2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第101中学高二上学期开学考试数学试题含答案

2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第101中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．下列说法中，正确的是（    ）

①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；

③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

【答案】D

【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.

【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确；

②零向量的方向任意，故错误；

③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；

④任意向量与零向量都共线，正确；

故选：D

2．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）.

A．至多有1次中靶 B．2次都中靶

C．2次都不中靶 D．只有1次中靶

【答案】C

【分析】根据对立事件的概念可得结果.

【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.

故选：C.

3．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦定理及同角三角函数基本关系求解.

【详解】由正弦定理知，，

所以，

故选：D

4．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】A

【分析】利用数量积的定义，即可求解.

【详解】解：,所以,即，

解得,又因为向量夹角的范围为，则与的夹角为30°，

故选：A.

5．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解.

【详解】在正方体中，连接，，可得，

所以异面直线与所成角即为直线与所成角，

即为异面直线与所成角，

不妨设，则，，

取的中点，因为，所以，

在直角中，可得.

故选：B.

6．如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ）

A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形

C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

【答案】C

【分析】画出原图，利用原图与直观图之间的转化比例求解.

【详解】解：将其还原成原图，如图，

设，则可得，，

从而，

所以，即，

故是等腰直角三角形.

故选：C.

7．已知平面向量，，满足：，，且，则为（    ）

A．1 B．3 C． D．9

【答案】B

【分析】根据向量垂直可得，进而根据向量模长的计算即可求解.

【详解】由得，

由得，

故，

故选:B

8．在中，已知，，，则（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.

【详解】设，

结合余弦定理：可得：，

即：，解得：（舍去），

故.

故选：D.

【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：

(1)已知三角形的三条边求三个角；

(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；

(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．

9．数据，，，…，的平均数为，数据，，，…，的平均数为，则数据，，，…，，，，，…，的平均数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用平均数的计算公式计算.

【详解】由题意得：，，

所以

故选：D

10．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.

【详解】，

.

故选：B.

11．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（    ）

A．0.38 B．0.61

C．0.122 D．0.75

【答案】B

【分析】利用频率组距，即可得解.

【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率

故选：B

12．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）

A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.

【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.

13．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.

【详解】记，

因为，

所以.

故选：D

14．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．

【详解】解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，

由图示可知，该空间几何体体积为，

故选：C.

15．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】C

【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.

【详解】因为，，若，分别在直线上为平面，的法向量，且，故，所以选项A说法正确；

因为，，所以，而，因此，所以选项B说法正确；

当时，如下图所示：也可以满足，，，所以选项C说法不正确；

因为，，所以，而，所以，因此选项D说法正确，

故选：C

二、填空题

16．已知平面向量，的夹角为则单位向量在上的投影为      ．

【答案】/0.5

【分析】运用向量的概念与计算方法，利用平面向量数量积的几何意义，即可得解

【详解】单位向量在上的投影数量为．

故答案为：．

17．写出一个复数z，使得z满足且，则z可以为      ．

【答案】i（不唯一）

【分析】根据z满足且求解.

【详解】解：因为z满足且，

所以z可以为：i，

故答案为：i（不唯一）

18．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为           .

【答案】4

【分析】直接列举基本事件即可.

【详解】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.

故答案为：4.

19．已知，，若，则点的坐标为           .

【答案】

【分析】设，根据向量的坐标表示求出，再由向量的数量关系列方程组求出的坐标即可.

【详解】设，则，，

又，有，可得，

所以的坐标为.

故答案为：

20．已知向量．若，则        ．

【答案】.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值

【详解】,

，解得,

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.

三、解答题

21．设向量，，.

(1)求；

(2)若，，求的值；

(3)若，，，求证：A，，三点共线.

【答案】(1)1

(2)2

(3)证明见解析

【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.

【详解】（1），；

（2），所以，解得：，所以；

（3）因为，所以，所以A，，三点共线.

22．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.

【详解】（1），

，

，

.

（2）依题意，，，

，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

23．统计某校n名学生期中考试化学成绩（单位：分），由统计结果得如下频数分布表和频率分布直方图：

(1)求出表中m，p的值；

(2)估计该校学生化学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于70分的学生所占比例不低于该校全体学生的80%”的考核标准？

【答案】(1)；

(2)平均数约为75；中位数的为74.7

(3)不能

【分析】（1）根据频率分布直方图进行数据分析，计算可得；

（2）利用平均数计算公式计算样本平均数；先判断出中位数落在第三组[70·80）内，设中位数为x，列方程即可求解；

（3）先计算出化学成绩不低于70分的学生所占比例约为，再下结论.

【详解】（1）由频率分布直方图将进行数据分析可得：

；

；

.

（2）化学成绩的样本平均数为

∴该校学生化学成绩的平均数约为75．

第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38．

∵

∴中位数落在第三组[70，80）内，设中位数为x

则

解得因此，中位数的为74.7

（3）学成绩不低于70分的学生所占比例约为，

由于该估计值小于0.8，故不能认为该校学生化学成绩达到“化学成绩不低于70分的学生所占比例不低于该校全体学生的80%的规定．

24．已知向量满足：，且.

(1)求向量与向量的夹角；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式即可求出夹角的大小；

（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值．

【详解】（1）∵

∴

∵，且，

∴．

（2）∵

∴，即

∴．

25．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，点在线段上，，点分别是线段的中点.

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【分析】（1）由线线垂直证明平面，进而证明出，由三角形全等得到，所以平面.

（2）作出辅助线，求出，进而利用比例关系求出三棱锥的体积.

【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，

又因为，所以平面.

又平面，所以.

因为，所以，

所以.

又因为，所以平面.

（2）连接.

因为，所以，

所以.

由（1）知平面，所以，

正方形面积，

因为，

所以，

所以.