2022-2023学年甘肃省天水市清水县高二上学期期中数学（文）试题含答案

2022-2023学年甘肃省天水市清水县高二上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知等差数列的前n项和为，=5，则=（    ）

A．5 B．25 C．35 D．50

【答案】B

【解析】根据等差中项及等差数列求和公式即可求解.

【详解】由题意可知，为等差数列，

所以

故选：B

2．在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】根据给定的递推公式，推理计算确定数列的周期作答.

【详解】在数列中，由，得，

于是，因此数列是以4为周期的周期数列，

所以.

故选：A

3．函数在上的最小值和最大值分别是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

【详解】函数，cosx，

令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，

∴f（x）在[0，）递减，在（，]递增，

∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，

故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：．

故选A．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．

4．两个等差数列和，其前项和分别为、，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】推导出，由此可求得结果.

【详解】在等差数列和中，.

故选：D.

【点睛】本题考查等差数列前项和性质的应用，考查计算能力，属于基础题.

5．数列的通项公式不满足下列递推公式的是.

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】将代入四个选项进行验证可得答案．

【详解】将代入四个选项得：

A. 成立；

B. 成立；

C.   成立；

D. 不恒成立．

故选D．

【点睛】本题考查数列的递推式，是基础题．

6．函数的极大值为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数极值点，由此求得函数的极大值.

【详解】依题意，故函数在上递增，在上递减，所以函数在处取得极大值为.

故选B.

【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极大值，考查函数单调区间的求法，考查乘法的导数运算，属于基础题.

7．在等比数列中，，则=　　

A．或 B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据等比数列的性质得，又由，联立方程组，解得 的值，分类讨论求解，即可得到答案.

【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得，

又由，联立方程组，解得或，

当时，则，此时；

当时，则，此时，

故选A.

【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中根据等比数列的性质，联立方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

8．已知函数.过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则的极大值点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设切点的横坐标为，利用切点与点连线的斜率等于曲线在切点处切线的斜率，利用导数建立有关的方程，得出的值，再由得出两切线的斜率之和为零，于此得出的值，再利用导数求出函数的极大值点．

【详解】设切点坐标为，∵，∴，即，

解得或.∵，∴，即，

则，.当或时，；当时，.故的极大值点为.

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题．

9．函数在点处的导数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据导数的运算公式求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】本题主要考查导数的运算公式，属于基础题．

10．设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=

f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2016(x)=　(　　)

A．sinx B．-sinx C．cosx D．-cosx

【答案】A

【详解】因为f0(x)=sinx,

所以f1(x)=(sinx)′=cosx,

f2(x)=(cosx)′=-sinx,

f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,…,所以fn(x)的周期T=4,所以f2016(x)=f0(x)=sinx.

故选A

11．已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由 即可求解集.

【详解】由，而知：在上单调减，

而，即，又知：，

∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，

∴在上单调增，即，可得，

综上，有，

故选：A

【点睛】思路点睛：由与组成的复合型函数式，一般可以将其作为某函数导函数的一部分，构造出原函数，再利用奇偶性、单调性求函数不等式的解集.

12．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由函数的解析式可得：，

函数在内无极值，则在区间内没有实数根，

当时，恒成立，函数无极值，满足题意，

当时，由可得，故：，解得：，

综上可得：实数的取值范围是.

本题选择D选项.

二、填空题

13．已知f(x)=,则f′(16)=    .

【答案】

【详解】因为f′(x)=,所以f′(16)==.

故答案为

14．设数列的前项和为，若，且，则       .

【答案】

【解析】用，代入已知等式，得，变形可得，说明是等差数列，求其通项公式，可得的值.

【详解】，，整理可得，

则，即，

所以，是以为公差的等差数列，又，

，则.

故答案为：.

【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题.

15．对任意都有.数列满足：，则          .

【答案】

【分析】采用倒序相加法即可求得结果.

【详解】由题意得：，，，……，

，

，

，解得：.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.

16．设数列中，，则通项            ．

【答案】

【详解】∵ ∴，，

，，，，

将以上各式相加得：

故应填；

【解析】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；

【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；

三、解答题

17．若各项均为正数的等比数列满足.求：公比q

【答案】3

【分析】根据给定等式，结合等比数列意义列出方程求解作答.

【详解】各项均为正数的等比数列满足，则有，

整理得，而，解得，

所以.

18．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.

【详解】（1）当时，，所以.

所以，，

所以，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）.

当时，在时，，

此时，函数的单调增区间是；

当时，若，则；若，则.

此时，函数的单调递减区间是，递增区间是.

综上所述：当时，的单调增区间是；

当时，的单调递减区间是，递增区间是.

19．已知曲线y=5,求:

(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.

(2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程.

【答案】（1）16x-8y+25=0；（2）5x-4y+20=0.

【详解】试题分析：（1）求导数，利用曲线与直线y=2x﹣4平行，求出切点坐标，即可求出曲线与直线y=2x﹣4平行的切线的方程．

（2）设切点，可得切线方程，代入P，可得切点坐标，即可求出过点P（0，5）且与曲线相切的直线的方程．

试题解析：

(1)设切点为(x0,y0),由y=5,得y′=.

所以切线与y=2x-4平行,

所以=2,所以x0=,所以y0=.

则所求切线方程为y-=2,

即16x-8y+25=0.

(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5上,

故需设切点坐标为M(x1,y1),

则切线斜率为.

又因为切线斜率为,

所以==,

所以2x1-2=x1,得x1=4.

所以切点为M(4,10),斜率为,

所以切线方程为y-10=(x-4),

即5x-4y+20=0.

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

20．已知数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用可求出；

（2）根据数列特点采用分组求和法求解.

【详解】（1）当时，，

当时，，

将代入上式验证显然适合，所以.

（2）因为，，，，

所以，

所以.

【点睛】本题考查和的关系，考查分组求和法，属于基础题.

21．设函数.

(1)时，求的最小值；

(2)若在恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)把代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；

(2)结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求.

【详解】（1）当时，，，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

故当时，函数取得最小值.

（2），

令，则，

①当时，,函数在上单调递增，，即，

所以在上单调递增，，满足题意；

②当时，由可得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增

当时，即，在单调递减，

所以,与恒成立矛盾，故不符合题意.

综上可得,的范围为.

【点睛】方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用的定义域和实根把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性

22．已知函数

（1）若存在极值点为，求的值；

（2）若存在两个不同的零点，，求证：

【答案】（1）1；（2）证明见解析.

【解析】（1）对求导，令，可得的值，再检验即可.

（2）求出，通过对讨论，判断单调性，求出函数的极值，利用存在两个不同的零点，可得，作关于直线的对称曲线，令，求出导数，利用单调性即可得证.

【详解】（1）由已知得，

因为存在极值点为，所以，即，当时，，

经检验符合题意，所以.

（2）证明：，

①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；

②当时，由可得，

当时，由，在上为增函数，

当时，由，在上为减函数，

所以当时，取得极小值.

又存在两个不同的零点，，

所以，

即，

整理得，

作关于直线的对称曲线，令，

则，

所以在上单调递增，

不妨设，则，

即，

又 ，，且在上为减函数，所以，

即，又，易知成立，故.

【点睛】本题主要考查函数与导数知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性，考查学生解决问题的综合能力，属于难题