2022-2023学年新疆乌鲁木齐八一中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

2022-2023学年新疆乌鲁木齐八一中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．如下图，设直线的斜率分别为，则用“＜”号将它们的斜率连接起来后，得到的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先区分斜率的正负，判定倾斜角是锐角还是钝角，然后根据在倾斜角都是锐角时倾斜角越大斜率越大，在倾斜角都是钝角时倾斜角越大，斜率越大，得出结论.

【详解】直线l1、l2的斜率都是正值，倾斜角都是锐角，在倾斜角都是锐角时倾斜角越大斜率越大，故k2>k1>0；

直线l3、l4的斜率都是负值，倾斜角都是钝角，在倾斜角都是钝角时倾斜角越大，斜率越大，故k3<k4<0,

故

故选：D.

2．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是（　　）

A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0

C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0

【答案】A

【分析】求出抛物线的焦点坐标和直线3x－2y＋5＝0的斜率，由点斜式方程即可求出答案.

【详解】因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，

直线3x－2y＋5＝0的斜率为，

所以所求直线l的方程为，

化为一般式，得6x－4y－3＝0.

故选：A.

3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（　　）米．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把B（x0，﹣3）代入抛物线方程求得x0进而得到答案．

【详解】如图建立直角坐标系，

设抛物线方程为x2＝my，

将A（2，﹣2）代入x2＝my，

得m＝﹣2

∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0，

故水面宽为2m．

故选：B．

4．直线（）与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定

【答案】B

【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.

【详解】由，

所以直线恒过定点，

圆可化为，

因为，

所以点在圆的内部，

所以直线与圆相交.

故选：B

5．椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由椭圆的定义，求得，再由，求得的值，结合离心率的定义，即可求解.

【详解】因为的周长为，根据椭圆的定义可得，解得，

则，所以，则椭圆的离心率为.

故选：A.

6．已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数的值为（    ）

A．或 B．1或

C．3或 D．7或

【答案】B

【分析】首先得到圆的圆心和半径，然后由可求出圆心到直线的距离，然后可建立方程求解.

【详解】由可得，

所以圆的圆心为，半径为，

因为，所以圆心到直线的距离为，

所以，解得或，

故选：B

7．已知圆上仅有一点到直线的距离为1，则实数a的值为（    ）．

A．11 B． C．1 D．4

【答案】C

【分析】首先求出圆的圆心、半径、圆心到直线的距离，然后由条件可得，即可求出答案.

【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为，

圆心到直线的距离．

因为圆上仅有一点到直线的距离为1，

所以圆的半径，解得．

故选：C．

8．如图，､是双曲线：的左､右焦点，过的直线与双曲线交于､两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设，利用双曲线的定义得，

再利用勾股定理建立方程组，消去,得到，进而得到的值，由得到双曲线的渐近线方程.

【详解】设，

 ,

①，

②,

由①可得

代入②式化简得：,

∴,∴,

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：A

【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.

二、多选题

9．已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则或

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】根据两直线平行列出方程，求出或，经检验，不合要求；

再根据两直线垂直列出方程，求出.

【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．

若，则，解得，C正确，D错误．

故选：AC

10．如图，，，，，弧CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，弧CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，弧BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线w，则下述正确的是（    ）

A．曲线w与x轴围成的图形的面积等于2π

B．曲线w上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C．弧CB所在圆的方程为

D．弧CB与弧BA的公切线方程为

【答案】BC

【分析】作出辅助线，分割为一个矩形和一个圆，求出面积之和即可判断A选项；

找到整点个数，判断B选项；

求出弧CB所在圆的圆心为，半径为1，写出圆的标准方程，判断C选项；

设出弧CB与弧BA的公切线方程，利用点到直线距离等于半径求出公切线方程.

【详解】如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于点K，过点B作BL⊥x轴于点L，则曲线w与x轴围成的图形的面积等于矩形的面积加上一个半径为1的圆的面积，其中，故，故A错误；

曲线w上有，，，，5个整点，故B正确；

弧CB所在圆的圆心为，半径为1，故圆的方程为，故C正确；

设弧CB与弧BA的公切线方程为，根据图象知，则，，解得，，即公切线方程为，故D不正确．

故选：BC．

11．设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（    ）

A．是等边三角形 B．

C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为

【答案】ACD

【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出为等边三角形，判断A；确定的边长，根据其面积求得p，即可判断BCD.

【详解】根据题意作图，如图所示:

因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，

又，故，A在抛物线上，所以，

所以为等边三角形，故A正确；

因为，则轴，过作于点，则点为的中点，

点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，

所以，解得，

则，故B错误；

焦点到准线的距离为，故C正确；

抛物线的方程为，故D正确．

故选：ACD．

12．已知，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则

D．若，则的取值范围是

【答案】BCD

【分析】设，所以，.

对于A：计算出，即可判断；对于B：由椭圆的定义和双曲线的定义解得：，.利用余弦定理得到结合，即可求得；

对于C：先判断出为直角三角形.利用勾股定理得到.即可求出；对于D：先求出.

令，则.利用定义判断出，结合对勾函数的单调性可以求出.

【详解】因为，同时为椭圆：（）与双曲线:（，）的左右焦点，可设，所以，.

对于A：因为，，所以.故A错误；

对于B：由椭圆的定义可知：；由双曲线的定义可知：.

联立解得：，.

由余弦定理可得：.

因为，所以，

整理化简得：.

因为，所以，即.

因为，所以.

代入可得：，整理得：.故B正确；

对于C：因为，所以.

由等腰三角形的性质可得：，.

因为，

所以，即为直角三角形.

所以，即，整理得：.

所以.故C正确；

对于D：因为，所以.

.

令，则.

因为，所以.

