2023-2024学年湖北省温德克英联盟高二8月开学综合性难度选拔考试数学试题Word版含解析

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 2023年8月湖北温德克英联盟高二上学期开学综合性难度选拔考试
本试卷共6页，22题.全卷满分120分 考试用时120分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简得，即得解.
【详解】解：由题得.
所以z的虚部为.
故选：A
2. 设，向量,且 ，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直以及平行的坐标表示，列出方程，解得x,y的值，可得答案.
【详解】由题意向量,且，
故得：，解得 ，
故，
故选：A
3. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则（ ）
A. 100 B. 120 C. 200 D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】由题知，再解方程即可得答案.
【详解】解：因为感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，
所以，抽取样本量为的样本中，O型血的人数为， AB型血的人数为，
所以，，解得
故选：B
4. 表示平面，为直线，下列命题中为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助长方体模型，结合线面垂直的判定定理、面面平行的性质逐一判断即可.
【详解】A：在长方体中，设表示平面，
分别表示平面和平面，显然满足，
但是，因此本选项不正确；
B：在长方体中，设表示平面，
分别表示平面和平面，显然满足，
但是，因此本选项不正确；

C：设，
设点是平面任意一点，在平面内过做，垂足为，
因为，，，
所以，而，所以，同理，
而，所以，因此本选项正确；

D：在长方体中，
分别表示平面、平面、平面、平面，
显然满足，但是，因此本选项不正确，
故选：C
5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理将统一成角的形式，化简后可求出，在中利用正弦定理可求出，则可求出，然后在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求出外接圆的半径，从而可求出圆的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
因为，所以，所以，
在中，由正弦定理得，，
所以，
因，
所以，得，
所以
在中，由余弦定理得，
，
所以，
设外接圆半径为，则由正弦定理得，
所以，
所以的外接圆的面积是，
故选：B

6. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取中点，连接，证明平面，求出P在FC上.将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面距离与它到点的距离之和的最小值.
【详解】取中点，连接，

由，，可知，则，
∴由知，即.
∵平面ABCD，⊥平面ABCD，∴AC⊥，又AC⊥BD，BD∩＝B，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∴平面，
∵，∴平面，平面，
∵在侧面内，∴平面平面，即P在CF上；
∵平面⊥平面ABCD，且交线为BC，
∴P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离，
将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，如图：

将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.
以B为原点，建立如图所示坐标系，则B(0，0)，F(1，0)，C(0，2)，
直线CF方程为，即，
设，则，
∴.
故选：A﹒
7. 已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
8. 定义：若，则称是函数的倍伸缩仿周期函数.设，且是的2倍伸缩仿周期函数.若对于任意的，都有，则实数m的最大值为（　　）
A. 12 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数解析式，得到时，，考虑和两种情况，得到不等式，解得答案.
【详解】，
当时，，故，
故当时，，，
，故，
当时，恒成立；
当时，，，即，
故，即，即实数m的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，不等式恒成立问题，三角函数的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用函数的类周期性质确定函数的解析式是解题的关键.
二、多选题
9. 近年，随着人工智能，AIoT，云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩展和增加.国际数据公司IDC统计了2016~2020年全球每年产生的数据量及其增速，所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是（ ）

A. 2016~2020年，全球每年产生的数据量在持续增加
B. 2016~2020年，全球数据量的年平均增长率持续下降
C. 2016~2020年，全球每年产生的数据量的平均数为33.7
D. 2015年，全球产生的数据量超过15
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据统计图，分析数据，可依次判断各个选项.
【详解】对于A，由图可得2016~2020年，全球每年产生的数据量在持续增加，故A正确.
对于B，2016~2017年，全球数据量的年平均增长率由增长到了，故B错误.
对于C，年，全球每年产生的数据量的平均数为，故C正确.
对于D，设2015年全球产生的数据量为，则，解得，故D正确.
故选：ACD
10. 下列各式的值为是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用三角函数恒等变形，即可化简求值.
【详解】A. ，故A正确；
B. ，故B正确；
C.
，故C错误；
D. ，
，故D错误.
故选：AB
11. 三棱锥各顶点均在表面积为的球体表面上，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 线段长度的最小值为
D. 三棱锥体积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A, 计算出的外接圆半径，明确球心到平面ABC的距离，可求得；
对于B，要明确D的轨迹是与BC垂直的球内某截面圆，由此判断满足CD=2时的点D有两个点，其中有一个不满足；
对于C, 借助于图示，确定点D在D'位置时，线段长度才可取到最小值，由此计算即可；
对于D，由于的面积为定值，且D点在与垂直的截面圆上，只需当D点到平面ABC距离最大时, 三棱锥体积也最大，由此可以求先求得三棱锥的高的最大值，可求得结果；
【详解】因为 ,所以 ；
对于A,若，则平面 平面ABC,过BD的中点F作与平面BCD垂直的直线l,设球心为O,则∥平面ABC,作,垂足为H， ,则FH即为球心O到平面ABC的距离d,对于 ,设其外接圆半径为r,则 ，所以 ，因此CD=2HF=2，故A正确；


