-2023学年福建省宁德市高二上学期期中数学试题（B卷）含答案

2022-2023学年福建省宁德市高二上学期期中数学试题（B卷）

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．30° B．45° C．120° D．135°

【答案】B

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.

【详解】的斜率为1，故倾斜角满足，又倾斜角大于等于0°小于180°，故倾斜角为45°.

故选：B

2．已知等差数列，若，则（    ）

A．20 B．24 C．28 D．32

【答案】B

【分析】根据等差数列下标的性质，即可求解.

【详解】由等差数列的性质可知，，

所以.

故选：B

3．已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在轴上的截距为3，说明直线过点，由斜率公式求得直线斜率，由点斜式写出直线方程并整理为一般式．

【详解】由题意，直线l过点和点，∴其斜率为，直线方程为，即.

故选：A.

4．已知圆，则两圆的位置关系为（    ）

A．相离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】B

【分析】由已知分别求出两圆的圆心坐标以及半径，然后求出圆心距与半径之差以及半径之和比较，由此即可判断求解．

【详解】由圆的方程可得圆心，半径，

圆的方程化为，得圆心，半径，

则，

所以两圆外切.

故选：B．

5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第四天走了（    ）

A．24里 B．48里 C．96里 D．192里

【答案】A

【分析】根据等比数列的前项和公式及通项公式直接求解.

【详解】设第天走的路程里数为，

因为从第二天起，每天走的路程为前一天的一半，

所以是公比为的等比数列，设其前项和为，

因为6天走完378里路，所以，

由等比数列前项和公式得，所以，

所以，

即第四天走了24里路.

故选：A.

6．两等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用等差中项以及等差数列求和公式得到，结合题意即可求解.

【详解】因为，均为等差数列，由等差中项性质以及求和公式可得，又因为，将代入，得.

故选：D

7．已知数列满足，前项和为，若，则（    ）

A．1100 B．1203 C．1303 D．1400

【答案】C

【分析】首先利用数列的递推关系，得知数列的偶数项和奇数项分别是以2为公差的等差数列，进一步利用，整理得，最后利用分组法的应用求出数列的和．

【详解】数列满足,①

故，②

所以②-①得：，

故数列的偶数项和奇数项都是以2为公差的等差数列；

设，所以，故，；

由于，所以，解得．

即，，

所以

故选：C．

8．已知为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最大值是（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】C

【分析】根据垂径定理求出，再将目标转化为，利用三角不等式求解．

【详解】设M是AB的中点，因为，所以，

即M在以O为圆心，1为半径的圆上，

，所以．

又，所以，

所以．

故选：C．

二、多选题

9．已知数列，则下列说法正确的是（    ）

A．此数列的通项公式是 B．是它的第17项

C．此数列的通项公式是 D．是它的第18项

【答案】AB

【分析】先猜想出通项公式，然后确定是第几项.

【详解】依题意，，

所以，

令，

解得，所以是它的第17项.

故选：AB

10．下列说法正确的是（    ）

A．过两点的直线方程为

B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是

C．点关于直线的对称点为

D．直线必过定点

【答案】BD

【分析】对于A,根据两点式直线方程的使用条件判断即可;对于B,求出直线分别在轴和轴上的截距,再用三角形面积公式求解即可;对于C,设点关于直线的对称点为,列方程组求解即可;对于D,将直线可转化为即可进行判断.

【详解】对于A,当或时,不存在选项中的两点式直线方程,故A错误;

对于B,直线在轴上的截距为,在轴上的截距为,所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是,故B正确;

对于C,设点关于直线的对称点为,

则,解得,

即点关于直线的对称点为,故C错误;

对于D,直线可转化为,过定点,故D正确.

故选:BD.

11．数列的前项和为，则有（    ）

A． B．为等比数列 C． D．

【答案】ABD

【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.

【详解】由题得，

两式相减得，即，

当时，，

所以数列从第项起是等比数列，所以，

所以数列的通项为，，

当时，；当时，符合上式，

所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.

所以ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD

12．已知圆，点为直线上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（    ）

A．直线与圆相离

B．圆上有且仅有1个点到直线的距离等于1

C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为

D．过点向圆引两条切线为切点，则直线经过点

【答案】ACD

【分析】计算点到直线的距离和半径比较，可判断A；根据圆的性质结合条件可判断B；根据切线长公式，并结合点到直线的距离，可判断C；首先求两圆相交的公共弦所在的直线方程，再利用点满足，化简直线方程，进而判断D.

【详解】选项A：圆的圆心 ，半径 ，

圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．故A正确；

选项B：圆心到直线的距离，

，圆上有且仅有2个点到直线的距离等于1，故B错误；

选项C:  由切线的性质知， 为直角三角形， ，

当且仅当与直线垂直时等号成立，所以 的最小值为 ，故C正确；

选项D：设点，，所以四点共圆，

为直径，圆心为，半径，

所以圆的方程为，

又圆，两圆相减得，

所以直线的方程为，

因为点在直线上，

所以， ，

所以，整理得 ，

由，得 ，所以直线过定点，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．若直线与平行，则与间的距离是          ．

【答案】2

【分析】首先利用两条直线平行求，再代入平行线间的距离公式，即可求解.

