福建省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份福建省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共27页。试卷主要包含了两点，判断+是否存在最大值，阅读下列材料，回答问题等内容，欢迎下载使用。

福建省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

2．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若C（4，3），D（m，﹣），且m＜2，求证：C，D，E三点共线；
（3）小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
3．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
4．（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．

三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022•福建）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．
（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数．


四．正方形的性质（共1小题）
6．（2021•福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．

五．相似形综合题（共2小题）
7．（2023•福建）阅读下列材料，回答问题．
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下：
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝am，BC＝bm；
（ⅱ）分别在AC，BC上测得CM＝m，CN＝m；测得MN＝cm．
求解过程：
由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，
∴＝＝，又∵①　 　，
∴△CMN∽△CAB，∴．
又∵MN＝c，∴AB＝②　 　（m）．
故小水池的最大宽度为***m．

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得AB用到的几何知识是 　 　；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
8．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
​
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
六．条形统计图（共1小题）
9．（2022•福建）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中A组为0≤t＜1，B组为1≤t＜2，C组为2≤t＜3，D组为3≤t＜4，E组为4≤t＜5，F组为t≥5．

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；
（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
七．列表法与树状图法（共1小题）
10．（2023•福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．

福建省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．
（2）P（2，）或（3，4）．
（3）．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴，
解得．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB＝×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，

∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，
∴PN＝．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），
∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，）或（3，4）．
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵＝＝，＝＝，
∴+＝．
设直线AB交y轴于点F．则F（0，），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，

∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣，
∴+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．
∵1＜n＜4，
∴当n＝时，+的最大值为．
2．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若C（4，3），D（m，﹣），且m＜2，求证：C，D，E三点共线；
（3）小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；
（2）证明见解析部分；
（3）△ABP的面积为定值，其面积为2．
【解答】（1）解：因为抛物线 y＝ax2+bx+3 经过点A（1，0），B（3，0），
所以 ，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）证明：设直线CE对应的函数表达式为 y＝kx+n（k≠0），
因为E为AB中点，所以E（2，0）．
又因为C（4，3），
所以，解得 ，
所以直线CE对应的函数表达式为 ．
因为点 在抛物线上，所以 ．
解得， 或 ．
又因为m＜2，所以 ，
所以 ．
因为 ，即 满足直线CE对应的函数表达式，
所以点D在直线CE上，即C，D，E三点共线；

（3）△ABP的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当C，D分别运动到点 C'D'的位置时，C，D'与D，C'分别关于直线EM对称，此时仍有 C'D'，E三点共线．
设 AD'与 BC'的交点为P′，则P，P′关于直线EM对称，即 PP'∥x 轴．
此时，PP'与AM不平行，且AM不平分线段 PP'，
故P，P'到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP 与△AMP'的面积不相等，
所以△AMP 的面积不为定值．

如图2，当 C，D 分别运动到点 C1D1 的位置，且保持 C1D1，E三点共线．此时AD1 与 BC1 的交点 P1 到直线EM的距离小于P到直线EM的距离，
所以△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP 的面积不为定值．
又因为△AMP，△MEP，△ABP 中存在面积为定值的三角形，故△ABP 的面积为定值．
在（2）的条件下，∵B（3，0），C（4，3），D（，﹣），
∴直线BC对应的函数表达式为 y＝3x﹣9；直线AD对应的函数表达式为 ，
由，解得，
∴，此时△ABP 的面积为2．
3．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝1，
∴y＝ax2+bx+1，
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△＝b2﹣4a＝0，即，
∴，
当b＝﹣2时，a+b有最小值为﹣1；
（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的顶点在x轴上，
∴抛物线上的点为P1，P3，
又∵P1，P3关于y轴对称，
∴顶点为原点（0，0），
设解析式为y＝ax2，
代入点P1得：，
②证明：
联立直线l和抛物线得：
，
即：x2﹣4kx﹣4＝0，
设M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），
由韦达定理得：x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，﹣1），
则T的坐标为（2k，2k2+1），
∴AT2＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2，
由题意得：，
∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边，
∴，即：，
∴×16（k4+2k2+1）＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2，
解得m＝2k，
∴A（2k，﹣1），
∴B（2k，k2），
∴C（2k，2k2+1），
∵，
∴B是AC的中点，
∴AB＝BC，
又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，
∴△MAB与△MBC的高相等，
∴△MAB与△MBC的面积相等．
二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
4．（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．

【答案】见解析．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，
∵△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠EDF＝90°，DE＝FD，
∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DFC；
（2）

连接AE，
∵线段EF是由线段AB平移得到的，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE＝BF，
∴∠DAE＝∠BCA＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE＝BF，
∴CD＝BF．
三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022•福建）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．
（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数．


【答案】（1）证明见解答过程；
（2）∠ACE+∠EFC＝180°，理由见解答过程；
（3）30°．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴∠DCB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∵AB＝AC，
∴平行四边形ABDC为菱形；
（2）解：∠ACE+∠EFC＝180°，
理由如下：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ABC＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵∠ACB+∠ACF＝∠DEC+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝∠ACF，
∵∠CEF+∠ECF+∠EFC＝180°，
∴∠ACF+∠ECF+∠EFC＝180°，
∴∠ACE+∠EFC＝180°；
（3）解：如图3，在AD上取点M，使AM＝BC，连接BM，
在△AMB和△CBD中，
，
∴△AMB≌△CBD（SAS），
∴BM＝BD，∠ABM＝∠CDB，
∴∠BMD＝∠BDM，
∵∠BMD＝∠BAD+∠MBA，
∴∠ADB＝∠BCD+∠BDC，
设∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，则∠ADB＝α+β，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝α+2β，
∴∠BAC＝∠CAD﹣∠BAD＝2β，
∴∠ACB＝×（180°﹣2β）＝90°﹣β，
∴∠ACD＝90°﹣β+α，
∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，
∴90°﹣β+α+α+2β+α+2β＝180°，
∴α+β＝30°，即∠ADB＝30°．