对于B，因为始终满足CB⊥CD，所以点D的轨迹是与BC垂直的球内某截面圆，如图示：

因为BC=2为定值，作D点所在截面圆O',取BC得中点M,连接OM,, ，因为OO'和BC同时满足垂直于D点所在截面圆，所以OM即为D点所在截面圆的半径，所以D点在以2为半径的圆上，C为定点，所以满足CD=2时的点D有两个点，作A点在截面圆的投影，垂足设为H，若CD⊥AB，则CD⊥平面BCHA，所以CD⊥CH，必定有一个符合CD=2的D点不满足，因此B选项错误;
对于C,

因为平面ABC(ABCH)与圆O'垂直，所以OO'与平面ABC平行，作 ，又因为 ，所以 平面ABC，因此为 外接圆的圆心，而△ABC外接圆半径r为2，又因为 ，所以AH=r+1=3，若求AD的最小值，在直角三角形ADH中，只需确定出DH的最小值即可，如图所示，点D在D'位置时，DH最小，AD也最小,即，由A的分析可知球心O到平面ABC的距离为1，即 ,则 ,而DH的最小值为
,所以AD的最小值为 ，故C正确；
对于D，的面积为定值，且D点在与垂直的截面圆上，只需当D点到平面ABC距离最大时, 三棱锥体积也最大，又因为O'H⊥平面ABC，因此当D点位于HO'与截面圆的交点处时(如图示位置)即共线时,高即DH最大，最大值 ,故此时三棱锥体积的最大值为
，故D正确，
故选：ACD
【点睛】本题难度较大，需要充分发挥空间想象力，利用示意图辅助解答，难点在于理清空间中的位置关系，明确数量关系，准确计算.
12. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，有以下四个命题中正确的是（ ）
A. 满足条件的不可能是直角三角形
B. 面积最大值为
C. 当A=2C时，的周长为
D. 当A=2C时，若O为的内心，则的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用勾股定理的逆定理判断；
对于B，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；
对于C，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案
对于D，由已知条件可得为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得的面积
【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，所以A错误；
对于B，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，
因为，所以，
化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，
所以面积的最大值为，所以B正确；
对于C，由A=2C，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，，，
因为，所以，
所以的周长为，所以C正确；
对于D，由C可知，为直角三角形，且，，，，
所以的内切圆半径为，
所以的面积为
所以D正确，
故选：BCD
【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13. 已知为复数，且，则的最大值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，设，得到，则，利用复数的模的几何意义，即可得解.
【详解】由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
故答案为：

14. 已知的外接圆圆心为O，，，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求得，进而用表示出，由此化简，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】先求：
如图所示，设是线段的中点，由于是三角形外接圆的圆心，故，所以，同理可得.
由于
故，即，解得，将上式代入并化简得，由于，依题意有最小值，结合二次函数的性质可知当时，有最小值.由解得.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
15. 已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.
详解】根据正弦定理，
将转化为
即，又因为锐角，所以.
所以






因为是锐角三角形，
所以，所以，得，
所以
故的取值范围是.
【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.
16. 如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________.

