湖北省鄂州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份湖北省鄂州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共35页。试卷主要包含了的关系如图所示，的函数关系如图所示，，准线方程为l，，他们称等内容，欢迎下载使用。

湖北省鄂州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．函数的图象（共1小题）
1．（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 　 　km，小明跑步的平均速度为 　 　km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．

二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？

三．一次函数综合题（共1小题）
3．（2023•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA＝2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．

（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足∠ABO＝30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB 时，求线段DQ的长；
（3）如图3，若动点B满足＝2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当＝时，请直接写出点B的坐标．
四．二次函数的应用（共1小题）
4．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2021•鄂州）如图，直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
7．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

六．三角形综合题（共1小题）
8．（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．


七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
9．（2023•鄂州）鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB＝；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．

（1）求自动扶梯AD的长度；
（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）
10．（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：
（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）

八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
11．（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）

九．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023•鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．

（1）九（1）班共有 　 　名学生；并补全图1折线统计图；
（2）请阅读图2，求出D所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．

湖北省鄂州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．函数的图象（共1小题）
1．（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 　2.5　km，小明跑步的平均速度为 　　km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．

【答案】（1）2.5，；
（2）y＝；
（3）12min或min．
【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为＝km/min；
故答案为：2.5，；
（2）如图，B（30，2.5），C（45，1.5），

设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4.5，
∴当15≤x≤45时，y关于x的函数表达式为：y＝；
（3）当y＝2时，﹣x+4.5＝2，
∴x＝，
2＝12，
∴当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或min．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2023•鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h．1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a＝　0.5　，b＝　30　；
（2）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？

【答案】（1）0.5，30；（2）y1＝10+x，y2＝20+0.5x；（3）10或30．
【解答】解：（1）∵1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．
当x＝20时，两球相遇，
y1＝10+x＝10+20＝30，
∴b＝30，
设2号探测气球解析式为y2＝20+ax，
∵y2＝20+ax过（20，30），
∴30＝20+20a，
解得a＝0.5，
∴y2＝20+0.5x，
故答案为：0.5，30；
（2）根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y1＝10+x，
2号探测气球所在位置的海拔：y2＝20+0.5x；
（3）分两种情况：
①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（20+0.5x）﹣（x+10）＝5，
解得x＝10；
②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题意得：
（x+10）﹣（0.5x+20）＝5，
解得x＝30．
综上所述，上升了10或30min后这两个气球相距5m．
三．一次函数综合题（共1小题）
3．（2023•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA＝2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．

（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足∠ABO＝30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB 时，求线段DQ的长；
（3）如图3，若动点B满足＝2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当＝时，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）（0，2）；
（2）﹣1；
（3）（4，0）或（，0）；
（4）（，2）．
【解答】解：（1）∵OA＝2，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为（0，2），
（2）∵∠ABO＝30°，直线∥y轴，OA＝2，
∴OB＝＝4，AB＝OB•cos∠ABO＝4•cos30°＝2，
∵点C为AB的中点，
∴BC＝，
又∵CP⊥AB，
∴QB＝＝2，
由折叠可知：∠PCD＝∠BCD，
∠PCD＝∠BCD＝45°，
如图2，过点D作DH⊥AB，

∴CH＝＝＝DH，BH＝＝DH，
∴BC＝BH+CH＝DH+DH，即DH+DH＝，
∴DH＝，
∴DB＝＝＝3﹣，
∴DQ＝BQ﹣BD＝2﹣（3﹣）＝﹣1，
（3）∵＝2，OA＝2，
∴AB＝4，
又∵EF为△OAB的中位线，
∴BE＝2，EF＝1，EF∥OA，
∴∠BEF＝90°，
I．如图，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转90°，到如图所示位置时

∵BE⊥l，直线l⊥y轴，
∴BE∥OA，
又∵BE＝OA＝2，
∴四边形OABE是矩形，
∴点E、F恰好落在x轴，OE＝AB＝4，
此时直线EB与x轴交点的坐标为（4，0），
II．如图3，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，如图所示位置时

延长EB交x轴于点K，
∵∠BEF＝∠OAB＝90°，BE＝OA＝2，OB＝OB，
∴Rt△OAB≌Rt△BOE（HL），
∴∠ABO＝∠BOE，OE＝AB＝4，
∴OR＝RB，AR＝AB﹣RB＝4﹣RB，
在Rt△OAR中，OA2+AR2＝OR2，即：22+（4﹣RB）2＝RB2．
解得：RB＝，
∴AR＝，
∴cos∠ARO＝，
∵直线l⊥y轴，
直线l∥x轴，
∴∠ARO＝∠EOK，
在Rt△OEK中，OK＝，
∴OK＝＝＝，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为（，0），
综上所述：将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线EB与轴交点的坐标为（4，0）或（，0）；
（4）∵直线l⊥y轴，AD⊥OB于点D，
∴∠AOC+∠ACO＝90°，∠EOD+∠OED＝90°，
又∵OC平分∠AOB交AB于点C，即：∠AOC＝∠DOE，
∴∠ACO＝∠OED．
又∵∠AEC＝∠OED，
∴∠AEC＝∠ACO．
∴AE＝AC，
∵AF为△AEC的一条中线．
∴AF⊥EC，即：∠AFC＝90°，
∵∠ACO＝∠OED＝∠ACO，∠OAC＝∠ODE＝∠AFC＝90°，
∴△OAC∽△ODE∽△AFC，
∴设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．
∴，，
∵，
∴，
∴2AF+OD＝OA＝，
∴2AF＝﹣OD，
延长AF交OB于H点，如图4，

