2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二上学期开学数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二上学期开学数学试题

一、单选题

1．设为虚数单位，复数z满足，则复数（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数运算法则直接求解即可.

【详解】，.

故选：C.

2．某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：

则次品数的众数、平均数依次为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】读懂题意，根据众数和平均数的定义求解.

【详解】将频率看作概率，本题所给的表格的意义是：假如这种生产1000个产品这件事发生100次，

则没有次品的次数是，有1个次品的次数是，有2个次品的次数是，

有3个次品的次数是，有4个次品的次数是，

所以出现最多的是次品数，在100次生产中出现次品的平均数；

故选：A.

3．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg），将所得数据整理后画出了频率分布直方图如图所示，体重在内适合跑步训练，体重在内适合跳远训练，体重在内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（    ）

A．4：3：1 B．5：3：1

C．5：3：2 D．3：2：1

【答案】B

【解析】根据频率分布直方图分别计算出概率，从而得到比例即可得解.

【详解】解：体重在内的频率为，体重在内的频率为，体重在内的频率为，

，可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远投掷三项训练的人数之比为5：3：1，

故选：

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

4．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】A

【解析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.

【详解】选项：由线面垂直的性质定理可知正确；

选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；

选项：若，则平行关系不成立，错误；

选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.

故选：

【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.

5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是

A．57.2，3.6 B．57.2，56.4

C．62.8，63.6 D．62.8，3.6

【答案】D

【详解】平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变．

6．在中，角的对边分别为，已知，，，那么角等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦定理可求得，根据大边对大角的特点求得.

【详解】由正弦定理得：

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的问题，涉及大边对大角的特点，属于基础题.

7．已知为的一个内角，向量.若，则角

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】 带入计算即可．

【详解】

即 ,选C.

【点睛】本题考查向量向量垂直的坐标运算，属于基础题．

8．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．

【详解】解：因为三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，

所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，

因为，，，，

所以球的半径为：．

故选：C．

二、多选题

9．已知i为虚数单位，复数，则下列结论正确的是（　　）

A．z的共轭复数为

B．z的虚部为

C．

D．z在复平面内对应的点在第一象限

【答案】CD

【分析】根据复数的运算法则化简，然后逐个判断各选项即可；

【详解】解析：因为，

所以z的共轭复数为 z的虚部为，

，

z在复平面内对应的点为，在第一象限．

故选C、D.

10．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（    ）

A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件

B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件

C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件

D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件

【答案】BD

【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案

【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误

对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确

对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误

对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确

故选：BD

【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题

11．在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（    ）

A．，，则的外接圆半径是4

B．若，则

C．若，则一定是钝角三角形

D．若，则

【答案】BC

【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.

【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；

由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；

因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；

若，显然，故D错误.

故选：BC

12．如图垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】AD

【分析】根据线面垂直、面面垂直的判定与性质判断各选项．

【详解】是圆直径，在圆上，则，

平面，平面，则，

，∴平面，又平面，

∴，A正确；

又平面，∴平面平面．D正确；

若平面，则，而平面，则，重合，矛盾，B错；

若平面平面，作于，∵平面平面，∴平面，而平面，∴，，∴平面，于是平面与平面重合．矛盾，C错．

故选：AD．

【点睛】易错点睛：本题考查空间线面、面面垂直的判定定理和性质定理．由于是多选题，仅仅判断AD正确还不够，必须说明（证明）BC为什么是错误的．否则会出错．

三、填空题

13．设向量，，若，则        ．

【答案】

【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量，，可得，

因为，可得，所以.

故答案为：.

14．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是        ．

【答案】

【分析】计算出甲乙，甲丙，乙丙合格的概率，相加后得到答案.

【详解】甲乙合格的概率为，

甲丙合格的概率为，

乙丙合格的概率为，

故三人中恰有两人合格的概率为.

故答案为：

15．如图，在长方体中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角等于       

【答案】/

【分析】取中点，根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可得结果.

【详解】取中点，连接，

，，四边形为平行四边形，，

异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角），

，，，

为等边三角形，，

即异面直线与所成角为.

