黑龙江省齐齐哈尔市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共43页。试卷主要包含了综合与探究，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省齐齐哈尔市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2021•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的骑行速度为 　 　米/分，点M的坐标为 　 　；
（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前，　 　分钟时两人距C地的距离相等．

2．（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 　 　米，乙的步行速度是 　 　米/分；
（2）图中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

二．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•齐齐哈尔）综合与探究：
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当 MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　 　，MA′+MC′的最小值为 　 　．
​
4．（2022•齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　 　；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．


5．（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　 　；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

三．四边形综合题（共2小题）
6．（2022•齐齐哈尔）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝　 　；
（3）当AB＝m，BC＝n时，＝　 　．

剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 　 　．



7．（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝　 　°，写出图中两个等腰三角形：　 　（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 　 　；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝　 　；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．

四．圆周角定理（共1小题）
8．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　 　，∠BDC＝　 　°；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：　 　；
（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP＝　 　．

五．切线的判定与性质（共2小题）
9．（2023•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
​

10．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．

六．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2022•齐齐哈尔）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　 　，n＝　 　，p＝　 　；
（2）将条形图补充完整；
（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为 　 　°；
（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
组别
锻炼时间（分钟）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤30
50
25%
B
30＜x≤60
m
40%
C
60＜x≤90
40
p
D
x＞90
n
15%

七．条形统计图（共1小题）
12．（2023•齐齐哈尔）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“0＜t≤45”；B组“45＜t≤60“；C组“60＜t≤75“；D组“75＜t≤90“；E组“t＞90“．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
​
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　 　，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是 　 　°，本次调查数据的中位数落在 　 　组内；
（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？

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参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2021•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的骑行速度为 　240　米/分，点M的坐标为 　（6，1200）　；
（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前，　4或6或8　分钟时两人距C地的距离相等．

【答案】（1）240，（6，1200）；（2）y＝﹣240x+2640；（3）4或6或8．
【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：（米/分），
240×（11﹣1）÷2＝1200（米），
因为甲往返总时间为11分，中间休息一分钟，所以M的横坐标为6，
则点M的坐标为（6，1200），
故答案为：240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵y＝kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为：y＝﹣240x+2640；
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20＝60（米/分），

如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，
∴BC＝1200﹣1020＝180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，
x＝，此种情况不符合题意；
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x＝60x﹣180，
x＝4，
此种情况符合题意；
③当＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240（x﹣1）﹣1020＝60x﹣180，
x＝6，
此种情况不符合题意；
④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），
即x＝6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]＝60x﹣180，x＝6，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180＝60x﹣180，
x＝8，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
故答案为：4或6或8．
2．（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 　1200　米，乙的步行速度是 　60　米/分；
（2）图中a＝　900　，b＝　800　，c＝　15　；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

【答案】（1）1200，60；
（2）900，800，15；
（3）线段MN的解析式为y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；
（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．
【解答】解：（1）由图象知：当x＝0时，y＝1200，
∴A、B两地之间的距离是1200米；
由图象知：乙经过20分钟到达A，
∴乙的速度为＝60（米/分）．
故答案为：1200；60；
（2）由图象知：当x＝时，y＝0，
∴甲乙二人的速度和为：1200÷＝140（米/分），
设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140﹣x）米/分，
∴140﹣x＝＝60，
∴x＝80．
∴甲的速度为80（米/分），
∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地，
∴c＝1200÷80＝15（分钟），
∴a＝60×15＝900（米）．
∵点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地，
∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；
故答案为：900；800；15；
（3）由题意得：M（15，900），N（20，800），
设线段MN的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴线段MN的解析式为y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；
（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．理由：
①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米），
∴1120÷140＝8（分钟）；
②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米），
∴1280÷140＝（分钟）．
综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．
二．二次函数综合题（共3小题）
3．（2023•齐齐哈尔）综合与探究：
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当 MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　（﹣，）　，MA′+MC′的最小值为 　2　．
​
【答案】（1）M（0，﹣2），y＝﹣x2+x+2；
（2）P（2，5）；
（3），；
（4）（﹣，），2．
【解答】（1）解：∵点M在y轴负半轴且OM＝2，
∴M（0，﹣2），
将A（0，2），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E，

设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），
将A（0，2），C（4，0）代入y＝kx+m，得
，
解得 ，
∴直线AC的解析式为；
设点P的横坐标为p（0＜p＜4），
则 ，，
∴，
∵S△ACM＝8，S△PAC＝PE×OC＝﹣2p2+8p＝8，
解得p1＝p2＝2，
∴P（2，5）；
（3）∵在△COM中，∠COM＝90°，以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，
∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，
又∵QD⊥x轴，直线QD交直线CM于点N，
∴∠CNQ≠90°，即点N不与点O是对应点，
故分为∠CQN＝90°和∠QCN＝90°两种情况讨论：
①当∠CQN＝90°时，由于QN⊥x轴，
∴CQ⊥y轴，即CQ在x轴上，
又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，
作出图形如下：