四．正方形的性质（共1小题）
6．（2021•福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．

【答案】（1）证明见解析过程；
（2）45°；
（3）证明见解析过程．
【解答】证明：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF，

∵点A关于DE的对称点为A′，
∴AO＝A'O，AA'⊥DE，
∵E，F为边AB上的两个三等分点，
∴AE＝EF＝BF，
∴OE是△AA'F的中位线，
∴DE∥A'F；
（2）∵AA'⊥DE，
∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，
∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO，
∴∠ADE＝∠EAO，
在△ADE和△BAG中，
，
∴△ADE≌△BAG（ASA），
∴AE＝BG，
∴BF＝BG，
∴∠GFB＝∠FGB＝45°，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴点F，点B，点G，点A'四点共圆，
∴∠GA'B＝∠GFB＝45°；
（3）设AE＝EF＝BF＝BG＝a，
∴AD＝BC＝3a，FG＝a，
∴CG＝2a，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝a＝AG，
∵sin∠EAO＝sin∠ADE，
∴，
∴，
∴OE＝a，
∴AO＝＝＝a＝A'O，
∴A'G＝a，
∵AO＝A'O，AE＝EF，
∴A'F＝a＝a，
∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，
∴∠A'FB+∠A'GB＝180°，
∵∠A'GC+∠A'GB＝180°，
∴∠A'FB＝∠A'GC，
又∵＝＝，
∴△A'FB∽△A'GC，
∴，
∴A′C＝2A′B．
五．相似形综合题（共2小题）
7．（2023•福建）阅读下列材料，回答问题．
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下：
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝am，BC＝bm；
（ⅱ）分别在AC，BC上测得CM＝m，CN＝m；测得MN＝cm．
求解过程：
由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，
∴＝＝，又∵①　∠C＝∠C　，
∴△CMN∽△CAB，∴．
又∵MN＝c，∴AB＝②　3c　（m）．
故小水池的最大宽度为***m．

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得AB用到的几何知识是 　相似三角形的判定和性质　；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】（1）∠C＝∠C； ②3c；
（2）相似三角形的判定与性质；
（3）见解析部分．
【解答】解：（1）①由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，
∴＝＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△CMN∽△CAB，
∴．
又∵MN＝c，
∴AB＝3c（m）．
故答案为：∠C＝∠C； ②3c；

（2）求得AB用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质．
故答案为：相似三角形的判定与性质；

（3）测量过程：（i）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β；
（ii）用皮尺测得 BC＝am．

求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a．
过点C作 CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△CBD中，，
即 ，所以BD＝acosα．
同理，CD＝asinα．
在Rt△ACD中，，
即 ，所以 ，
所以 ．
故小水池的最大宽度为 ．
8．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
​
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）∠ABF＝135°；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）证明：如图：

∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，
∴∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ABC＝45°，
∴∠BAO＝∠DFC，
∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°
∴∠EDA＝∠M，
∴△ADE∽△FMC；
（2）解：设BC与DF的交点为I，如图：

∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，
∴△BID∽△FIC，
∴，即，
∵∠BIF＝∠DIC，
∴△BIF∽△DIC，
∴∠IBF＝∠IDC，
∵∠IDC＝90°，
∴∠IBF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图：

∵∠FBI＝∠BOA＝90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN＝∠AON．
∵N是AF的中点，
∴AN＝NF，
∵∠TNF＝∠ONA，
∴△TNF≌△ONA（AAS），
∴NT＝NO，FT＝AO，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO＝CO，
∴FT＝CO，
由（2）知，△BIF∽△DIC，
∴∠DFT＝∠DCO．
∵DF＝DC，
∴△DFT≌△DCO（SAS），
∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，
∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF，
∵∠CDF＝90°，
∴∠ODT＝∠CDF＝90°，
∴．
六．条形统计图（共1小题）
9．（2022•福建）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中A组为0≤t＜1，B组为1≤t＜2，C组为2≤t＜3，D组为3≤t＜4，E组为4≤t＜5，F组为t≥5．

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；
（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
【答案】（1）第1次中位数在C组，第2次中位数在D组；
（2）1400．
【解答】解：（1）把第1次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列，处在中间位置的两个数，
即处在第25、第26位的两个数都落在C组，
因此第1次调查学生课外劳动时间中位数在C组；
把第2次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列各个分组，计算所占百分比的和，
和为50%和52%的都在D组，
因此第2次调查学生课外劳动时间的中位数在D组；
（2）2000×（30%+24%+16%）＝1400（人），
答：该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数大约是1400人．
七．列表法与树状图法（共1小题）
10．（2023•福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．
【答案】（1）顾客首次摸球中奖的概率为 ；
（2）他应往袋中加入黄球．
【解答】解：（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
∴，
∴顾客首次摸球中奖的概率为 ；
（2）他应往袋中加入黄球；理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：

红
黄①
黄②
黄③
新
红

红，黄①
红，黄②
红，黄③
红，新
黄①
黄①，红

黄①，黄②
黄①，黄③
黄①，新
黄②
黄②，红
黄②，黄①

黄②，黄③
黄②，新
黄③
黄③，红
黄③，黄①
黄③，黄②

黄③，新
新
新，红
新，黄①
新，黄②
新，黄③

共有20种等可能结果，
（i）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ；
（i）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ；
∵，
∴P1＜P2，
∴他应往袋中加入黄球．