第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式（模拟测试-教师版）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第一章：集合与常用逻辑用语、复数、不等式

（模拟测试）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项:

1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，，则（    ）

A．M B．N C． D．

【答案】C

【分析】先求集合M，然后由并集运算可得.

【详解】因为，且，所以，

又，所以.

故选：C

2．已知命题或，则为（    ）

A．且 B．且

C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】命题或是全称量词命题，

所以且.

故选：B

3．已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.

【详解】设，

所以，解得，

所以，

又，

所以，故A，C，D错误.

故选：B.

4．已知，集合，集合，若，则（    ）

A． B． C．或1 D．

【答案】D

【分析】根据交运算结果，列出方程，求得对应参数值；再验证即可选择.

【详解】因为，故可得且，或且；

解得或；

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意，舍去；

综上所述，.

故选：D.

5．“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（    ）

A．0.1 B．0.2

C．0.3 D．0.4

【答案】A

【分析】根据描述，应用容斥原理画韦恩图，求出该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数，即可得结果.

【详解】如下图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是160＋60－180＝40，

阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数是40－20＝20，

由样本估计总体，得所求比值为.

故选：A

6．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

【详解】解：依题意，，

故，当且仅当时等号成立.

故选:A.

7．对于非空实数集，记.设非空实数集合，若时，则.现给出以下命题：

①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有；

②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有；

③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有；

④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数，使得对任意的，恒有，

其中正确的命题是（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】B

【分析】根据集合定义得为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.利用集合定义得到新集合，利用集合关系判断①，利用特殊集合判断②③，利用特例法结合集合定义判断④.

【详解】由已知，为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.

①因为，设集合M和P中最大值分别为m和p，则，故有，正确；

②设，则，故，错误；

③设，则，故，错误；

④令，则对任意的，，故恒有，正确.

故选：B

8．实数，，满足：，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.

【详解】∵，∴，

∴，∴，

∴，

∵，，令，则

易知与均不为且符号相同，∴，解得或.

（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）

又∵，，，，

∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，

∴，

又∵，

∴，（当时，），

∴解得，即，当且仅当时，等号成立.

∴综上所述，的取值范围是.

故选：D.

【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.

二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 2 分）

9．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据题意，转化为，恒成立，列出不等式，即可得到的范围.

【详解】由题意可得，，恒成立，

可得，即，解得或，

即实数a的取值范围是或.

故选：AB

10．对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（    ）

A．若A，且，则

B．若A，且，则

C．若A，且，则

D．存在A，，使得

【答案】ABD

【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．

【详解】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；

对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；

对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；

对于D选项，时，，，D正确；

故选：ABD．

11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则的最小值为

C．若，，，则的最小值为

D．若，，，则的最小值为2

【答案】AD

【分析】A.根据，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断；B. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断； C.由，得到，利用基本不等式求解判断.D. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断.

【详解】A.因为，，，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

B. 因为，，，令，则，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故B错误；

C. 因为，，，所以，

则，当且仅当，即时，等号成立，故错误；

D. 令，则，，则，

而，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

故选：AD

12．已知正实数、满足，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最大值为

【答案】AC

【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，解出的取值范围，可判断AB选项；由已知可得出，利用二次函数的基本性质结合的取值范围，可得出的取值范围，可判断CD选项.

【详解】因为正实数、满足，

则，

因为，解得，当且仅当时，取最大值，则A对B错；

因为，

所以，，

令，因为函数在上单调递减，

所以，，C对D错.

故选：AC.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）

13．已知，集合，，若，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】化简集合，将化为，根据子集关系列式可求出结果.

【详解】由，，得，

因为，所以，

所以，解得.

故答案为：

14．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．

【答案】

【分析】设将满足p,q的x的集合即为A,B．已知条件转化为，根据集合间的关系列式可解得结果.

【详解】∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件．

设．

是的充分不必要条件，所以．

（两个等号不能同时取到），

．

故答案为：.

【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件,考查了集合间的关系，属于基础题.

15．若关于x的不等式的解集为，则的最小值为_________．

【答案】8

【分析】由题意可得化简得，所以，利用基本不等式即可求解

【详解】因为不等式的解集为，则，

因为，所以，

∴．

当且仅当，即时，取到等号．

故答案为：8

16．已知，则的最大值为_________．

【答案】

【分析】通分化简整理，再利用基本不等式求得最大值.

