分层作业01 集合（精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第01讲 集合（精练）

【A组 在基础中考查功底】

一、单选题

1．已知集合，，则的子集共有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．8个

【答案】C

【分析】先通过集合的交集运算得出，即可根据集合内元素的个数得出子集个数.

【详解】集合，，

，

则的子集共有个，

故选：C.

2．已知其，则由的值构成的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分，讨论，求出，再带入集合看是否满足互异性即可.

【详解】解：，

当，即时，，集合中有相同元素，舍去；

当，即（舍）或时，，符合，

故由的值构成的集合是.

故选：D

【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题.

3．已知集合，且，则a可以为（    ）

A．－2 B．－1 C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.

【详解】∵，∴，∴，

可知，故A、C、D错误；，故B正确.

故选：B

4．已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ）

A．0 B．1 C．－1 D．

【答案】C

【分析】根据题意列式求得的值，即可得出答案.

【详解】根据条件分别令，解得，

又，所以，，

所以集合B中所有元素之和是，

故选：C．

5．已知全集 ，集合，集合，则集合 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的运算定义求解即可.

【详解】由解得，所以，

因为，所以，

所以，

故选:B.

6．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合，根据并集运算法则求.

【详解】不等式的解集为，

所以，又，

所以.

故选：C.

7．已知集合，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分类讨论，当时满足题意，当，解出，由，解得或

【详解】当时，,满足题意.

当时，，

若，则或，即或

综上所述，的所有取值为

故选：D

8．已知集合，若，则的值不可能是（     ）

A． B． C．0 D．3

【答案】B

【分析】由集合A中的元素，计算可能出现在集合B中的元素，得到的值的范围.

【详解】

 若，则的值可能是-3，0，3，不可能是-1.

故选：B.

9．已知集合，，若，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由得出，再分类集合是空集和不是空集求解的取值范围即可.

【详解】，

，

，

当时，即时，，满足，

当时，有，解得，

综上，的取值范围为，

故选：C.

10．已知集合，，则集合的子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由题意可得，，从而可得，写出的子集即可得答案.

【详解】解：因为，，

所以，

所以的子集为，共2个.

故选：B.

11．已知集合，，且，则的所有取值组成的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解.

【详解】因为，所以，所以，

若，则或，经检验均满足题意，

若，则或，

经检验满足题意，与互异性矛盾，

综上的所有取值为：，0,2，

故选:D.

12．设集合，，则中元素的个数是（    ）

A．2 B．1 C．0 D．以上都不对

【答案】A

【分析】表示以为圆心，为半径的圆，表示直线上的点，求两个图象交点个数即可.

【详解】表示以为圆心，为半径的圆，

表示直线上的点，

圆心到直线的距离，

可知直线与圆相交，故中元素有2个.

故选：A

【点睛】本题主要考查了集合的表示法，求两个集合的交集，注意数形结合，属于基础题.

13．对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】计算，得到元素个数.

【详解】，则，则中元素的个数为

故选：C

14．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，阴影部分表示为：，再分析求解即可.

【详解】因为，所以，又，全集，

所以图中阴影部分表示的集合为．

故选：C.

15．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解

【详解】由可得，解得，

因为全集，所以，

所以

故选：D

16．已知集合，则（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】解分式不等式化简集合A，后由补集定义可得答案.

【详解】 ，

则，则或.

故选：B

17．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.

【详解】集合，即，

，则，所以.

故选：B

18．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出集合，然后计算即可.

【详解】由，可得，

所以，

由，可得或，

所以或，

所以，

故选：D.

19．已知非空集合，集合，则的取值集合与集合的交集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由一元二次方程有解和对数型函数的定义域，分别求解的取值集合与集合，取交集即可．

【详解】若集合是非空集合，则一元二次方程有解，

即，解得或，所以的取值集合为，

集合即函数的定义域：，解得，

所以的取值集合与集合的交集是，

故选：C．

20．满足条件的所有集合的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据并集的性质、子集的性质进行求解即可.

【详解】因为，

所以且，

所以集合的个数为，

故选：D

二、填空题

21．设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）

【答案】

【分析】先化简集合M和N，再求M∩N,再求即得阴影部分所表示的集合.

【详解】由题得M={x|x>2或x<-2}，N={x|x≥0}，所以M∩N={x|x＞2}，

所以.所以阴影部分所表示的集合为[0,2].

故答案为

【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

22．已知集合，则________．

【答案】或

【分析】由并集与补集的概念求解，

【详解】∵，∴或．

故答案为：或

23．已知集合，，则________；

【答案】/（-1，3]

【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合B，根据并集运算的法则，即可得答案.

【详解】由题意得，

所以．

故答案为：（-1,3]

24．已知集合，，则____________．

【答案】

【分析】分别求出集合,再求交集即可.

【详解】由题意得，，所以．

故答案为：

25．若集合，且，则______.

【答案】

【分析】根据元素与集合的关系、集合元素的互异性求得正确答案.

【详解】依题意，，

若，则，不满足集合元素的互异性.

若，解得或（舍去），

所以，此时.

故答案为：

26．已知集合，则______.

【答案】

【分析】根据指数函数与幂函数值域得到，则得到两者交集.

【详解】根据幂函数的值域以及指数函数的值域可知

,所以.

故答案为：.

27．若集合，，则________

【答案】或

【分析】先解两个集合中的不等式，再利用集合基本运算求解.

【详解】或，或

，

或.

故答案为：或.

28．已知集合，若，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】根据可得：，然后根据集合的包含关系列出不等式，解之即可求解.

