2022-2023学年江苏省盐城市滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省盐城市滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由直线倾斜角得到斜率，点斜式求直线方程.

【详解】倾斜角为的直线斜率为1，直线经过点，

所以直线方程为，即.

故选：D

2．直线的倾斜角为，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】由直线的倾斜角求直线的斜率，结合直线方程得的值.

【详解】直线倾斜角为，所以斜率为，即，解得.

故选：B

3．直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由直线倾斜角的变化与点斜式方程求解，

【详解】直线与轴的交点为，斜率为，倾斜角为，

则直线过点，倾斜角为，斜率为，

直线的方程为，即

故选：A

4．圆和的位置关系是（    ）

A．外离 B．相交 C．内切 D．外切

【答案】D

【分析】由圆与圆的位置关系判断，

【详解】圆的圆心为，半径为1，

圆可化为，圆心为，半径为4，

而两圆心的距离为，故两圆外切，

故选：D

5．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案.

【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为；

当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或.

故选：B.

6．与圆及圆都外切的圆P的圆心在（    ）

A．一个椭圆上 B．一个圆上

C．一条直线上 D．双曲线的一支上

【答案】D

【分析】根据题意，分别画出两个圆的图形，然后结合图形和双曲线定义即可判断.

【详解】由，得，

画出圆与的图像如图，设圆P的半径为r，

∵圆P与圆O和圆M都外切，

∴，，

则，

∴根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上.

故选：D

7．已知为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且，分别为，的离心率，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，利用椭圆、双曲线定义及余弦定理建立关系，再借助均值不等式计算作答.

【详解】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M在第一象限，

由椭圆、双曲线定义知：，且，则有，，

在中，由余弦定理得：，

即，整理得：，

于是得，当且仅当，即时取“=”，

从而有，

所以的最小值为.

故选：A

8．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：，则下列结论正确的是（    ）

A．过点P与圆O相切的直线方程为

B．过点P的直线与圆O相切于M，N，则直线MN的方程为

C．过点P的直线与圆O相切于M，N，则|PM|=3

D．过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若∠AOB=90°，则直线m的方程为或

【答案】D

【分析】首先求出过点的切线方程，注意分斜率存在和不存在两种情况讨论，即可判断A,再利用勾股定理求出切线长，即可判断C,在以为圆心，以为直径的圆上，两圆方程作差即可求出直线的方程，由此判断B,由圆心到直线的距离求出直线斜率，即可求出直线方程,进而求解D.

【详解】对于A：当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，圆心到直线的距离，所以是过点的圆的切线，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离，解得，此时直线的方程为，

过点的圆的切线方程为或，故A错误，

对于B;在以为圆心，以为直径的圆，

直线为圆与圆的公共弦，

两圆方程相减得：，即直线的方程为，故B错误，

对于C;，，故C错误，

对于D：过点的直线与圆相交于，两点，若，则，

圆心到直线的距离，

显然直线的斜率存在，设直线方程为，即，

，解得或7，

直线方程为或，故D正确，

故选：D

二、多选题

9．设直线，，其中实数，满足，则（    ）

A．与平行 B．与相交

C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外

【答案】BC

【分析】根据直线的斜截式方程知两斜率相乘为是两直线互相垂直，即相交，再利用联立两直线求出交点坐标，在找到关系即可得到答案.

【详解】与不可能相等，，故与垂直即相交，故B正确；与的交点为，故与的交点在圆上.

故选：BC.

10．圆和圆的交点为，，则（    ）

A．公共弦所在直线的方程为

B．线段中垂线的方程为

C．公共弦的长为

D．两圆圆心距

【答案】ABD

【分析】把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可得到选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段中垂线，即可得到选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦的长，验证选项C；两圆心的距离即可得到选项D.

【详解】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确；

把圆化为标准方程得，圆心为，半径为 ，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确；

圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误；  

圆心到圆心的距离，故D正确.   

故选：ABD.

11．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，即可满足题意．

【详解】圆心到直线的距离，

因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，

所以， 即，

解得，

结合选项可知，BC正确，

故选：BC．

12．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（    ）

A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为

C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为

【答案】BC

【分析】先求得，结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而求得椭圆的离心率和焦距.

【详解】，

如图，分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.

因为，所以，

设椭圆的长轴长为，焦距为，则.

因为，

由正弦定理得，

解得，所以，

所以.

故选：BC

三、填空题

13．写出一个截距相等且不过第三象限的直线方程      .