【详解】因为，则，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

则的最大值为.

故答案为：.

四、解答题（本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．命题：任意，成立；命题：存在，+成立.

(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；

(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或或

【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；

（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.

【详解】（1）由q真：，得或，

所以q假：；

（2）p真：推出，

由和有且只有一个为真命题，

真假，或假真，

或，

或或.

18．求下列函数的最值

（1）求函数的最小值.

（2）求函数的最小值.

（3）设，，若，求的最小值.

（4）若正数，满足，求的最小值.

【答案】（1）.（2）.（3）.（4）

【分析】（1）先将函数表达式转化为，再由基本不等式求得函数的最小值.

（2）先将函数表达式转化为，再由基本不等式求得函数的最小值.

（3）先将所求表达式转化为，再由基本不等式求得最小值.

（4）利用“”的代换的方法，化简所求表达式，再由基本不等式求得最小值.

【详解】（1），故函数的最小值为，当且仅当，即时取得；

（2），故函数的最小值为，当且仅当即时取得；

（3）由题得，代入原式，得，故原式的最小值为，当且仅当，即时取得；

（4）由题得，则，当且仅当时取“”，故最小值为5.

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

19．在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：

已知集合，

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)条件选择见解析，

【分析】（1）化简集合与之后求二者的并集（2）先判断集合与的关系，再求的取值范围

【详解】（1）当时，集合，，

所以；

（2）若选择①A∪B＝B，则，

因为，所以，

又，

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，

因为，所以， 又，

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

若选择③，，

因为，，

所以或，

解得或，

所以实数的取值范围是．

20．（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，求函数的最大值；

（3）当时，求函数的最小值；

（4）当时，求函数的最大值；

（5）设，求函数的值域．

（6）①当时，求函数的最大值；

②求函数的最大值；

【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②.

【分析】（1）将函数变形为，利用基本不等式求解；

（2）将函数变形为，利用基本不等式求解；

（3）将函数变形为，利用基本不等式求解；

（4）将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解；

（5）将函数变形为，利用基本不等式求解；

（6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解.

【详解】（1）因为，所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以函数的最小值为.

（2）因为，所以，

，

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以

，

所以函数的最大值为.

（3）因为，所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以函数的最小值为.

（4），

令，则，

所以，

因为，所以，

当且仅当，即，也即时，取得等号，

所以，

所以函数的最大值为.

（5）,

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，取得等号，

所以，

所以函数的值域为.

（6）①令，因为，所以，

所以，

因为，

当且仅当，即，也即时，取得等号，

所以，

所以函数的最大值为1.

②令，则，所以，

所以，

因为函数在单调递增，

所以当时，即时，有最小值为4，

所以，

所以函数的最大值为.

21．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

【答案】（1）长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元；（2）长为16米，宽为米时，总造价最低，为38882元．

【分析】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．设污水处理池的宽为x米，则长为米．依题意求出总造价，再根据基本不等式可求得结果；

（2）根据题意得到，再根据g（x）＝x（），在[，16]上是增函数，可求得结果.

【详解】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．

则总造价f（x）＝400×（2x）+248×2x+80×162＝1296x12960

＝1296（x）+12960≥1296×212960＝38880（元），

当且仅当x（x＞0），即x＝10时，取等号．

∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．

（2）由限制条件知，∴．

设g（x）＝x（），

由对勾函数性质易知g（x）在[，16]上是增函数，

∴当x＝时（此时16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值1296×（）+12960＝38882（元）．

∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了对勾函数的单调性，属于中档题.

22．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．

例如，已知，求证：．

证明：原式．

波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．

请根据上述材料解答下列问题：

(1)已知，求的值；

(2)若，解方程；

(3)若正数满足，求的最小值．

【答案】(1)1

(2)

(3)

【分析】（1）由题意把代入式中可求值；

（2）将代入方程可求解；

（3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可．

【详解】（1）．

（2）

原方程可化为：

即：

，即，解得：．

（3）

，当且仅当，即时，等号成立，

有最小值，此时有最大值，

从而有最小值，即有最小值．