2022-2023学年新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州高二上学期11月期中质量检测数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州高二上学期11月期中质量检测数学试题

一、单选题

1．已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由直线斜率和直线在轴上截距，求直线的斜截式方程.

【详解】直线经过点，则直线在轴上截距为4，又直线斜率为，

则直线方程是.

故选：A

2．设抛物线yx2的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝3，则点P到x轴的距离为（　　）

A． B．2 C． D．1

【答案】B

【分析】写出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可以求出点P到x轴的距离.

【详解】抛物线yx2的准线为：，又因为|PF|＝3，所以根据抛物线的定义可以知道点P到准线的距离也为3，因此点P到x轴的距离为2.

故选：B

【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线焦点的位置及准线方程.

3．已知圆，直线过点交圆于两点，则弦长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在圆内，即可求出弦长最大、最小值，即可得解.

【详解】解：圆的圆心，半径，又，

所以点在圆内，

当直线过圆心时，弦长取最大值，

当直线时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时弦长取最小值；

故选：D.

4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.

【详解】因为抛物线的焦点坐标为，

双曲线的渐近线方程为,

由点到直线的距离公式可得.

故选：B

5．已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据两点间的距离公式列式求解即可.

【详解】解：因为点和点，动点，

所以，

又因为其满足，

所以，整理得：

所以点的轨迹方程为.

故选：D

6．直线与曲线（m，n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，得，然后根据所给图形逐个分析即可

【详解】解：由，得，

对于A，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、三象限，所以A错误；

对于B，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、三、四象限，所以B正确；

对于C，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，且由图可知两图在轴上有公共点，则可得，从而有，直线方程为，由，可得或，则交点应在第一象限，所以C错误；

对于D，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，所以D错误，

故选：B

7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】A

【分析】由圆的方程得出圆心坐标，根据圆的对称性可知直线通过圆心，得出，再由直线与直线相互垂直，得出，代入求解即可.

【详解】，方程一定表示圆；

则圆心坐标为，根据圆的对称性可知，直线通过圆心，

则，

M、N两点关于直线对称

直线与直线相互垂直，，

所以，

故选：A.

8．双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：由已知可设，代入双曲线方程可求得；∴，化简可得双曲线的离心率.

【解析】双曲线的定义、离心率的求法.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．直线的倾斜角为

C．直线关于轴对称直线方程为

D．三点共线

【答案】AC

【分析】根据直线的截距式求出面积判断A，求出直线的倾斜角判断B，根据关于轴对称判断C，利用斜率判断D.

【详解】由可得，所以，故A正确；

由可得，所以，所以倾斜角为，故B错误；

直线关于轴对称直线方程为，即，故C正确；

因为，所以三点不共线，故D错误.

故选：AC

10．关于双曲线，下列说法正确的有（    ）

A．实轴长为4 B．焦点为

C．右焦点到一条渐近线的距离为4 D．离心率为

【答案】AC

【分析】根据双曲线的方程求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由双曲线，可得，则，

所以双曲线的实轴长为，所以A正确；

焦点坐标为，所以B错误；

又由双曲线的右焦点为，其中一条渐近线的方程为，即，

所以到渐近线的距离为，所以C正确；

由双曲线的离心率的定义，可得双曲线的离心率为，所以D错误.

故选：AC.

11．若动点在圆上，动点在圆上，则（    ）

A．两圆有3条公切线 B．两圆公共弦所在直线方程为

C．的最大值为 D．两圆公共弦长为

【答案】BC

【分析】求出圆和圆的圆心、半径，判断两圆的位置关系，再逐项分析计算作答.

【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

，即，因此，圆与圆相交，

圆与圆只有两条公切线，A不正确；

两圆的方程相减得：，即两圆公共弦所在直线方程为，B正确；

由圆的性质得：，C正确；

点到直线的距离，则有两圆公共弦长为，D不正确.

故选：BC

12．已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则点的横坐标为6

B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为

C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为

D．周长的最小值为

【答案】CD

【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A错误；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知，由此可求得周长的最小值，知D正确.

【详解】由双曲线方程知：，抛物线，

对于A，设，则，解得：，A错误；

对于B，抛物线准线方程为：，由得：，

准线被双曲线截得的线段长度为，B错误；

对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为，

又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径，

该圆的面积，C正确；

对于D，设和在准线上的投影分别为，

由抛物线定义知：，

则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合），

又，，

周长的最小值为，D正确.

故选：CD.

【点睛】关键点睛：运用抛物线的定义，利用两点间线段最短是解题的关键.

三、双空题

13．已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1,2)，B(2，a)，若直线l1∥l2，则a＝     ；若直线l1⊥l2，则a＝      

【答案】     5.     .

【分析】利用斜率计算公式、直线相互平行垂直与斜率的关系即可得出．

【详解】直线l2的斜率k==a﹣2．

（1）∵l1∥l2，

∴a﹣2=3，即a＝5

（2）∵直线l1⊥l2，

∴3k=﹣1，即3（a﹣2）=﹣1，解得a=．

故答案为5，．,

【点睛】本题考查了斜率计算公式、直线相互平行垂直与斜率的关系，属于基础题．

四、填空题

14．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是        .