此时∠CQN＝∠COM＝90°，
又∵∠QCN＝∠OCM，
∴△CQN∽△COM，即此时符合题意，
令y＝﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝3（舍去），
∴点Q的坐标，也即点B的坐标是Q1（﹣，0）；
②当∠QCN＝90°时，作图如下：

∵QD⊥x轴，∠COM＝90°，
∴QD∥OM，
∴∠CNQ＝∠OMC，
∵∠CNQ＝∠OMC，∠QCN＝∠COM＝90°，
∴△QCN∽△COM，即此时符合题意，
∵QCN∽△COM，
∴∠CQN＝∠OCM，即∠DQC＝∠OCM，
∵DQC＝∠OCM，∠QDC＝∠COM，
∴△QDC∽△COM，
∴＝2，QD＝2DC，
设点Q的横坐标为q，则Q（q，﹣q2+q+2），D（q，0），
∴QD＝﹣q2+q+2，CD＝4﹣q，
﹣q2+q+2＝2（4﹣q），
解得：q1＝，q2＝4（舍去），
∴点Q的坐标是Q2（，5），
综比所述：点Q的坐标是，；
（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点M'，作出图形如下：

由平移的性质可知，MA'＝M'A，MC'＝M'C，
∴MA'+MC'的值最小就是M'A+M'C最小值，
显然点M'在直线y＝﹣2上运动，
作出点C关于直线y＝﹣2对称的对称点C″，连接AC″交直线y＝﹣2于点M'，连接M'C，则此时M'A+M'C取得最小值，即为AC″的长度，

∵点C关于直线y＝﹣2对称的对称的点是点C″，C（4，0），
∴C″（4，﹣4），
∴（MA'+MC'）min＝（M'A+M'C）min＝AC″＝＝2，
设直线AC“的解析式是：y＝k1x+b1，
将点A（0，2），C″（4，﹣4）代入得：，
解得：，
∴直线AC″的解析式是：y＝﹣x+2，
令y＝﹣x+2＝﹣2，解得：x＝，
∴M'＝（，﹣2），
∴平移的距离是m＝，
又∵y＝﹣q2+q+2＝﹣（x﹣）2+，
∴平移前的抛物线的顶点坐标是（，），
∴新抛物线的顶点坐标为（，）即（﹣，），
故答案是：（﹣，），2．
4．（2022•齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　（1，2）　；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．


【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）（1，2）；
（3）；
（4）（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵AC+BC≥AB，
∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，y＝2，
∴C（1，2），
故答案为：（1，2）；
（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），

∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），
∴当a＝时，DE的最大值为；
（4）当CF为对角线时，如图，

此时四边形CMFN是正方形，
∴N（1，1），
当CF为边时，若点F在C的上方，

此时∠MFC＝45°，
∴MF∥x轴，
∵△MCF是等腰直角三角形，
∴MF＝CN＝2，
∴N（1，4），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，

同理可得N（﹣1，2），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，

同理可得N（，），
综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．
5．（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　2　；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

【答案】（1），x为全体实数；
（2）2；
（3）；
（4）（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得，
∴，自变量x为全体实数；
（2）由（1）得：C（0，），D（2，），
∴CD＝，
故答案为2；
（3）∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC的解析式为：，
设E（x，），且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，），
∴EF＝﹣（）＝，
∴，
当x＝时，S△BCE有最大值为；

（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：，
解得y＝4或y＝﹣，
∴n＝或n＝4，
∴Q（3，）或Q（3，4），
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：，
解得y＝，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：，
解得n＝，
∴Q（﹣3，﹣），
综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
三．四边形综合题（共2小题）
6．（2022•齐齐哈尔）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝　　；
（3）当AB＝m，BC＝n时，＝　　．

剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 　　．



【答案】（1）结论：GH＝CE，证明过程见解析
（2）．
（3）．
【解答】解：转一转：（1）结论：GH＝CE．
理由：如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CBE＝90°，
∵AB＝CB，BF＝AB，BE＝BC，
∴BF＝BE，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，
∵DG＝GA，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE；

（2）如图③中，连接AF．

∵BF＝AB，BE＝BC，
∴＝，
∴＝，
∵∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF∽△CBE，
∴＝＝，
∴AF＝CE，
∵AG＝DG，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE，
∴＝．
故答案为：．

（3）当AB＝m，BC＝n时，同法可证△ABF∽△CBE，
∴＝＝，
∴AF＝CE，
∵AG＝DG，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE，
∴＝．
故答案为：．

剪一剪、折一折：如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R．

∵PM平分∠APN，
∴∠MPT＝∠MPN，
由翻折的性质可知MP＝MC，∠C＝∠MPN，
∴∠MPT＝∠C，
∵∠MTP＝∠MRC＝90°，
∴△PTM≌△CRM（AAS），
∴MT＝MR，
∴BM平分∠ABC，
∴∠MBT＝∠MBR＝45°，
∴TB＝TM，BR＝RM，
设TM＝TB＝x，
∵•AB•BC＝•AB•MT+•BC•MR，
∴×2×3＝•x•（2+3），
∴x＝，
∴BR＝MR＝，CR＝BC﹣BR＝3﹣＝，
∴CM＝＝＝．
解法二：证明∠AMB＝∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AMP∽△ABC，
∴＝，
∵MC＝PM，
∴＝＝，
∴CM＝AC＝．
故答案为：．
7．（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝　45　°，写出图中两个等腰三角形：　△AEF，△CEF，△ABC，△ADC　（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 　PQ＝BP+DQ　；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝　　；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．

