2023-2024学年云南省大理市大理白族自治州民族中学高二上学期开学考试数学试题含答案

2023-2024学年云南省大理市大理白族自治州民族中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则集合

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：因为A∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.

【解析】集合的运算.

2．已知向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断出属于何种条件即可.

【详解】当时，，

所以，所以，充分性成立；

当时，，

解得或，必要性不成立.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.

【详解】，，

且函数的定义域是，定义域内是增函数，也是增函数，所以是增函数，且，

所以函数的零点所在的区间为.

故选：B

【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.

4．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在平面直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点在直线2x－y＝1上的概率为（    ）

A．   B．  C．  D．

【答案】A

【分析】由题意得出基本事件总数，满足此事件数，再运用古典概率公式可得选项．

【详解】先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率为．

故选：A．

【点睛】本题考查古典概型以及其概率公式，属于基础题．

5．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．，则

B．，则

C．，则

D．，则

【答案】C

【分析】根据的关系可判断A，根据直线与平面的关系可判断B，根据线面垂直的性质判断C，根据面面垂直的概念判断D.

【详解】对A，，则，相交，异面和平行都有可能，故A错误；

对B，，则可能，，故B错误；

对C，根据线面垂直的性质可知时，，故C正确；

对D，，则可能相交，也可能平行，故D错误.

故选：C

6．已知角的终边落在直线上，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.

【详解】设直线上任意一点P的坐标为（），

则（O为坐标原点），

根据正弦函数的定义得：，

时，； 时，，

所以选项D正确，选项A，B，C错误，

故选：D.

7．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为（    ）

A．4π B．8π C．9π D．36π

【答案】C

【分析】由正弦定理进行边化角化简可得2RsinC＝2，根据余弦值求出sinC，代入上式可求得外接圆半径从而求出外接圆面积.

【详解】由题意及正弦定理得2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径)，即2RsinC＝2，

又cosC＝及C∈(0，π)，知sinC＝，

∴2R＝＝6，解得R＝3，

所以△ABC外接圆面积S＝πR2＝9π.

故选：C

【点睛】本题考查正弦定理、已知余弦值求正弦值，属于基础题.

二、多选题

9．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是

A．的虚部为 B．

C．为纯虚数 D．的共轭复数为

【答案】ABC

【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.

【详解】因为，

对于A：的虚部为，正确；

对于B：模长，正确；

对于C：因为，故为纯虚数，正确；

对于D：的共轭复数为，错误.

故选：ABC.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.

10．从某地区年龄在岁的人员中，随机抽取100人，了解他们对今年两会热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．抽取的100人中，年龄在40~45岁的人数大约为20

B．抽取的100人中，年龄在35~45岁的人数大约为40

C．抽取的100人中，年龄在40~50岁的人数大约为50

D．抽取的100人中，年龄在35~50岁的人数大约为60

【答案】AD

【分析】根据频率分布直方图，求得，再逐项求解选项，即可得到答案．

【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得，

所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；

年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；

年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；

年龄在35～50岁的人数大约为，所以D正确；

故选：AD．

11．某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾，某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】分别求得，，从而确定正确答案.

【详解】按照发车的序号，列举基本事件如下：

，共种，

方案一坐到“号”车，包含的基本事件有：，共种，

所以方案一坐到“号”车的概率.

方案二坐到“号”车，包含的基本事件有：，共种，

所以方案二坐到“号”车的概率.

所以、、，ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

12．在三棱锥中，已知底面分别是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，一定为直角三角形

B．当时，一定为直角三角形

C．当平面时，一定为直角三角形

D．当平面时，一定为直角三角形

【答案】ACD

【分析】根据线线垂直、线面垂直、线面平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由于底面，底面，所以，

由于平面，所以平面，

由于平面，所以.

A选项，当时，由于平面，

所以平面，由于平面，

所以，所以是直角三角形，A选项正确.

B选项，当时，若，

则由于平面，所以平面，

由于平面，所以，

则由于平面，

所以平面，由于平面，所以，

这与矛盾，所以与不垂直，

当与点重合时，如下图所示，

由于，所以与平面不垂直，则与不垂直，

同时，与不垂直，则与平面不垂直，则与不垂直.

所以不一定是直角三角形，B选项错误.

C选项，当平面时，由于平面，

平面平面，所以，

所以平面，由于平面，

所以，所以是直角三角形，C选项正确.

D选项，当平面时，由于平面，

所以，由于平面，

所以平面，由于平面，所以，

所以是直角三角形，D选项正确.

故选：ACD

【点睛】要证明线线垂直，可通过线面垂直来证明；要证明线面垂直，可通过线线垂直来证明.如果题目已知直线和平面平行，那么根据线面平行的性质定理，可得到直线与平面的某些直线平行.