【答案】或

【分析】分椭圆的焦点在，轴上，由椭圆的方程可得的值，再由焦距为2可得的值，求出椭圆的离心率．

【详解】由椭圆的方程可得，且，焦距为2，可得，即，

当焦点在轴上时，则，，可得，

由题意可得，所以，这时离心率；

当焦点在轴上时，则，即，这时离心率，

综上，离心率为或，

故答案为：或

15．过点的圆的切线方程     

【答案】或

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，易知过的斜率不存在的直线为圆的切线；设斜率存在的切线为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得的值，由此可得切线方程.

【详解】由圆方程知：圆心，半径；

当过的直线斜率不存在，即直线方程为：时，直线与圆相切；

设过点且斜率存在的圆的切线方程为：，即，

则圆心到直线的距离，即，

该切线方程为：，即；

综上所述：所求切线方程为或.

故答案为：或.

16．直线交椭圆于两点，若，则的值为         .

【答案】12

【分析】联立直线和椭圆的方程得到，得到韦达定理，由得到，解方程即得解.

【详解】由得，

所以，

又，

所以，

因为，所以，故.

故答案为：12

【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

五、解答题

17．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点Q．

(1)求交点Q的坐标；

(2)若直线l经过点Q，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标；

（2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出方程，代入点Q坐标，求出直线方程.

【详解】（1）联立直线与直线，

得到，解得：，则；

（2）①当截距为0时，直线l过原点，设，

将代入，则，这时直线l为x－2y = 0；

②当直线l截距都不为0时，设，

将代入，则m = 3，故直线为．

综上，直线l的方程为：或.

18．已知圆心在直线x+y-1=0上，且过点的圆与直线3x-4y+5=0相切，其半径小于5.

(1)求圆的方程；

(2)若圆与圆关于直线x+2y-2=0对称，求圆的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，设出圆的坐标，再借助经过的点及切线方程列出方程求解作答.

（2）求出圆心关于直线x+2y-2=0对称点坐标，即可求出圆的方程作答.

【详解】（1）由圆心在直线x+y-1=0上，设点，又圆过点，且与直线3x-4y+5=0相切，

则，整理得，解得或，

因为圆的半径小于5，则有a＝2，即，圆的半径，

所以圆的方程为.

（2）设圆的圆心，因圆与圆关于直线x+2y-2=0对称，

则有，解得，即点，而圆的半径等于圆的半径3，

所以圆的方程为.

19．已知椭圆，，是C的左、右焦点，过的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且的周长为，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点，证明:为定值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由得到其准线为，进而得到椭圆的半焦距，再根据的周长为得到a求解；

（2）①当直线斜率不存在时，的方程为，代入椭圆方程求得点M，N的坐标，验证即可；②当直线斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解.

【详解】（1）解：由可得准线为，

所以椭圆的左焦点，所以椭圆的半焦距，

因为的周长为，

所以，故.

所以，

所求椭圆的方程为.

（2）如图所示：

①当直线斜率不存在时，的方程为，

将代入可得，

所以，，此时，，

则，

②当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，，

由，得，

则，，，，

所以，

，

，

，

综上所述，为定值，且定值为.

【点睛】易错点点睛：本题第二问题在设直线方程时，往往忽视斜率不存在的情况，一般来讲，给一个点，设直线方程时用点斜式，分两种情况，一是斜率不存在时，二是斜率存在时求解.

20．已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.

(1)求双曲线E的方程；

(2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据双曲线的焦距及过点列出方程求解方程即可；

（2）分直线斜率存在，不存在讨论，当斜率存在时，利用直线与双曲线方程组有且只有一解求斜率即可.

【详解】（1）由已知可设双曲线E的方程为，

则，解得，

所以双曲线E的方程为.

（2）当直线l的斜率不存在时，显然不合题意，

所以可设直线l的方程为，如图，

联立，得（*），

①当，即或时，方程（*）只有一解，

所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，

此时，直线l的方程为；

②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，

则，解得，

此时，直线l的方程为.

综上所述，直线l的方程为或.

21．已知椭圆，以及椭圆内一点.

(1)求以点M为中点的弦所在直线的方程；

(2)若P是椭圆C上的点，为左右焦点，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设弦的两个端点为，再根据点差法求解即可；

（2）根据椭圆的定义，结合余弦定理与三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）设弦的两个端点为，由题知斜率存在

所以，

由①-②得，，

即，

因为为线段的中点，

所以，所以，

所以：，

即；

（2）由题意，，且，故，又由余弦定理，故，解得，故的面积

22．已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设点，利用已知条件列等式求曲线C的方程；

（2）直线AB过的外心，有，设直线的方程，与曲线C的方程联立方程组，利用韦达定理求未知系数，证明直线过定点.

【详解】（1）设点，则=，平方并整理得，

∴曲线C的方程为.

（2）证明:由题意可知直线的斜率一定存在，否则不与曲线C有两个交点.

设的方程为，，联立

得，其中，则， ，

由，得， .

∴.

∵直线过的外心，∴.

∴·，即，解得或（舍去）.

当时，满足.

∴直线的方程为，

∴直线过定点.