∵∠ACO＝∠OED，AFO＝∠HFO＝90°，OF＝OF，
∴△AFO≌△HFO（ASA），
∴OH＝OA＝2，AF＝FH，
∴AH＝2AF＝﹣OD，DH＝OH﹣OD＝2﹣OD，
∵AD2＝OA2﹣OD2，AD2＝AH2﹣DH2，
∴22﹣OD2＝（﹣OD）2﹣（2﹣OD）2，
解得：OD1＝﹣（不合题意，舍去），OD2＝，
∴AD＝＝，
∴tan∠AOD＝＝，
∴AB＝OA•tan∠AOB＝，
所以点B坐标为（，2）．
四．二次函数的应用（共1小题）
4．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y＝4x+200；（2）种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），
依题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝4x+200；
（2）设老张明年种植该作物的总利润为W元，
依题意得：W＝[2160﹣（4x+200）+120]⋅x＝﹣4x2+2080x＝﹣4（x﹣260）2+270400，
∵﹣4＜0，
∴当x＜260时，W随x的增大而增大，
由题意知：x≤240，
∴当x＝240时，W最大，最大值为﹣4（240﹣260）2+270400＝268800（元），
答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
五．二次函数综合题（共3小题）
5．（2021•鄂州）如图，直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（0，6），B（4，0），P（2，3）；
（2）1；
（3）①2＜a＜4；
②．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴点A（0，6），点B（4，0），
∵点P是线段AB中点，
∴点P（2，3）；
（2）过点P作PF⊥OA于F，

∵将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，∠OQE＝90°，
∴∠OQP＝∠OQE＝45°，OQ＝QE，
∴QF＝PF，
∵点P（2，3），
∴QF＝PF＝2，OF＝3，
∴OQ＝5，
∵点A（0，6），
∴AO＝6，
∴AQ＝6﹣5＝1，
即AQ的长为1；
（3）①y＝a（x2﹣2ax+a2）+a+1＝a（x﹣a）2+a+1，

∴顶点C的坐标为（a，a+1），
∴点C是直线y＝x+1（x≠0）上一点，
∵∠OQE＝90°，OQ＝5，
∴当y＝5时，x＝4，
又∵点P（2，3）在直线y＝x+1上，
∴当点C在△PQE内部（不含边）时，a的取值范围是2＜a＜4；
②存在点C使|CQ﹣CE|最大，
理由如下：∵OQ＝QE＝5，∠OQE＝90°，
∴点E（5，5），
如图3，作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（4，6），连接QE'交直线y＝x+1于点C，此时|CQ﹣CE|最大，

设直线QC的解析式为y＝kx+5，
∴6＝4k+5，
∴k＝，
∴直线QC的解析式为y＝x+5，
联立方程组可得，
解得：，
∴点C坐标为．
6．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程：　（0，1）　，　y＝﹣1　；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
【答案】（1）（0，1），y＝﹣1；
（2）（，）；
（3）﹣1；
（4）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2中a＝，
∴＝1，﹣＝﹣1，
∴抛物线y＝x2的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1，
故答案为：（0，1），y＝﹣1；
（2）由（1）知抛物线y＝x2的焦点F的坐标为（0，1），
∵点P（x0，y0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴＝3y0，整理得：＝8+2y0﹣1，
又∵y0＝，
∴4＝8+2y0﹣1，
解得：y0＝或y0＝﹣（舍去），
∴x0＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如图：

若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最小；
∵直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y＝﹣2x+b，
将F（0，1）代入解得：b＝1，
∴直线PE的解析式为y＝﹣2x+1，
∵点E是直线PE和直线m的交点，
令﹣2x+1＝x﹣3，解得：x＝，
故点E的坐标为（，﹣），
∴d1+d2＝﹣1．
即d1+d2的最小值为﹣1．
（4）∵抛物线y＝x2﹣1中a＝，
∴＝1，﹣＝﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣1的焦点坐标为（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，
过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，如图：

若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D，P，G三点共线时，PO+PD＝PG+PD＝DG，即此刻PO+PD的值最小；如图：

∵点D的坐标为（1，），DG⊥准线l，
∴点P的横坐标为﹣1，代入y＝x2﹣1解得y＝﹣，
即P（﹣1，﹣），OP＝+＝，
则△OPD的面积为××1＝．
7．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　（0，）　，　y＝﹣　．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