【详解】因为，所以，得，

所以与间的距离.

故答案为：2

14．在数列中，，则数列的最大项是第          项．

【答案】4

【分析】结合二次函数的性质，即可判断数列的最大项.

【详解】，

当时，取得最大值.

故答案为：4

15．已知，则数列的通项公式是          ．

【答案】

【分析】由已知递推式可得，然后利用累乘法可求得结果.

【详解】由，得，

所以，

所以，，，……，（），

所以，

所以，因为，所以，

因为也满足上式，

所以，

故答案为：

四、双空题

16．已知直线与圆相交于两点,则圆心到直线的距离          ,若为圆周上一点,线段的中点在线段上,且,则          .

【答案】         

【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离;过作于,连接,令,根据已知可得,分别在和中利用勾股定理得到方程,解方程即可得到结果.

【详解】  

如图,过作于,连接,则,

即圆心到直线的距离.

易知,

不妨令,由可得:,

则,

在中,有①,

在中,有②,

联立①②,解得:.

故答案为:;.

五、解答题

17．已知直线过点．

(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；

(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式公式，即可求解．

（2）根据已知条件，分直线过原点，不过原点两种情况讨论，即可求解．

【详解】（1）因为直线与直线垂直，

所以可设直线的方程为，

因为直线过点，所以，解得，

所以直线的方程为．

（2）当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，

即．

当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，

所以直线的方程是．

综上，所求直线的方程为或．

18．国家汽车产业振兴规划的政策极大地刺激了小排量汽车的销售，据分析预测，某地今年小排量型车每月的销量将以的增长率增长，小排量型车的销量每月递增辆．已知该地今年月份销售型车和型车均为辆，据此推测，该地今年底这两款车的销售总量能否超过辆？（参考数据：，，）

【答案】推测该地区今年这两款车的总销量能超过辆．

【分析】设该地今年第月型车和型车的销量分别为辆和辆，由题意可得是首项，公比的等比数列， 是首项，公差的等差数列，利用等差数列和等比数列的前项和求解即可.

【详解】解：设该地今年第月型车和型车的销量分别为辆和辆，

依题意，得是首项，公比的等比数列，

是首项，公差的等差数列．

设的前项和为，则，

设的前项和为，则

所以，

可推测该地区今年这两款车的总销量能超过辆．

19．已知等差数列满足，等比数列的公比为2，且．

(1)求数列与的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设的公差为然后等差数列的性质和通项公式结合已知条件列方程可求出，从而可求出，再由可求出，从而可求出，

（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出.

【详解】（1）设的公差为因为，所以

又由，得，

所以．

因为，公比，所以，

所以=2，所以

（2）因为，      

所以①

②

①-②，得  

=，

所以．

20．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)过点的动直线与圆相交于两点，当时，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，解方程组从而得到方程；

（2）根据直线的斜率是否存在分类讨论，再结合求出直线方程.

【详解】（1）设圆的方程为，

由已知可得方程组 ，

解得 ，

∴圆的方程为．

（2）当直线与轴垂直时，易知直线的方程为，

此时，符合题意；

当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离为，

又，

∴，解得，

则直线的方程为，即，

综上可知直线的方程为或．

21．已知直线过定点，且与圆交于两点．

(1)求直线的斜率的取值范围；

(2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)定值

【分析】（1）法一：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由求解；法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，与圆的联立，根据直线与圆相交，由求解.

（2）设，，设直线的方程为，与圆的方程联立，结合韦达定理求解.

【详解】（1）解：法一：圆的标准方程为，圆心为，半径为．

若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意．

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即

由题意可得，解得．               

因此，直线的斜率的取值范围是．

法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意．

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为．

联立，得，其中

因为直线与圆相交，所以，

解得，                                          

因此，直线的斜率的取值范围是．

（2）设，，设直线的方程为．

联立，得，其中，

所以，，

则 ，

所以为定值．

22．已知数列满足，且，

(1)求数列的前三项；

(2)令，求证：数列为等差数列，并求的通项公式；

(3)在（2）的条件下，若且数列的前项和为，求证：．

【答案】(1)，，

(2)证明见解析，

(3)证明见解析

【分析】（1）根据递推关系求解即可；

（2）由题设可推导得到，进而求证，再结合等差数列的通项公式求解即可；

（3）由题设可得，根据裂项相消法求和，进而求证.

【详解】（1）由，

可得，即．

同理，即.

同理，即.

（2）因为，

又，

所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，

所以.

（3）由（2）知，

所以，

因为数列的前项和为，

所以．

因为  

所以，

所以.