故答案为：.

16．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）：

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，则a的值为      ．

【答案】30

【分析】根据三个小组的人数之比，结合抽取30人中武术组被抽出12人列式计算，可得答案.

【详解】由题意可知三个小组的人数比为，

从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，

故 ，解得，

故答案为：30

四、解答题

17．已知，与的夹角为．

(1)若，求；

(2)若与垂直，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，可得与的夹角或，再由平面向量数量积的定义求解即可.

（2）由与垂直可得，再由平面向量数量积的定义求解即可.

【详解】（1）因为，所以或，

所以．

（2）因为与垂直，所以，

即，所以．

又，所以．

18．在一个盒子中装有4支圆珠笔，其中2支一等品（记为，），2支二等品（记为，）．现从这个盒子中不放回地依次随机抽出2支圆珠笔．

(1)用集合的形式写出试验的样本空间；

(2)求抽出的2支圆珠笔都是一等品的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将所有的基本事件一一列举出来构成集合即可；

（2）由古典概型的概率计算公式计算即可.

【详解】（1）试验的样本空间为.

（2）由（1）可知基本事件的总数为6，抽取的两支圆珠笔都是一等品有1种情况，

所以抽出的2支圆珠笔都是一等品的概率为：.

19．的内角的对边分别为，已知，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理求出，再根据同角公式求出；

（2）由余弦定理可求出结果.

【详解】（1）因为，，，

由正弦定理，可得，所以．

因为，所以，则为锐角，．

（2）由余弦定理，得，

得，（舍），

所以．

20．如图；为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,．若是底面的内接正三角形,为上一点,．

(1)求该圆锥的表面积；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意结合圆锥的表面积公式运算求解；

（2）根据题意可证平面，利用转换顶点法求体积.

【详解】（1）由题意可知：该圆锥的底面半径，母线长，

所以表面积.

（2）连接

由题意可得：，

因为平面，平面，可知，

由题意可知：，，平面，

所以平面，

在中，因为，所以，

可得三棱锥的高为，

所以.

21．如图，在直三棱柱中，，E，F分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】(1)由题意可得，证得，推出平面，即可得到面面垂直；

(2)结合图形，利用三角形中位线的性质可证得，进而证得线面平行.

【详解】证明：（1）在直三棱柱中，

∵平面，平面，∴.

又∵，∴.又，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）取的中点G，连接､，如图所示.

∵G､F分别是､的中点，∴，且.

又∵E为的中点，∴，且.

∴，且，

∴四边形是平行四边形，∴.

又∵平面，平面，∴平面.

22．为了响应市教育局号召， 同时也为提升全市高三学生暑期复习备考的有效性， 教育部门组织名师、 骨干团队开设暑期网络专题课程， 为高三学子保驾护航， 得到了学生和家长的一致认可.某校为检验高三学生暑期网络学习的效果， 对全校高三学生进行期初数学测试， 并从中随机抽取了100名学生的成绩， 以此为样本， 分成 ，，，， 五组， 得到如图所示频率分布直方图.

(1)求图中的值；

(2)估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和分位数；

(3)为进一步了解学困生的学习情况， 从数学成绩低于70分的学生中， 分层抽样6人， 再从6人中任取2人， 求2人中至少有1人分数低于60分的概率.

【答案】(1)0.001；

(2)平均数为75.5,75%分位数为84；

(3).

【分析】（1）根据小矩形面积之和为1即可求得答案；

（2）每个小矩形的面积乘以该小矩形底边中点之和即可求得平均数，然后根据百分位数的定义求得75%分位数；

（3）先求出前两组分别抽取的人数，再结合对立事件求概率的方法即可求得答案.

【详解】（1）由题意，.

（2）第一组到底五组的频率分布为：0.1，0.2，0.35，0.25，0.1，所以数学成绩的平均数为.

前三组频率之和为0.65，前四组频率之和为0.9，设75%分位数为80+x，则，则75%分位数为84.

（3）由（2）可知，前两组频率分别为0.1，0.2，比例为1:2，则第一组2人，第二组抽取4人，则所求概率.