2023-2024学年福建省宁德第一中学高二上学期开学检测数学试题含答案

2023-2024学年福建省宁德第一中学高二上学期开学检测数学试题

一、单选题

1．已知公比为的等比数列的前项和，，且，则（    ）

A．48 B．32 C．16 D．8

【答案】C

【分析】根据，作差求出，再根据，求出，即可得到通项公式，再代入计算可得；

【详解】解：因为公比为的等比数列的前项和①，

当时，

当时②，

①②得，

所以，则，又，所以，解得，

所以，则；

故选：C

2．记等差数列的前项和为，已知，则一定成立的是（    ）

A． B． C． D．数列有最大项

【答案】C

【分析】设等差数列的公差为，由，得，然后根据等差数列的通项公式和求和公式逐个分析判断即可

【详解】设等差数列的公差为，由，得，化简得，

对于A，，，当时，，所以A错误，

对于B，，当时，，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以C正确，

对于D，因为，所以，

当时，无最大值，所以此时数列无最大项，所以D错误，

故选：C

3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第六层球的个数为（    ）

A．15 B．18 C．20 D．21

【答案】D

【分析】通过前几层小球的个数，可以发现规律，结合等差数列前n项求和公式计算得出结果.

【详解】根据题意，设各层球的个数构成数列，

由题意可知，，

则有，

故第六层球的个数，

故选：D.

4．已知各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的公比为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由等比数列的定义和性质知，结合可得.

【详解】设数列公比为，

因数列各项均为正数，故，

则，

得

解得或（负值舍去）．

故选：C．

5．已知为递增的等比数列，且满足，，则（    ）

A． B．1 C．16 D．32

【答案】C

【分析】首先化简等式，并结合等比数列的性质求得，再根据等比数列的基本量求.

【详解】由题意，，

联立，则或

因为是递增的数列，得，

设等比数列的公比为，则

.

故选：C.

6．已知数列为各项为正数的等比数列，且，，成等差数列，则数列（    ）

A．单调递增 B．单调递减 C．先递增后递减 D．是常数列

【答案】D

【分析】根据等差数列、等比数列的性质计算基本量即可得通项公式；

【详解】设数列的首项为，公比为q，

因为，，成等差数列，，则，即，

因为，所以可得，数列为各项为正数，解得或（舍），

可得为常数列.

故选：D.

7．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A．63 B．45 C．43 D．27

【答案】B

【分析】由成等差数列即可求解.

【详解】解：由等差数列性质知成等差数列，

即成等差数列，.

∴.

故选:B．

8．首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得，从而求出公差的取值范围.

【详解】因为首项为的等差数列，从第项起开始为正数，

所以，即，解得，

故选：C

二、多选题

9．已知数列，均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（    ）

A．数列是等比数列 B．数列是等比数列

C．数列是等差数列 D．数列是等差数列

【答案】ACD

【分析】根据等比数列和等差数列的定义或通项公式判断．

【详解】设数列的公比为，数列的公比为，所以，.

对于A，，从而数列的公比为，故A正确.

对于B，，与不一定相等，所以数列不是等比数列，故B错误.

对于C，，从而数列的公差为.故C正确.

对于D，，从而数列的公差为，D正确.

故选：ACD．

【点睛】结论点睛：本题考查等差数列和等比数列的判断．掌握等差数列和等比数列的定义是关键．判断方法有：（1）定义法；（2）通项公式法；（3）等差中项、等比中项法；（2）前项和公式．特别注意等比数列中各项均不为0．

10．在数列中，（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（    ）

A．是等方差数列

B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则

C．等比数列不可能为等方差数列

D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列

【答案】BC

【分析】根据等方差数列的定义依次分析四个选项可得答案.

【详解】对于A，因为，，，

，所以不是等方差数列，故A错误；

对于B，因为，，，

所以，，

因为 是等比数列，所以，所以，

所以，因为，所以，所以，又，所以，故B正确；

对于C，设等比数列的公比为，则，

则当时，，若为常数，则必有，此时，则数列不可能是等方差数列，故C正确；

对于D，假设存在数列既是等差数列，又是等方差数列，则当时，且，

若，则，则，不合题意，

若，则，得，又，

所以为常数，必有，与假设矛盾，

故存在数列既是等差数列，又是等方差数列.故D错误；

故选：BC

11．下列说法中，正确的有（    ）

A．已知，则数列是递减数列

B．数列的通项，若为单调递增数列，则

C．已知正项等比数列，则有

D．已知等差数列的前项和为，则

【答案】ABD

【分析】由，可判定A；恒成立，可判定B；根据，，得到，可判定C；由构成等差数列，列出方程求得，可判定D.

【详解】对于A中，由，可得，所以数列是递减数列，所以正确；

对于B中，若数列的通项，

则恒成立，

所以，所以B正确；

对于C中，正项递增的等比数列，

若，可得，

此时，所以C不正确；

对于D中，等差数列的前项和为且，

根据构成等差数列，即构成等差数列，

可得，解得，所以D正确.