三、填空题

13．已知，且，则      ．

【答案】

【分析】由函数的解析式，令，求得，进而可求得的值，得到答案．

【详解】由题意，函数，令，解得，则．

故答案为．

【点睛】本题考查了函数解析式的应用，其中解答中利用函数的解析式，合理赋值是解答的关键，着重考查了赋值思想，以及推理与运算能力，属于基础题．

14．在中，若，则的值为          .

【答案】/

【分析】根据同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和的余弦公式求得正确答案.

【详解】由于，所以为钝角，则为锐角，

所以，

所以

.

故答案为：

15．若非零向量满足，则夹角的余弦值为       .

【答案】

【详解】试题分析：由，得，即，所以＝．

【解析】1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角．

【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式进行转化，即实现平面向量的运算与代数运算的转化，而求向量的夹角时，如果已知条件中没有明确关于的数量积与模的大小，通常要利用已知条件找到三者之间的关系．

四、双空题

16．已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为        ，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为        ．

【答案】     3    

【分析】（1）求出三棱锥的侧面积和底面积即得解；

（2）由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，解方程S3·r＝S2·1，即得解.

【详解】该三棱锥侧面的斜高为＝，

则侧面积S1＝3××2×＝2，底面积S2＝××2＝，

所以三棱锥的表面积S3＝2＋＝3.

由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．

设三棱锥的内切球的半径为r，

则三棱锥的体积V＝S3·r＝S2·1，所以3r＝，所以r＝，

所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝πr3＝.

故答案为： 3；.

【点睛】方法点睛：求锥体的内切球的半径，一般利用公式求解.

五、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为，已知.

（I）求B；

（II）若的周长为的面积.

【答案】（Ⅰ）  (Ⅱ)

【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出B的值；

（Ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．

【详解】（Ⅰ）,

，

,

，

.

,

.

(Ⅱ)由余弦定理得，

，

，

，

.

【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用．

18．某校某班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生有14人.

(1)求总人数N和分数在120～125的人数n；

(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？

【答案】（1）；（2）众数，中位数.

【分析】（1）先求出分数在110﹣120内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在120﹣125内的学生的频率，由此能求出分数在120﹣125内的人数．

（2）利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数．

【详解】解：（1）分数在110~120内的学生的频率为

，

所以该班总人数.

分数在120~125内的学生的频率为

，

分数在120~125内的人数.

（2）由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，

即为.

设中位数为，∵，

∴.

∴众数和中位数分别是107.5，110.

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图知识，众数及中位数．注意频率分布直方图中各小矩形的面积才是对应范围内的频率，解题时要要认真审题，是中档题．

19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1平面BCHG.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证；

（2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证.

【详解】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点

∴GH是的中位线，∴GHB1C1，

又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，

∴B，C，H，G四点共面．

（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，

∴EFBC，

∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF平面BCHG，

∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，

∴A1GEB，，

∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，

∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E平面BCHG，

∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，

∴平面EFA1平面BCHG.

20．甲、乙二人用4张扑克牌分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．

写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；

甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则乙胜，你认为此约定是否公平？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用列举法列举出所有可能的情况.（2）根据（1）计算出甲胜的概率和乙胜的概率，两个概率不相等，故游戏不公平.

【详解】解：解：方片4用表示，则甲、乙抽到牌的所有情况为：

，，，，，，

，，，，，，

共12种不同的情况．

甲抽到的牌的数字比乙大，有，，，

，共5种情况，

甲胜的概率为，乙胜的概率为，

，此游戏不公平．

【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查列举法，考查游戏的公平性，属于基础题.

21．如图，在四棱锥中，平面，，.

(1)求证：平面.

(2)求证：平面平面.

(3)设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)为中点.证明见解析

【分析】（1）证明，，得到平面.

（2）根据得到平面，得到证明.

（3）为中点时，平面，，平面，且平面，得到答案.

【详解】（1）平面，平面，故，，，

故平面.

（2），平面，故平面，平面，故平面平面.

（3）当为中点时，平面.

证明如下：为中点，为的中点，故，

平面，且平面，故平面.

22．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上.已知，且，设，绿地的面积为.

(1)写出关于的函数解析式，并求出它的定义域；

(2)当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值.

【答案】(1)，定义域为

(2)答案见解析

【分析】（1）由计算即可，再结合可求得其定义域.

（2）分别研究与时二次函数在上的单调性进而求得其最大值.

【详解】（1）由题意，得，，

所以，

又因为，

所以，

故，定义域为.

（2）

①当且，即时，

在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，，

②当，即时，在上单调递增，

所以当时，.

综上所述，①当时，，绿地面积最大，最大值为；

②当时，，绿地面积最大，最大值为.