【答案】（1）（0，），y＝﹣；
（2）（4，4）或（﹣4，4）；
（3）；
（4）△HME的面积是﹣1或3﹣．
【解答】解：（1）∵a＝2，
∴＝，
故答案为：（0，），y＝﹣；
（2）∵a＝，
∴﹣＝﹣2，
∴准线为：y＝﹣2，
∴点P的纵坐标为：4，
∴＝4，
∴x＝±4，
∴P（4，4）或（﹣4，4）；
（3）如图，


作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，
∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝，
∵BK∥FH∥AG，
∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，
∴，，
∴＝＝，，
∴a＝；
（4）设点M（m，m2），
∵＝，
∴＝2，
∴＝2，
∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴M（﹣2，1），
∵E为线段HF的黄金分割点，
∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
当EH＝﹣1时，S△HME＝＝＝﹣1，
当EH＝3﹣时，S△HME＝3﹣，
∴△HME的面积是﹣1或3﹣．
六．三角形综合题（共1小题）
8．（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．


【答案】（1）B（8，6）；
（2）P（，6）；
（3）P（，6）；
（4）OG的最小值为4，线段FP扫过的面积．
【解答】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝＝＝8，
∴B（8，6）；

（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．

∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
设PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝x，PB＝x，
∴x+x＝10，
∴x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB﹣PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；

（3）如图2中，设PA′交OB于点T．

∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；

（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．

∵∠AFK＝∠PFG＝60°，
∴∠AFP＝∠KFG，
∵FA＝FK，FP＝FG，
∴△AFP≌△KFG（SAS），
∴∠PAF＝∠GKF＝90°，
∴点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小，
∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，
∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°，
∴四边形JOQK是矩形，
∴OJ＝KQ，JK＝OQ，
∵KA＝KF，KJ⊥AF，
∴AJ＝JF＝1，KJ＝，
∴KQ＝OJ＝5，
∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴QR＝KQ＝，
∴OR＝+＝，
∴OW＝OR•sin60°＝4，
∴OG的最小值为4，
∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°，
∴△FOW是等边三角形，
∴FW＝4，即FG＝4，
∴线段FP扫过的面积＝＝．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
9．（2023•鄂州）鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB＝；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．

（1）求自动扶梯AD的长度；
（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）自动扶梯AD的长度为25米；
（2）大型条幅GE的长度为（110﹣10）米．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为H，

在Rt△ADH中，AH＝15米，tan∠DAB＝，
∴DH＝AH•tan∠DAB＝15×＝20（米），
∴AD＝＝＝25（米），
∴自动扶梯AD的长度为25米；
（2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，

由题意得：DC＝HM＝45米，DH＝CM＝20米，
∵DC∥AB，
∴∠DCG＝∠B＝45°，
在Rt△CMB中，BM＝＝20（米），
∵AF＝30米，AH＝15米，
∴BF＝AF+AH+HM+BM＝30+15+45+20＝110（米），
在Rt△AFE中，∠EAF＝30°，
∴EF＝AF•tan30°＝30×＝10（米），
在Rt△GFB中，GF＝BF•tan45°＝110（米），
∴GE＝GF﹣EF＝（110﹣10）米，
∴大型条幅GE的长度为（110﹣10）米．
10．（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：
（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）

【答案】此时飞机的高度AB为（60+90）米．
【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米，
∴＝，
∴GC＝3DG＝90（米），
在Rt△DGC中，DC＝＝＝30（米），
∴两位市民甲、乙之间的距离CD为30米；
（2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，

则DG＝BH＝30米，DH＝BG，
设BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC•tan45°＝x（米），
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝60+90，
经检验：x＝60+90是原方程的根，
∴AB＝（60+90）米，
∴此时飞机的高度AB为（60+90）米．

八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
11．（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）

【答案】（1）PA＝（4+4）（km）；
（2）PC＝4（km）．
【解答】解：（1）依题意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
过点B作BD⊥AP于D点，

∵∠DAB＝45°，，
∴AD＝BD＝4，
∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，
∴∠PBD＝60°，
∵BD＝4，
∴，
∴PA＝（4+4）（km）；
（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，
∴PB＝8，
过点P作PE⊥BC于E，
∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
∴∠PBE＝60°，
∵PB＝8，
∴BE＝4，，
∵BC＝12，
∴CE＝8，
∴PC＝＝4（km）．
九．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023•鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如图两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．

（1）九（1）班共有 　50　名学生；并补全图1折线统计图；
（2）请阅读图2，求出D所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）50，折线图见解答；
（2）108°；
（3）．
【解答】解：（1）九（1）班共有学生人数为：20÷40%＝50（名），
D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
补全折线统计图如下：

故答案为：50；
（2）D所对应扇形圆心角的大小为：360°×＝108°，
∴D所对应的扇形圆心角的度数为：108°；
（3）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，小林和小峰选择相同主题的结果有4种，
∴小林和小峰选择相同主题的概率为＝．