2023-2024学年山东省烟台市龙口市龙口第一中学东校高二上学期开学数学试题含答案

2023-2024学年山东省烟台市龙口市龙口第一中学东校高二上学期开学数学试题

一、单选题

1．若点，点，且，则点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设，根据列方程组即可求解.

【详解】设，则，

因为，所以，解得.

故点的坐标为.

故选:A.

2．已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由题知，存在，使得，进而得，再结合已知即可得答案.

【详解】解：因为满足任意三点不共线，但四点共面，

所以，根据共面向量基本定理，存在，使得，

因为，，，

所以，即，

因为，

所以，，解得

故选：B

3．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.

【详解】

=,

故选：A.

4．若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可

【详解】向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，

对于选项A：，故，，共面，故A错误，

对于选项B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B错误，

对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确，

对于选项D：由选项A得：2，故2，，共面，故D错误，

故选C．

【点睛】本题考查了空间向量基本定理、空间向量的基底，属简单题

5．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

6．若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于线面角的正弦值等于，进而可求得结果.

【详解】平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，

所以与所成角的正弦值等于，

故选：B.

7．在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【分析】根据向量法计算可得.

【详解】依题意，平面的法向量为，

所以点到平面的距离.

故选：C

8．已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（    ）

A． B．4 C． D．3

【答案】A

【分析】根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．

【详解】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为

，

又为直线外一点，且直线过点， ，

，

点到直线的距离为

故选：A．

二、多选题

9．下列命题中是假命题的是（    ）

A．若非零向量与平面平行，则所在直线与平面也平行

B．若，则，的长度相等且方向相同

C．若向量，满足，且与同向，则

D．若两个非零向量，满足，则

【答案】ABC

【分析】根据直线和平面的位置关系可判断A；根据向量的定义判断B，C；根据向量的共线的判定定理可判断D.

【详解】对于A，若非零向量与平面平行，则所在直线可能与平面也平行，也可能在平面内，A是假命题；

对于B，若，则，的长度相等，当方向不一定相同，B为假命题；

对于C，向量不能比较大小，故C为假命题；

对于D，两个非零向量，满足，即，则，D为真命题，

故选：ABC

10．下列各命题正确的是（    ）

A．点关于平面的对称点为

B．点关于轴的对称点为

C．点到平面的距离为1

D．设是空间向量单位正交基底，若，则

【答案】ABD

【分析】根据空间直角坐标系中点对称的性质，点面距的定义，正交基系数的意义及空间向量坐标的定义，即可判断各选项的正误.

【详解】A：关于平面的对称点，x、z不变，y变为相反数，则的对称点为，正确；

B：关于轴的对称点，y不变，x、z变为相反数，则的对称点为，正确；

C：空间点到面的距离为该点x坐标值的绝对值，则到面的距离为2，错误；

D：根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知：表示，正确；

故选：ABD

三、填空题

11．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的体积为       

【答案】

【详解】由题意得四面体是一个边长为的正四面体，体积为.

12．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为        .

【答案】

【分析】由已知可得，且，利用空间向量数量积的运算求出的值，即可得解.

【详解】由已知可得，且，

由空间向量数量积的定义可得，

所以，，

因此，.

故答案为：.

四、解答题

13．若，．

（1）若，求k；

（2）若，求k．

【答案】（1）；（2）．

【分析】先求出和的坐标表示，

（1）按照空间向量共线（平行）的条件列式计算即可得解；

（2）按照空间向量垂直的条件列式计算即可得解.

【详解】，

，

（1）∵，

∴，解得；

（2）∵，

∴，解得．

14．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.

【详解】（1）连接，

，分别为，中点    为的中位线

且

又为中点，且 且

四边形为平行四边形

，又平面，平面

平面

（2）设，

由直四棱柱性质可知：平面

四边形为菱形    

则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：，，，D（0，-1,0）

取中点，连接，则

四边形为菱形且    为等边三角形

又平面，平面

平面，即平面

为平面的一个法向量，且

设平面的法向量，又，

，令，则，    

二面角的正弦值为：

【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.