2022-2023学年江西省景德镇市高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江西省景德镇市高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若直线过点，，则此直线的斜率是（      ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】根据斜率公式直接求解即可

【详解】因为直线过点，，

所以此直线的斜率为，

故选：A

2．圆与圆的公切线条数为（      ）

A．条 B．条 C．条 D．条

【答案】C

【分析】判断两圆的位置关系，可得出结论.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

所以，，所以，，

即圆与圆相交，故两圆的共有条公切线.

故选：C.

3．直线l：截圆所得的弦长等于（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出圆的圆心和半径，再利用几何法求出弦长作答.

【详解】圆的圆心，半径，

点到直线的距离，

所以所求弦长为.

故选：C

4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题干中直线方程求得双曲线焦点坐标，再根据等轴双曲线中且即可求解.

【详解】因为双曲线实轴在上且焦点在直线上，

故令得，即.

又因为且，所以，

所以双曲线方程为，即.

故选：B

5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（      ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】A

【分析】作图，求出点关于直线对称的点，再由两点间的距离公式即可得解．

【详解】如图，

设点关于直线对称的点为，

则，解得，

则“将军饮马”的最短总路程为．

故选：A．

6．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则a为（      ）

A． B．2 C．或 D．

【答案】C

【分析】先求出双曲线有渐近线方程，再由渐近线的夹角可得渐近线的倾斜角，从而列方程可求得结果

【详解】双曲线渐近线方程为，

因为双曲线的两条渐近线的夹角为，

所以或，解得或，

故选：C

7．已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，（      ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】D

【分析】设到准线的距离为，则．然后求出．判断当与抛物线相切时，最小，即取得最小值．利用函数的对数求解即可．

【详解】抛物线的准线方程为

设到准线的距离为，则．

．

当与抛物线相切时，最小，即取得最小值．

设过点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得

，

，解得．

即，解得，把代入得．

或．

．

故选：D．

8．如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）

A．16 B．18 C．20 D．22

【答案】B

【分析】设椭圆的右焦点为，且，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，即可求解.

【详解】因为把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，

设椭圆的右焦点为，且，可得，

由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得，

所以.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（      ）

A．直线必过定点

B．直线在y轴上的截距为1

C．直线的倾斜角为30°

D．点，，直线与线段AB相交，则实数m的取值范围是，或

【答案】AD

【分析】根据直线过定点、截距、倾斜角、直线与线段有公共点的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，

所以直线过定点，A选项正确.

B选项，直线，即，

纵截距为，B选项错误.

C选项，直线的斜率为，

倾斜角为，C选项正确.

D选项，直线，即过定点，斜率为，

画出图象如下图所示，由图可知或，

解得，或，所以D选项正确.

故选：AD

10．已知抛物线：与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（      ）

A．双曲线的离心率为2

B．双曲线的渐近线为

C．

D．点到抛物线的焦点的距离为3

【答案】ACD

【分析】选项A由双曲线的方程可得进而可得，即可得；

选项B由焦点在轴上双曲线渐近线方程可得；

选项C先由点在抛物线上判断，在根据焦点相同可得；

选项D由抛物线的定义，将点到抛物线的焦点的距离转化为到抛物线准线的距离可得.

【详解】选项A：由得，，，

故，所以，故A正确；

选项B：由得渐近线方程为：，故B错误；

选项C：因点在抛物线上，可得开口向右，，

由选项A得的焦点为，

故的焦点坐标为，得，即，故C正确；

选项D：由选项C知，抛物线：，故其准线为，

由抛物线的定义知点到抛物线的焦点的距离为到抛物线准线的距离为，

故D正确.

故选：ACD

11．已知曲线，下列说法正确的是（ ）

A．若，则为双曲线

B．若且，则为焦点在轴上的椭圆

C．若，，则不可能表示圆

D．若，，则为两条直线

【答案】AB

【分析】由，的取值，根据椭圆、双曲线、圆与直线方程的特征，判断曲线表示的形状即可．

【详解】若，则为焦点在横轴或纵轴上的双曲线，所以正确；

若且，可得，，所以为焦点在轴上的椭圆，所以B正确；

若，，当，时，是单位圆，所以C不正确；

若，，则为双曲线，所以D不正确．

故选：AB．

12．使得方程有实数解，则实数m的可能取值是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】将原式化为，转化为与函数图象有公共点时，确定的范围即可得结论．

【详解】可化为，即问题转化为与有公共点

做出函数图象：

则当直线与半圆相切时有，

所以得或（舍），

当直线过点时．

故实数m的取值的范围是．

故选：BCD．

三、填空题

13．椭圆的长轴长为        ．

【答案】

【分析】根据椭圆的标准方程和长轴定义求解即可.