【答案】（1）45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．
（2）结论：PQ＝BP+DQ．证明见解析部分．
（3）．
（4）证明见解析部分．
【解答】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝（∠BAC+∠DAC）＝45°，
∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∵CB＝CD，
∴CE＝CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．

（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．
理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．

∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，
∴△ADQ≌△ABT（SAS），
∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PQ＝PT，
∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，
∴PQ＝BP+DQ．
故答案为：PQ＝BP+DQ．

（3）解：如图3中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝AB，
∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴＝＝，
故答案为：．

（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∵∠DAN＝∠BAR，
∴∠BAM+∠BAR＝45°，
∴∠MAR＝∠MAN＝45°，
∵AR＝AN，AM＝AM，
∴△AMR≌△AMN（SAS），
∴RM＝MN，
∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，
∴∠RBM＝90°，
∴RM2＝BR2+BM2，
∵DN＝BR，MN＝RM，
∴BM2+DN2＝MN2．
四．圆周角定理（共1小题）
8．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　BE＝CF　，∠BDC＝　30　°；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：　BF＝CF+2AM　；
（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP＝　或　．

【答案】或．
【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，
理由如下：如图1所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，
又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠AOE∠ABE+∠BAC，
∠AOE＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°；

（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，
理由如下：如图2所示：
证明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS）
∴BE＝CF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；

（3）BF＝CF+2AM，
理由如下：如图3所示：
∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，
即：∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴BE＝CF，
∵AM⊥BF，AE＝AF，EAF＝90°，
∴EF＝2AM，
∵BF＝BE+EF，
∴BF＝CF+2AM；

（4））如图4所示：
连接BD，以BD为直径作圆，
由题意，取满足条件的点P，P′，则PD＝P′D＝1．∠BPD＝∠BP′D＝90°，
∴BD＝2，
∴BP＝＝＝，
连接PA，作AF⊥PB于点F，在BP上截取BE＝PD，
∵∠PDA＝ABE，AD＝AB，
∴△ADP≌△ABE（SAS），
∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，
∴∠PAE＝90°，
由（3）可得：PB﹣PD＝2AF，
∴AF＝＝，
∴S△PAB＝PB•AF＝，
同理可得：S△P′AB＝，
故△ABP的面积为：或．

五．切线的判定与性质（共2小题）
9．（2023•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
​

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AB，
∴∠ODC＝∠B＝90°，
∴半径OD⊥BC于点D，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接 OF，DE，
∵∠B＝90°，tan∠ADB＝，
∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，
∵BD＝5，
∴AD＝2BD＝10，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAD＝30°，
在 Rt△ADE 中，AD＝10，
∵cos∠DAE＝＝，
∴AE＝，
∴OA＝AE＝，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF 是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∵OD∥AB，
∴S△ADF＝S△AOF，
∴S阴影＝S扇形OAF＝＝．

10．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：如图1，连接BD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠FCB，
在△DCB和△FCB中，
，
∴△DCB≌△FCB（SAS），
∴∠F＝∠CDB＝90°，
∵AB∥CF，
∴∠ABF+∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，
∵AB为直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，

∵AB是直径，
∴AE⊥BC，AD⊥BD，
∵∠BAC＝45°，AD＝4，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴OE是△ADB的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，
∴BM＝BD＝×4＝2，
∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE
＝﹣××2
＝．
六．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2022•齐齐哈尔）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　80　，n＝　30　，p＝　20%　；
（2）将条形图补充完整；
（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为 　72　°；
（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
组别
锻炼时间（分钟）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤30
50
25%
B
30＜x≤60
m
40%
C
60＜x≤90
40
p
D
x＞90
n
15%

【答案】（1）80；30；20%；
（2）见解答；
（3）72；
（4）700人．
【解答】解：（1）由题意可知，样本容量为50÷25%＝200，
故m＝200×40%＝80，n＝200×15%＝30，p＝，
故答案为：80；30；20%；
（2）将条形图补充完整如下：

（3）C组所对应的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）2000×（20%+15%）＝700（人），
答：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有700人．
七．条形统计图（共1小题）
12．（2023•齐齐哈尔）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“0＜t≤45”；B组“45＜t≤60“；C组“60＜t≤75“；D组“75＜t≤90“；E组“t＞90“．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
​
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　50　，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是 　36　°，本次调查数据的中位数落在 　C　组内；
（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？
【答案】（1）50；补全条形统计图见解答；
（2）36；C；
（3）1920人．
【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：13÷26%＝50；
B组的人数为：50﹣5﹣13﹣20﹣2＝10（人），
补全条形统计图如下：

故答案为：50；
（2）A组对应的圆心角的度数是：360°×＝36°；
本次调查数据的中位数落在C组，
故答案为：36；C；
（3）（人），
答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人．