又解得：；

由解得：.

所以.

由对勾函数的性质可得：在上单调递增，所以，

所以.

故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知椭圆的焦距为，则椭圆的长轴长为           .

【答案】

【分析】求出的值，即可得出结果.

【详解】，所以椭圆的焦点在轴上，且，

因此，椭圆的长轴长为.

故答案为：.

14．若直线与曲线没有公共点，则实数所的取值范围是      .

【答案】

【解析】根据题意作出曲线的图象，然后采用平移直线的方法求解出的临界值，由此求解出的取值范围.

【详解】如下图所示：即为，表示圆心在，半径为的半圆，

当直线与曲线在左下方相切时，此时，所以，此时（舍）或；

当直线经过点时，，所以，

综上可知：当直线与曲线没有交点时，，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：根据直线与半圆的交点数求解参数范围的思路：

（1）根据条件画出半圆的图象确定好圆心和半径；

（2）采用平移直线的方法确定出直线的临界位置；

（3）利用圆心到直线的距离公式以及直线经过某点求解出参数的临界值，由此确定出参数的取值范围.

15．已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为          .

【答案】

【解析】先根据抛物线的简单几何性质求出抛物线的方程，再根据点差法求出的中点坐标，从而得出的坐标，然后由向量的模的坐标计算公式即可求解．

【详解】拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为：．

设点，的中点为，则

两式相减可得，，，所以，解得，可得，则，

可得.

故答案为：．

【点睛】本题主要考查点差法的应用，以及中点公式，向量的模的坐标计算公式，抛物线的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为        ．

【答案】

【分析】由题意知：在、之间，若过作直线l垂直于B，交于A，可令求、坐标，进而可得、，应用向量共线的坐标表示，列方程得到a、c的齐次方程，即可求的范围.

【详解】

由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，.

∵且，

∴在、之间，如上图示，令，

∴，，则，，

∴， 即，

∴，故，得，又，

∴.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：首先判断、、的位置关系，再设直线方程并求、坐标，利用向量共线的坐标表示列方程，结合已知求参数范围即可.

四、解答题

17．过圆外一点作圆的两条切线分别与圆交于两点

（1）求切线的方程；

（2）求直线的方程.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况求解，利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程；（2）首先求以为直径的圆，然后两圆相减即是直线所在直线方程.

【详解】（1）当过点，斜率不存在时，直线与圆相切，满足条件，

当斜率存在时，设切线方程，即，

圆心到直线的距离，解得：，

切线方程：，即，

所以切线的方程分别为，；

（2）设圆的圆心，

的中点 ，,半径,

以为直径的圆是，直线为两圆公共弦所在直线，

两圆方程相减即是直线的方程，

所以 ，相减后得.

所以直线的方程是.

【点睛】易错点睛：涉及直线与圆相切，和直线与圆相交问题求直线方程时，容易忽略斜率不存在情况的讨论，造成丢解情况，需注意这个问题.

18．如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用空间向量证明即可，

（2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．

则，，，，，，．

所以，

因为平面,

所以平面的一个法向量为，

因为，所以，

因为平面，

所以平面

（2），，．

设平面的一个法向量为

则，令，则，，

所以

设与平面所成角为，

则．

因为，

所以与平面所成角为30°．

19．已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．

(1)若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程；

(2)过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．

【答案】(1)

(2)是，

【分析】（1）法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是，再根据中点的性质表达出，，代入化简求解即可

法二：设CQ的中点为N，依题意，|MN|＝＝2，进而得到点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆求解即可

（2）设直线l的方程为y＝kx，再联立直线与（1）中所得的方程，根据韦达定理求解即可

【详解】（1）法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是．

由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，

所以，

于是有，．  ①

因为点P在圆上运动，

所以点P的坐标满足圆的方程，即． ②

把①代入②得．

整理，得＝4．

这就是点M的轨迹E的方程．

法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．

（2）∵l过原点O且不与y轴重合，

∴可设直线l的方程为y＝kx．

联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，

依题意知是上方程的两根，则＝＝．

则＝＝＝故是定值．

20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，且.是椭圆上任意一点，满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆相交于、两点，且，为线的中点，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由椭圆定义可求，结合已知可求，再由可求，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设、，联立直线与椭圆的方程，可求、，进而可求得点的坐标以及，结合已知及弦长公式可得，代入，利用基本不等式可求得的最大值.

【详解】（1）由椭圆的定义得，，

由，得，，

椭圆的标准方程为；

（2）设、，

由，得，，

，，

，，

由，化简得

，

令，则，当且仅当时取等号，

，，当且仅当时取等号.

【点睛】本题主要考查了利用椭圆定义及性质求解椭圆方程及直线与椭圆的位置关系的应用，试题具有一定的综合性

21．如图，在三棱锥中，底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；

(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线性质和平行线分线段成比例可证得，由线面平行的判定可证得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据线线角的向量求法可求构造方程求得结果.

【详解】（1）连接，交于点，连接，

分别为中点，，，，

又为中点，为中点，，，

，又平面，平面，平面.

（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，

，，

，整理可得：，

解得：（舍）或，

的长为.

22．设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）设点，表示，，联立方程，即得解；

（2）设直线l的方程为，，表示直线，再表示点D，E，再设以线段为直径的圆与x轴的交点为，转化为，即得解.

【详解】（1）设点，因为点M在抛物线C上，

则

得，即．

因为，则．      

因为，则，

即，所以，化简得，

解得，所以抛物线C的方程是．            

（2）设直线l的方程为，代入，得．

设点，则．            

设点则k，直线的方程为．

令，得，所以点．            

同理，点．            

设以线段为直径的圆与x轴的交点为，

则．            

因为，则，即，

得或．    

故以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点和．