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径.
【详解】如图，记该八面体为，O为正方形的中心，则平面

设，则，解得.
在正方形中，，则
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为
故该正八面体外接球的体积为.
若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离.
取的中点E，连接，，则，
又，，平面
过O作于H，又，，所以平面，
又，，则，
则该球半径的最大值为.
故答案为：，
四、解答题
17. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；
（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5
（2）10
【解析】
【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；
（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式，代入计算即可得答案.
【小问1详解】
设这20人的平均年龄为，则
.
设第80百分位数为，由，解得.
【小问2详解】
由频率分布直方图得各组人数之比为，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）若函数在的最大值为2，求实数的值.
【答案】(1) .
(2) .
(3)或
【解析】
【详解】分析：(1)根据倍角公式中的降幂公式，合并化简，得到）.可求得最小正周期．
（2）根据正弦函数的单调区间，求得∴的递增区间为
再判断在区间上是增函数条件下的取值情况即可．
（3）化简的表达式得到.利用换元法令，得到关于t的二次函数表达式．对分类讨论，判断在取不同范围值时y的最值，从而求得的值．
详解：（1）
. p
∴.
（2）.
由得，
∴的递增区间为
∵在上是增函数，
∴当时，有.
∴解得
∴的取值范围是.
（3）.
令，则.
∴ .
∵，由得，
∴.
①当，即时，在处.
由，解得（舍去).
②当，即时，，由
得解得或（舍去）.
③当，即时，在处，由得.
综上，或为所求.
点睛：本题考查了三角函数的综合应用，根据表达式求周期、单调性、最值等，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题．
19. 在中，内角所对的边分别为，的面积为
已知①，②，③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
（1）求角
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，由数量积的定义与三角形面积公式化简可得的值，即可得角选②，由正弦定理结合余弦定理求解的值，即可得角选③，由正弦定理结合三角恒等变换可得的值，即可得角
（2）由余弦定理结合基本不等式求得最值，即可得的面积的最大值.
【小问1详解】
选①，由可得，
得，又，所以；
选②，因为
由正弦定理得，即，所以
又，所以
选③，因为，由正弦定理可得，
所以
因为，所以，
所以，因为，所以；
【小问2详解】
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
当时最大值为.
20. 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，

（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；
（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由边角边证得，即，在等腰三角形中由三线合一证得，在菱形中由菱形的对角线垂直证得，由线面垂直的判定定理说明即得证；
（2）延长交于点，平面即为平面，平面即平面，由（1）得平面平面，平面平面，所以过做，由面面垂直的性质则平面，故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变），在菱形ABCD中求出BD，作，由和勾股定理可求得，由余弦定理和同角三角函数关系求得，，进而求得，最后由正弦函数定义可求得答案；也可以利用建立空间直角坐标系的方式运算求解.
【详解】（1）连接交于，

因为，，，
所以，故
又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以
又四边形为菱形，故
而，所以平面
方法二：因为，
所以点在平面内的射影在为的平分线，
又四边形为菱形，故为的平分线，则直线
故平面平面，而平面平面，
又四边形为菱形，故
所以平面
（2）延长交于点，平面即为平面，平面即平面
由（1）得平面平面，平面平面，
所以过做，则平面，故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）
因为四棱台中，所以，
由菱形有，且∠ABC=，所以，
作，因为，则，，所以，
则，，，
故.
法二：延长交于点，
平面即平面，平面即平面，
设直线与平面所成角为
过作，垂足为，因为，所以
建系，以为轴，作轴，



设平面的法向量为，则
，
所以，

所以
【点睛】本题考查空间中线面垂直的证明，还考查了空间线面角正弦值的运算，属于难题.
21. 已知的内角的对边分别为，，平分交于点，且．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得结果，
（2）由角平分线的性质结合已知可得，再由正弦定理和三角函数恒等变换公式可得，结合可求出，然后在中利用正弦定理可得，从而可求得，在中利用余弦定理得，解方程组可求出，进而可求出的面积.
【小问1详解】
因为，所以，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，所以.
【小问2详解】
因为平分交于点，且，
所以，即，①
所以，，
所以，，
所以，
因为，所以，得，
因为，所以，
在中由正弦定理得，
得，所以，
所以,
在中由余弦定理得，得，②
由①②解得，
所以的面积为.

22. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．

（1）求四棱锥的体积的最大值；
（2）若棱的中点为，求的长；
（3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到∠PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值
【小问1详解】
取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥的体积取得最大值，
此时PG⊥平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为
【小问2详解】
取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线，
所以NQ∥AB且，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且，
所以CM∥NQ且CM=NQ，
故四边形CNQM为平行四边形，
所以.
【小问3详解】
连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为的平面角，即，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设，
因为，所以，

所以，
所以，
所以，
设平面PAM的法向量为，
则，
令，则，
设平面PBC的法向量为，
因为，
则
令，可得：，
设两平面夹角为，
则

令，，所以，
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为