故选：ABD.

12．数列满是，则（    ）

A．数列的最大项为 B．数列的最大项为

C．数列的最小项为 D．数列的最小项为

【答案】BD

【分析】根据条件，判断出数列的单调性即可求出结果.

【详解】因为，所以，

由，得到，且易知，时，，当时，，

所以

所以数列的最大项为，最小项为，

故选：BD.

三、填空题

13．已知在等比数列{an}中，a3=7，S3=21，则公比q=         

【答案】1或

【分析】由a3=7，S3=21，得到求解.

【详解】解：因为在等比数列{an}中，a3=7，S3=21，

所以，

两式相除得： ，

解得或，

故答案为：1或

14．在各项均为正数的等比数列中，若，则        ．

【答案】

【分析】由等比数列的性质求解即可.

【详解】由可得：，

则，因为等比数列的各项均为正数，

则.

故答案为：

15．已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是        ．

【答案】（答案不唯一）

【分析】分析数列前4项的特征，求出前4项都满足的一个通项公式作答.

【详解】依题意，，

所以前4 项都满足的一个通项公式为.

故答案为：

16．已知等差数列，，其前项和分别为，，且满足，           ．

【答案】

【分析】运用等差数列的性质即可得出与的关系，从而得出结论.

【详解】运用等差数列的性质,可得即，

由等差数列性质可知．

故答案为：.

四、解答题

17．有一批空气净化器，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的销售.某单位需购买一批此类空气净化器，问去哪家商场购买花费较少？

【答案】若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.

【分析】设某单位需要购买台空气净化器，甲、乙两商场的购货款的差价为，

根据题意列出分段函数，求出时对应的 ，再根据函数的单调性说明即可．

【详解】设某单位需要购买台空气净化器，甲、乙两商场的购货款的差价为，

∵去甲商场购买共花费，由题意，有，∴.

∴，

即，

当时，；当时，；当时，.

所以，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.

【点睛】本题考查分段函数的应用，解本类题的关键在于读懂题意，根据题意写出函数表达式，属于基础题．

18．已知函数，其中，且.

(1)当时，求；

(2)设，，记数列的前项和为，求使得恒成立的的最小正整数.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）依据题给条件，利用等差数列前n项和公式即可求得；

（2）先利用裂项相消法求得数列的前n项和，再依据题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得m的最小整数

【详解】（1）由，可得

，

则当时，.

（2）由（1）可得，当时，，

则当时，

，

则当时，数列的前n项和

，

又当时，，，，

由恒成立，可得，解之得，

则当时，使得恒成立的m的最小整数为2.

当时，成立，

综上，使得恒成立的m的最小整数为2.

19．在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得公差，由此求得.

（2）先判断的符号，根据等差数列前项和公式求得正确答案.

【详解】（1），，，

又，，成等比数列，所以，

化简得，解得或，又，所以，

可得数列的通项公式；

（2）由（1）得，由，得，

由，得，设数列的前n项和为，

所以

，

所以.

20．已知数列的前n项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若等差数列满足，且，，成等比数列，求c．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用，可知数列为2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式计算即可；

（2）求数列的前n项和为，根据等差数列及等比数列的性质可求出c．

【详解】（1）因为，当时，

两式相减得

化简得，

，，

当时，，解得或（舍去）

故数列是以2为首项，2为公差的等差数列．

．

（2）由（1）知，，，

，，，

，，成等比数列，，

即，整理得：，

或．

①当时，，所以（定值），满足为等差数列，

②当时，，

，，，

不满足，故此时数列不为等差数列（舍去）．

综上可得．

21．已知数列满足，且（，且）．

(1)求，；

(2)求数列的通项公式.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据递推公式，赋值求；

（2）首先变形递推公式，证明数列是等差数列，即可求通项公式.

【详解】（1）当时，，

当时，；

（2）依题意，，两边同时除以，

得，即，，，

所以数列是首项为，公差为1的等差数列，

即，

所以.

22．已知数列的通项为，前项和为，且是与的等差中项，数列中，，点在直线上.

（1）求数列、的通项公式、；

（2）设的前项和为，试比较与的大小；

（3）设，若对一切正整数，恒成立，求的最小值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）根据等差中项的性质列式，然后结合求得数列的通项公式.将点坐标代入直线方程，由此证得是等差数列，进而求得数列的通项公式.（2）先求得，然后利用放缩法结合裂项求和法证得.（3）利用错位相减求和法求得，由此求得的最小值.

【详解】（1）由于是与的等差中项，故，当时，，当时，，，两式相减并化简得，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.将代入上，故，故是首项为，公差为的等差数列，故.

（2）依题意，所以，所以.

（3）①，②

①-②得，化简得，又因为，所以满足条件的最小整数值.

【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列通项公式的求法，考查等差中项的性质，考查裂项求和法与错位相减求和法，考查放缩法，属于中档题.