2023-2024学年云南省开远市第一中学校高二上学期开学考试数学试题含答案

2023-2024学年云南省开远市第一中学校高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求得集合M，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】,,

故

故选：B.

2．已知集合，从集合中任取不同的两个数作为点的坐标，则事件“点落在轴上”包含的基本事件共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【分析】列举出满足条件的点的坐标，即可得解.

【详解】“点落在轴上”包含的基本事件有：、、、、、、，共个.

故选：A.

3．已知复数z满足，则 （    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案.

【详解】由题意知复数z满足，

即，

故选：C

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

5．函数的部分图像大致为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】研究函数的奇偶性，结合函数部分区域函数值的正负，即可判定选项.

【详解】

定义域为且关于原点对称，

，

所以为奇函数，即图像关于原点对称；

当时令，可得，

所以时，，

时,

结合图形可知A选项正确.

故选：A.

6．在中，若为边上的中线，点在上，且，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.

【详解】如图所示，在中，

因为为边上的中线，

所以为的中点，

所以由平行四边形法则有：

，

又点在上，且

所以，

所以

，

故选：A.

7．天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等M，目视星等m和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为﹣5.53，在地球某地测得天狼星的目视星等为﹣1.45，老人星的目视星等为﹣0.73，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为（    ）（100.54≈0.288，101.54≈34.67）

A．0.288 B．0.0288 C．34.67 D．3.467

【答案】B

【分析】利用题中的数据，设出地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2，即可解出．

【详解】设地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2，

由题意可得，

所以，

所以，

，

故选：B．

8．已知正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上，且，若三棱锥的体积为，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取的中心，设球心为，先由三棱锥的体积求出棱锥的高为，再由勾股定理求出球的半径，最后求表面积即可.

【详解】

由题意得，为等边三角形，取的中心，设球心为，易得共线，设三棱锥的高为，

，则，则，又，

由正弦定理得，，在中，，即，

解得，则球的表面积为.

故选：D.

二、多选题

9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据函数奇偶性与单调性对选项逐一分析判断.

【详解】A，函数是非奇非偶函数，故排除A；B，函数是上的奇函数也是减函数，故B正确；C，函数在定义域上是奇函数，但在和上是减函数，在定义域上不具有单调性，故排除C；D，函数是上的奇函数也是减函数，故D正确.

故选：BD

10．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由不等式的性质，指数函数、对数函数和幂函数的性质，判断不等式是否成立.

【详解】需要，不能满足，A选项错误；

由指数函数的性质，当时，有，B选项正确；

由幂函数的性质，当时，有，即，C选项正确；

当时，满足，但不成立，D选项错误.

故选：BC

11．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．的最小正周期为

B．当时，的值域为

C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象

D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称

【答案】ACD

【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．

【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；

由，知，

因为，所以，所以，，即，，

又，所以，所以，

对于B，当时，，所以，

所以的值域为，故B错误；

对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；

对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．

故选：ACD．

12．如图，已知正方体的棱长为1，O为底面 ABCD的中心，交平面于点E，点 F为棱CD的中点，则（    ）

A．三点共线 B．异面直线 BD与所成的角为

C．点到平面的距离为 D．过点的平面截该正方体所得截面的面积为

【答案】ACD

【分析】由题意可证得三点都在平面与平面的交线上，可判断A；由题意可证得平面，从而，可判断B；由题意可证得平面，则的长度就是点到平面的距离，求解可判断C；取的中点，因为，所以等腰梯形就是过点的平面截该正方体所得截面，求出面积可判断D.

【详解】因为为底面ABCD的中心，所以为BD和AC的中点，则，

因为平面平面，所以平面平面，

所以点是平面与平面的公共点；

显然是平面与平面的公共点；

因为交平面于点平面，

所以也是平面与平面的公共点，

所以三点都在平面与平面的交线上，即三点共线，故A正确；

因为平面平面ABCD，所以，

又平面，

所以平面，又平面，

所以，即异面直线BD与所成的角为，故B不正确；

根据证明的方法，同理可得，

因为平面，

所以平面，则的长度就是点到平面的距离，

显然为正三角形的中心，因为正方体的棱长为1，

所以正三角形的边长为，所以，

又，所以,

即点到平面的距离为，故C正确；

取的中点，连，因为，

所以等腰梯形就是过点的平面截该正方体所得截面，如图：

因为，，

所以等腰梯形的高为，

所以等腰梯形的面积为，

即过点的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知事件A和B相互独立，且，则          ．

【答案】

【分析】由相互独立事件的概率乘法公式计算即可.

【详解】事件A和B相互独立，且，

则.

