2022-2023学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将复数化简为，再求模长即可.

【详解】由已知可得，则，所以得模为.

故选：.

2．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ）

A．30° B．120°

C．60° D．150°

【答案】B

【分析】由直线的方向向量求出斜率，进而求出倾斜角.

【详解】因为直线的方向向量为：，所以直线斜率,则倾斜角为120°.

故选：B.

3．直线与直线平行，那么的值是（　　）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，解得：，

故选：B.

4．已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】列出投影向量公式，即可计算求解.

【详解】在上的投影向量

故选：C

5．过点，且斜率为负数的直线l与函数的图象相交于A，B两点，若M是线段AB上的一个三等分点，则直线l的斜率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】联立直线与抛物线方程得韦达定理，由三等分点得，结合韦达定理即可求解.

【详解】由于直线过点，且斜率为负数，故可设直线的方程为，

联立与可得，

设,

则，

由于M是线段AB上的一个三等分点，所以，

进而可得所以，

故选：A

6．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把直线与双曲线方程联立消去，利用和 联立，即可求得的范围.

【详解】联立方程组，整理得，

设方程的两根为，

因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，

则满足，解得，

又由，解得,

所以的取值范围是.

故选：D.

7．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（ ）

A．(1，1，1) B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，且平面，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C．

【解析】空间直角坐标系中点的坐标．

8．已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】设，据双曲线的定义可用表示，作，构造直角三角形可计算得，并用勾股定理列出了，进而可求.

【详解】设，则，

从而，进而.

过作，则.如图：

在中，，；

在中，，

即，所以.

故选：A

【点睛】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；

（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于的齐次等式，再化为的等式可求；

（3）此题的关键是作得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立的齐次等式.

二、多选题

9．已知向量，下列等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．

【详解】，

∴，

A：，∴该等式错误；

B：，，∴该等式正确；

C：，∴该等式正确；

D：，

，

∴，∴该等式正确．

故选：BCD．

10．若函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．函数的图象关于直线对称

C．

D．是函数图象的一个对称中心

【答案】ACD

【分析】根据图象求得的解析式，然后根据三角函数的周期性、对称性求得正确答案.

【详解】由图可知，，

由于，所以，

所以，

所以的最小正周期为，A选项正确.

，所以B选项错误.

，所以C选项正确.

，所以D选项正确.

故选：ACD

11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（    ）

A．直线平面 B．

C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，

，，，

所以，即，所以，故B正确；

，，，

设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；

设平面的法向量为，则，即，取，

则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；

，故C错误；

故选：ABD

【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.

12．已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则（    ）

A．直线AB的斜率为 B．

C． D．为钝角

【答案】CD

【分析】由，以及抛物线方程求得,，再由斜率公式判断A；表示出直线的方程，联立抛物线求得，，即可求出判断B；由抛物线的定义求出，即可判断C；由，求得为钝角，可判断D．

【详解】对于A，易得，，由， 则的横坐标为，

代入抛物线可得，即，，则直线的斜率为，故A错误；

对于B：由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，

设，，则，则，代入抛物线得，

解得，则，，

故，故B错误；

对于C,，故C正确；

，，，则为钝角，故D正确．

故选：CD．

三、填空题

13．已知向量，，若，则     .

【答案】27

【分析】根据向量平行得到，代入数据计算得到答案.

【详解】，则，即，故，故.

故答案为：.

14．如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是      .

【答案】

【分析】根据直线所过的定点与椭圆的位置关系进行求解即可.

【详解】直线l：过定点，

因为直线l：与椭圆C：总有公共点，

所以点在椭圆内部或椭圆上，

则有，

故答案为：

15．已知，，则       .

【答案】

【分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为，根据可求得；根据同角三角函数关系，结合可求得结果.

【详解】由二倍角公式可知：，

又        ，即

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.

16．如图，，分别是双曲线C：的左､右焦点，以为直径的圆与C交于点B，弦与C交于A点，连接，若，则C的离心率为           .