【详解】由椭圆方程可得，

所以长轴长，

故答案为：

14．若在圆上运动，则的最大值为            ；

【答案】/

【分析】设，分析可知直线与圆有公共点，可得出圆心到直线的距离不小于圆的半径，可得出关于的不等式，解出的范围，即可得出的最大值.

【详解】设，可得，

又因为点在圆上运动，则直线与圆有公共点，

且圆心坐标为，半径为，

由点到直线的距离公式可得，整理可得，解得.

因此，的最大值为.

故答案为：.

四、双空题

15．点是直线上的动点，过点作圆的切线，分别相切于、两点，则的最小值为            ；四边形面积的最小值为            ；

【答案】     /    

【分析】由圆的几何性质可知，，分析可知，当与直线垂直时，取最小值，求出的最小值，结合勾股定理可求出的最小值，证明出，可得出，结合三角形的面积公式可求得四边形面积的最小值.

【详解】圆的圆心为坐标原点，如下图所示：

由圆的几何性质可知，，由勾股定理可知，，

当与直线垂直时，取最小值，且，

所以，，

由切线长定理可得，又因为，，

所以，，

所以，，

故四边形面积的最小值为.

故答案为：；.

五、填空题

16．过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，若点在第一象限，且，则该直线的斜率            ．

【答案】

【分析】设直线的方程为，设点、，则，分析可得，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，即可得出直线的斜率.

【详解】抛物线的焦点为，因为直线过点，且点在第一象限，

则直线不与轴重合，设直线的方程为，

设点、，则，

因为，则，即，所以，，

联立可得，，

由韦达定理可得，

所以，，则，解得或（舍），

因此，直线的斜率为.

故答案为：.

六、解答题

17．求满足下列条件的直线方程．

(1)直线过点，且与直线平行；

(2)直线过点，且与直线垂直．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）设所求直线的方程为，将点代入，求得的值，即可求解；

（2）设所求直线的方程为，将点代入，求得的值，即可求解；

【详解】（1）解：由题意，可设所求直线的方程为，

因为点在直线上，可得，解得，

故所求直线的方程为；

（2）解：由题意，可设所求直线的方程为，

因为点在直线上，所以，解得，

故所求直线的方程为．

18．顶点在原点，焦点在轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若直线与抛物线相交于、两点，求的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意设抛物线的标准方程为，根据题意求出的值，即可得出抛物线的标准方程；

（2）分析可知，直线过抛物线的焦点，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可求得.

【详解】（1）因为抛物线的焦点在轴的正半轴，设抛物线的标准方程为，

因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，故抛物线的标准方程为.

（2）抛物线的焦点坐标为，且点在直线上，

设点、，联立，消去可得，

，由韦达定理可得，

由抛物线的焦点弦长公式可得.

19．已知点P在圆上运动，点，若点M是线段PQ的中点．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)过点作圆C的切线，切点为两点，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）利用相关点代入法求得点的轨迹的方程.

（2）先求得，然后利用两圆相交的公共弦所在直线方程的求法求得直线的方程.

【详解】（1）设点坐标为，则，

代入，得，

整理得.

（2）圆的圆心为，半径为，

，所以，线段的中点为，

所以，以为直径的圆的方程为.

由，

两圆方程相减并化简得直线的方程为：．

20．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．

【答案】（1），（2）.

【分析】（1）由椭圆的性质列方程可得即可得解；

（2）设直线的方程，联立方程组结合韦达定理可得，再由三角形面积即可解得，即可的解.

【详解】（1）由题意可得，解得：

故椭圆C的标准方程为.

（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为

联立，整理得

,

则，故,

因为的面积为,所以，

设，则整理得，解得或（舍去），即.

故直线的方程为，即.

21．如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.

（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；

（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设出圆的方程，代入即可求解；

（2）设限高为，作，求出点P的坐标，即可得出答案.

【详解】（1）由题意，有，，.

所求圆的圆心在轴上，设圆的方程为（，），

，都在圆上，

，解得.

圆的标准方程是.

（2）设限高为，作，交圆弧于点，

则.

将点的横坐标代入圆的方程，得，

得或（舍去）.

.

故车辆通过隧道的限制高度为.

22．已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）设曲线的标准方程为，根据已知条件求出、的值，即可得出该双曲线的标准方程；

（2）设以为中点的弦的两端点为、，利用点差法求出直线的斜率，进而可得出直线的方程，判断直线与双曲线的位置关系，可得出结论.

【详解】（1）解：因为双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的标准方程为，

因为该双曲线的实轴长为，一条渐近线斜率为，则，解得，

因此，该双曲线的标准方程为.

（2）解：假定直线存在，设以为中点的弦的两端点为、，

则有，．

根据双曲线的对称性知．由点、在双曲线上，

得，，

两式相减得，

所以，所以，

即以为中点的弦所在直线的斜率，

故直线的方程为，即．

联立，消去得，

，

因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在．