【答案】（答案不唯一）

【分析】分截距为0和截距不为0两种类型讨论直线不过第三象限的情况.

【详解】当截距相等且为0时，直线过原点，又直线不过第三象限，

则直线方程为；

当截距相等且不为0时，直线截距式方程为，又直线不过第三象限，有，

则直线方程为.

故答案为：(答案不唯一，或).

14．大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是      .

【答案】5

【分析】点在以原点为圆心，4为半径的圆上，点在圆内，当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大.

【详解】已知是坐标原点，，则点在以原点为圆心，4为半径的圆上，

，点在圆内，

当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大，

此时.

故答案为：5.

15．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与C在轴上方的交点为A，若，则C的离心率是      .

【答案】

【分析】由椭圆的定义与余弦定理求解，

【详解】由题意得，则，

在中，，则，

由余弦定理得，

，解得

故答案为：

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点连接，过点作交双曲线于点B，且，则      ．

【答案】5

【分析】将点代入双曲线方程，结合离心率，可求出，从而可求得直线的斜率，由可得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则可求得，然后利用余弦定理结合双曲线的定义可求出，从而可得的值.

【详解】

由点是双曲线上一点和双曲线的离心率为，

得，解得，

所以，c＝2，

所以，．

所以直线的斜率为，

因为，所以直线的斜率为．p

设直线的倾斜角为，则，

所以，即，

因为，为锐角，

所以．

连接，在中，由余弦定理得，

又，所以，

所以．

故答案为：5

四、解答题

17．已知直线和直线．

(1)若时，求a的值；

(2)当平行，求两直线，的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.

（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.

【详解】（1）∵，且，

∴，

解得．

（2）∵，，且，

∴且，解得，

∴，即

∴直线间的距离为．

18．已知圆经过点，，且___________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.

①在过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

(1)求圆的方程；

(2)求过点的圆的切线方程.

【答案】(1)；

(2)切线方程为或

【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；

（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可

【详解】（1）选①，由可得，所以，

设圆的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为，即

选②，直线恒过，

而圆E恒被直线平分，

所以恒过圆心，因为直线过定点，

所以圆心为，可设圆的标准方程为，

由圆E经过点，得，

则圆E的方程为

选③，设圆E的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为

（2）因为，所以点P在圆E外，

若直线斜率存在，设切线的斜率为，

则切线方程为，即

由圆E的方程为可得圆心，半径为2，

所以圆心到切线的距离，解得，

所以切线方程为；

若直线斜率不存在，直线方程为，圆心到直线的距离为2，满足题意；

综上所述，过点的圆E的切线方程为或

19．经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求：

(1)线段的长；

(2)设点为右焦点，求的周长.

【答案】(1)30

(2)64

【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解，

（2）由双曲线的定义转化后求解．

【详解】（1）由题意得直线AB的方程为,

代入双曲线方程可得,

设，则

即的长为

（2）由双曲线的定义得=，

则的周长为

=.

.

20．已知直线与圆.

(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；

(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析，定点

(2)是定值，定值为

【分析】（1）由已知可得根据过定点的直线系方程计算方法可得l恒过定点

（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.

【详解】（1）由直线得，

联立，解得，

直线l恒过定点.

（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，

直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，

联立，得，

设，，则，，

是定值，定值为

21．已知双曲线，

(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；

(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）设，利用点差法求得直线AB的斜率，根据直线的点斜式方程结合验证，即可求得答案；

（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别式小于0，说明符合题意的直线不存在.

【详解】（1）设 ，则 ，

两式相减得 ，

所以 ，

又因为为弦的中点,故 ，所以，

所以直线的方程为，即，

由方程组得，其 ，

说明所求直线存在，

故直线的方程为.

（2）假设存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，

设该直线与双曲线交于C,D两点，

设 ，则 ，

两式相减得 ，

所以 ，

又因为为弦的中点,故 ，所以，

所以直线的方程为，即，

由方程组 ,得 ，

根据 ，说明所求直线不存在,

故假设不成立，即不存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点.

22．已知离心率为的椭圆与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点P（0，-2）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，当坐标原点O位于以AB为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由将椭圆方程化简为，进而结合判别式法求得答案；

（2）设，，直线l方程为，根据，进而结合根与系数的关系求得答案.

【详解】（1）根据题意，，而，则，，

所以椭圆方程为，，

，，

所以，，椭圆C方程为：.

（2）设直线l方程为，，，

，即，

或，且,因为O在以AB为直径的圆外，所以，则，于是，即

.

综上：l斜率k的取值范围为.