故答案为：

14．已知在上单调递减，则的取值范围是          ．

【答案】

【分析】利用函数的单调性的性质，求得的范围，即得所求．

【详解】若函数在上是单调减函数，

则，解得，

即，

故答案为：．

15．若，，其中，，则的值为      ．

【答案】

【分析】根据，进而利用两角和与差的余弦求得，然后求出.

【详解】因为，所以.

因为，所以.

由已知可得，，

则

.

因为，所以.

故答案为：

【点睛】方法点睛：三角函数化简求值，常用拼凑角：

（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有： 与，与等；

（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等.

16．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是       ．

【答案】

【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得的范围．

【详解】∵，，且，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

∴的最小值为8，

由解得，

∴ 实数的取值范围是

故答案为：．

【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式．

四、解答题

17．已知向量，，，且.

（1）求实数的值；

（2）求向量与的夹角.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）计算出平面向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值；

（2）利用平面向量夹角余弦的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得结果.

【详解】（1），，则，

又，且，，解得；

（2），，因此，.

【点睛】本题考查利用平面向量垂直的坐标表示求参数，同时也考查了平面向量夹角的计算，考查计算能力，属于基础题.

18．“无故障里程”是指汽车从出厂到首次出现故障时共行驶的里程，某市场研究机构从某品牌出现过故障的汽车中随机抽取了100辆，调查这些汽车的无故障里程（单位：百公里），将调查数据按照［85，95），［95，105），...，［135，145]分成6组，得到下面的频率分布直方图.

(1)将频率分布直方图补充完整；

(2)求该品牌汽车无故障里程的平均数的估计值；（每组数据以该组数据所在区间的中点值为代表）

(3)该品牌汽车的广告宣称：该品牌汽车无故障里程不低于100百公里的汽车至少占全部汽车的85%.请你根据样本数据判断：该广告内容是否属实？

【答案】(1)直方图见解析

(2)

(3)不属实

【分析】（1）由频率和为1列式求解第三组的小长方形的高，补充完整直方图；（2）由频率分布直方图平均数的计算公式计算；（3）先求解无故障里程低于100百公里的频率，从而可得无故障里程不低于100百公里的频率，即可判断.

【详解】（1）设第三组的小长方形的高为a，

则，得.

频率分布直方图补充完整如下：

（2）该品牌汽车无故障里程的平均数的估计值为

.

（3）样本中无故障里程低于100百公里的频率约为

，

所以无故障里程不低于100百公里的频率约为，

所以该广告内容不属实.

19．已知函数

（1）求函数的单调区间

（2）若函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后得到函数的图象，当，求函数的值域

【答案】（1）增区间：，，减区间：，；（2）

【解析】（1）首先根据题意得到，再求函数的单调区间即可.

（2）首先根据题意得到，根据得到，即可得到函数的值域.

【详解】（1）

.

，解得，.

，解得，.

所以函数的增区间：，，

减区间：，.

（2）.

因为，所以.

所以，即.

【点睛】本题第一问考查三角函数的单调区间，第二问考查三角函数的平移变换，同时考查了三角函数的值域问题，属于简单题.

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA=AB=2，PB=，∠ABC=60°，且平面PAC⊥平面ABCD.

(1)证明：PA⊥平面ABCD；

(2)若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M-BCD的体积.

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【分析】（1）由面面垂直的性质和线面垂直的性质证得PA⊥BD，根据平面几何知识证得PA⊥AB，由线面垂直的判定定理可得证；

（2）由V M-BCD=VP-BCD可求得答案.

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC.

∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC平面ABCD=AC，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAC.

∵PA平面PAC，所以PA⊥BD.

又∵PA=AB=2，PB=，∴PA2+AB2=PB2，得PA⊥AB.

又∵AB，BD平面ABCD，ABBD=B，PA⊥平面ABCD.

（2）解：由（1）得PA⊥平面ABCD，

∵AC平面ABCD，∴PA⊥AC，

∴，得ΔPBC为等腰三角形.

在△PBC中，由余弦定理得.

∵BM⊥PC，∴，则.得CM=PC，

又S△BCD=BC·CDsin120°=，

∴三棱锥M-BCD的体积V M-BCD=VP-BCD=S△BCD×PA=.

21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知：

(1)求角A的大小；

(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知利用正弦定理可得的值，结合范围，可得的值．

（2）由（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由题意可求范围，进而根据正弦函数的性质即可求解的取值范围．

【详解】（1）由正弦定理及，得，

所以，

因为，所以．

（2）由（1）知，则，，

因为，所以，即，

所以

，

为锐角三角形，，

因为，所以，

则，所以．

的取值范围为.

22．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.

(1)求的函数关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元

【分析】（1）利用，即可求解；

（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和时，的取值，进而得到答案.

【详解】（1）根据题意，，化简得，

（2）由（1）得

当时，

当时，

当且仅当时，即时等号成立.

因为，所以当时，.

故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.