2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二上学期第一次考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二上学期第一次考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二上学期第一次考试数学试题 一、单选题1．已知复数在复平面内对应的点是，则（    ）A．  B．  C．  D．【答案】B【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算即可.【详解】复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：B．2．已知的面积为，且，，则（    ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为，则有，所以，因为，所以或.故选：D.3．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】，故选：D.4．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且．若，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.【详解】因为，所以有，整理可得.故选：A.5．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出球的内接正方体棱长，再求正方体体积即可.【详解】半径为R的球内接一个正方体，设正方体的棱长为，该球即为正方体的外接球，直径长度为正方体的体对角线长，则，即，所以正方体的体积为.故选：C6．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ）．A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8【答案】C【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．【详解】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：＝（1+2+3+3+6）＝3方差为S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．故选：C．7．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，由向量加法的性质可得为的中点，又由，分析可得为正三角形，则有，结合投影向量的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，若，则为的中点，故边为圆的直径，又由，则为正三角形，则有，则向量在向量上的投影向量,故选：A．8．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】在中，根据正弦定理求得，结合，即可求解.【详解】在中，，由正弦定理得，可得，过点作，可得 所以.故选：D.   二、多选题9．已知复数z满足，下列关于复数z的结论中正确的有（　　）A．B．复数z的共轭复数为C．复平面内表示复数z的点位于第二象限D．复数z是方程的一个根【答案】ACD【分析】根据复数除法计算法则求出复数，根据复数的模、共轭复数的概念、复数的几何意义、复数乘法运算的知识判断选项从而得出答案.【详解】因为，所以，所以，故A正确；，故B错误；复平面内表示复数z的点的坐标为，位于第二象限，故C正确；因为，所以复数z是方程的一个根，故D正确.故选：ACD10．已知直线、，平面、，给出下列命题，其中正确的命題是（    ）A．若，，且，则B．若，，则C．若，，且，则D．若，，且，则【答案】AD【分析】根据线面位置关系的性质定理与判定定理一一判定即可.【详解】对于A项，，∴或，又，∴，故A正确；对于B项，如图所示，在正方体中，，面，面，显然，而FH与BC不平行，即B错误；  对于C项，如上图所示，在正方体中，，面，，面，显然符合条件，而，不垂直，即C错误；对于D项，，又，∴，故D正确.故选：AD11．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（    ）A． B．2 C． D．5【答案】BD【分析】由题意可知：，，两两的夹角为或，再根据平面向量数量积的运算计算的值即可求解.【详解】，因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两的夹角为或，当夹角为时，，，，，当夹角为时，，，，，所以或故选：BD．12．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且，则以下说法正确的是（    ）  A．平面 B．与平面所成角为C．面 D．点到面的距离为2【答案】ABC【分析】利用线线垂直可判定A项，利用线面角定义可判定B项，利用线线平行可判定C项，利用线面垂直可判定D项.【详解】由于四边形是边长为2的正方形，故，又面，面，∴面，故A正确；  连接PO，由A可知：与平面所成角为，由条件可得，故B正确；易知面，面，即面，故C正确；由A可知点到面的距离为，而，故D错误.故选：ABC 三、填空题13．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为        ．【答案】【分析】根据直线的倾斜角与斜率关系计算即可.【详解】由已知得直线的斜率为：.故答案为：14．4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的分位数为           .【答案】9【分析】根据百分位数的概念直接求解即可.【详解】解：由题知，总共有10个数据，所以分位数为第8个与第9个数据的平均数，所以分位数为.故答案为：15．如下图，正方形的边长为，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M，求的余弦值        ．  【答案】/【分析】利用相似三角形的性质及余弦定理解三角形即可.【详解】  如图所示，作交于G点，由题意可知，，易知，故，不妨令，则由余弦定理得.故答案为：. 四、双空题16．是所在平面外一点，过作平面，垂足是，连接、、.（1）若，则为的          心；（2），，，则是的          心.【答案】     外     垂【分析】（1）推导出，进而可得出结论；（2）证明出，，由此可得出结论.【详解】（1）如下图所示：平面，、、平面，，，，，则、、均为直角三角形且全等，所以，，因此，为的外心；（2）如下图所示：，，，平面，平面，，平面，平面，，，平面，平面，，同理可证，所以为三条边上高线的交点，即为垂心．故答案为：外；垂.【点睛】本题考查三角形外心与垂心的判断，考查线面垂直判定与性质定理的应用，考查推理能力，属于中等题. 五、解答题17．已知，，且与的夹角，(1)求，(2)若与垂直，求的值．【答案】(1)，.(2) 【分析】（1）利用数量积公式及其与模的关系计算即可；（2）根据垂直关系计算即可.【详解】（1）由条件可得：，；（2）与垂直，.18．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．    (1)求直方图中x的值；(2)在被调查的用户中，求用电量落在区间内的户数；(3)根据频率分布直方图，估计该小区月用电量的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）．【答案】(1)0.0044(2)70(3)186 【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形面积之和为1，计算即可；（2）根据频率分布直方图直接计算即可；（3）根据频率分布直方图计算平均数的公式计算即可.【详解】（1）由图可知：；（2）由图可知用电量落在区间内的频率为：，故户数为；（3）由图可知用户用电量的平均数约为：.19．已知、、分别为三个内角、、的对边，.(1)求；(2)若，的面积为，求、.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得．【详解】（1）根据正弦定理，变为，即，也即，所以．整理，得，即，所以，所以，则．（2）由，，得．由余弦定理，得，则，所以．则．20．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为的中点，F为中点．  (1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线线平行证线面平行即可；（2）由二面角定义构造垂直解三角形即可.【详解】（1）  如图所示，取中点G，连接，由中位线的性质易知：且，又因为底面是菱形，E为的中点，所以，，即四边形是平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面；（2）  如图所示，作，垂足为I，作交PC于J，连接AJ，易知即二面角，在菱形中，由于，，平面，易得，在中，，在中，，在中，，即二面角的正弦值为.