【答案】

【分析】根据以为直径的圆与C交于点B，得到，再由，设，，，然后利用双曲线的定义和勾股定理求解.

【详解】因为以为直径的圆与C交于点B，

所以，.

设，

则，.

因为A，B是C上的点，

所以，

则，.

在中，，即，

则，

所以C的离心率为.

故答案为：

四、解答题

17．已知平行六面体，，，，，设，，；

（1）试用、、表示；

（2）求的长度.

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）用向量的线性运算求；

（2）把（1）等式平方，由数量积的运算求模．

【详解】解：（1）

（2）

，，

所以

．

的长度为．

18．在中，的外接圆半径.

(1)若，求及边长；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)根据同角基本关系结合题意可得，在中，利用，即可求出的值；再根据正弦定理，即可求出的值;

（2）结合正弦定理，和平面向量数量积公式以及辅助角公式，利用正弦三角函数的性质即可求出取值范围.

【详解】（1）解：因为，且

所以，

又，且

所以；

由正弦定理可知

所以.

（2）解：∵，由正弦定理可得

∴

，              

∵，∴，

∴，

所以的取值范围为．

19．平面直角坐标系中，直线，设圆经过，，圆心在上.

(1)求圆的标准方程；

(2)设圆上存在点P，满足过点P向圆作两条切线PA，PB，切点为，四边形的面积为10，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用代入法，通过解方程组进行求解即可；

（2）根据圆的切线性质，结合三角形面积公式、圆与圆的位置关系进行求解即可.

【详解】（1）设圆的标准方程为，

因为圆经过，，圆心在上，

所以有，即圆的标准方程；

（2）四边形的面积10，而四边形是由两个全等的直角三角形组成， 的面积为5，即，又，，

，动点P的轨迹为以为圆心，以5为半径的圆，

即点P在圆

又点P在圆 上，

圆E与圆有公共点．

，即，

解得 ．实数m的取值范围为

20．在直三棱柱中，，延长到，使，连结，得到多面体.

(1)证明：平面；

(2)若，，求多面体的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行和面面平行的判定可证得平面平面，由面面平行的性质可得结论；

（2）将多面体拆分为直三棱柱与四棱锥，根据棱柱和棱锥的体积公式分别求解即可.

【详解】（1）连接，

，即，，四边形为平行四边形，

，又平面，平面，平面；

，平面，平面，平面；

，平面，平面平面，

又平面，平面.

（2）多面体为直三棱柱与四棱锥构成的组合体；

作，垂足为，

平面平面，平面平面，平面，

平面，即为四棱锥的高；

，，，，

又，；

，，为等比三角形，

，又，

；

多面体的体积.

21．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据离心率以及短轴长，结合的关系即可求解，

（2）联立直线与椭圆方程，由两点斜率公式，结合韦达定理即可化简求解.

【详解】（1）由题意可知：，解得，

所以椭圆方程为

（2）由于，

当直线无斜率时，此时直线方程为，此时关于轴对称，显然满足，

当直线有些率时，可设直线方程为，

联立直线与椭圆方程，

设，则，

，,

，

将代入可得，

所以，

综上可知：

22．已知双曲线C经过点，且渐近线方程为.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)点A为双曲线C的左顶点，过点作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)为定值.

【分析】（1）根据渐近线可设双曲线方程为，代入经过的点即可求解，

（2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，由斜率公式得斜率之和的表达式，将韦达定理代入化简即可求解.

【详解】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为，

将点代入双曲线方程中可得，

故双曲线方程为

（2）由题意可知：直线有斜率，设其方程为，

联立直线与双曲线方程，

设,则，

由于,则，

所以将代入可得

，

由于点在直线上，所以，此时，只需要，即可，

因此,

故直线AM与直线AN的斜率之和为定值.

【点睛】圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，充分利用弦长公式以及斜率公式，以及向量的共线坐标公式，即可让表达式得以化简，往往可得定值，若求最值，则需要利用函数的单调性或者基本不等式即可求解最值.