【详解】因为，则有，

又集合，

所以，

故答案为：.

【B组 在综合中考查能力】

一、单选题

1．集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合的意义求解即可.

【详解】解：根据题意，集合表示函数图像上的点的集合，

集合为数集，

所以，

故选：C

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式可得集合 ，求函数值域可得集合，进而可得.

【详解】解不等式得，

又，所以，即集合，

所以，

故选：B.

3．已如集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式得集合，由对数函数性质得集合，然后由集合的运算法则计算．

【详解】，因为，所以，即，

，，

，

所以．

故选：B．

4．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由对数的单调性求得集合A，根据正弦函数性质求得集合，进而求其交集.

【详解】由，可得，则

又，

所以.

故选：A

5．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将问题化为在上值域是值域的子集，利用二次函数性质求值域，讨论、、结合一次函数性质求值域，即可确定参数范围.

【详解】要使对任意的，总存在，使得成立，

即在上值域是在上值域的子集，

开口向上且对称轴为，则上值域为；

对于：

当时在上值域为，

此时，，可得；

当时在上值域为，不满足要求；

当时在上值域为；

此时，，可得；

综上，的取值范围.

故选：D

6．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数单调性解不等式化简集合A，由二次不等式化简B，直接计算并集即可.

【详解】，

，

故选：A

7．若，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合、，再根据集合的交集运算可得答案.

【详解】若，，

则.

故选：B.

二、多选题

8．设，，若，则实数的值可以为（    ）

A．2 B． C． D．0

【答案】BCD

【分析】先求出集合，再由可知，由此讨论集合B中元素的可能性，即可判断出答案.

【详解】集合，，，

又，

所以，

当时，，符合题意，

当时，则，所以或，

解得或，

综上所述，或或,

故选：

9．设Z表示整数集，且集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由集合中元素的特征，判断两个集合的关系，然后检验各个选项是否正确.

【详解】∵，由，则，

即中元素都是中元素，有；．

而对于集合，当时，，故，但，∴

由，有，A选项正确； , B选项错误；

由，有，∴， ，C选项错误，D选项正确.

故选：AD．

10．已知集合，，若，则的取值可以是（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】ACD

【分析】对集合B中的分类讨论即可求解.

【详解】

当时, , 显然满足条件;

 当时, , 集合,

故, 或, 解,

故实数的取值的集合是 .

 故选：ACD.

三、填空题

11．已知集合，若集合中有2个元素，则实数的取值范围是__________

【答案】

【分析】根据与的交集仅有2个元素，得到与中两解析式只有两个交点，确定出的范围即可．

【详解】因为集合，

由可得，其图象是以原点为圆心，以5为半径的右半圆，图下图，

若中有2个元素，则与半圆有2个公共点，

当直线经过点时，，

当直线与半圆相切时，可得，

解得或（舍，

故．

故答案为：．

12．非空集合中所有元素乘积记为．已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是___ （结果用最简分数表示）．

【答案】

【分析】首先求出集合的非空子集，若为奇数，则中元素全部为奇数，求出集合的非空子集个数，即可得到为偶数的集合的个数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】集合的非空子集有个，

若为奇数，则中元素全部为奇数，

又的非空子集个数，共有个，

所以为偶数的共有种，

故为偶数的概率．

故答案为：．

13．已知集合，则___________．

【答案】

【分析】计算，，再计算交集得到答案.

【详解】，

.

故.

故答案为：

【C组 在创新中考查思维】

一、单选题

1．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.

【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.

①假设集合中含有个元素，可设，则，

，这与矛盾；

②假设集合中含有个元素，可设，，

，，，满足题意.

综上所述，集合中元素个数最少为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.

2．设A是任意一个n元实数集合，令集合，记集合B中的元素个数为，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】利用排除选项D；利用排除选项AC；举例验证选项B正确.

【详解】当集合A中的元素两两互质时，．

所以对于选项D，当时，，故选项D错误．

当时，若，其中，有，故．

对于选项A，，故．故选项A错误．

对于选项C，，则.故选项C错误．

对于选项B，，判断正确

（事实上，当时，要使最小，，记，其中，当时，有．）

故选：B

二、多选题

3．已知集合，若对于任意，存在，使得，则称集合是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用数学结合判断A；利用方程无解判断B；利用数形结合判断C；利用特殊点判断D.

【详解】对于A，表示的几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图所示，当点运动时，直线与曲线均有交点，故A正确；

对于B,若满足，则，在实数范围内无解，故B不正确；

对于C，，画出的图象，如图所示，直角始终存在，即对于任意，存在，使得成立，故C正确；

对于D，，取点，若存在使得成立，则，则一定有，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，故D不正确.

故选：AC.

【点睛】思路点睛：本题主要考查向量垂直的坐标表示、新定义问题及数形结合思想的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

4．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.

【详解】∵，∴.

∵，∴.

∵，∴.

若，则存在使得，

则和的奇偶性相同.

若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；

若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.

故选ABD.

【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.

三、填空题

5．定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______.

【答案】

【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案.

【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点，

集合表示直线上的点，

，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为.

双曲线的渐近线为，不妨取，则，即，

平行线的距离，故或（舍去）.

故答案为：.

【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键.

6．集合有10个元素，设M的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则___________.

【答案】-1

【分析】分析可得M的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积，综合即可得答案.

【详解】集合M的所有非空子集为可以分成以下几种情况

①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积；

②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有个

③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有个

其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为0，

④只含元素-1的子集1个，满足，

综上：所有子集中元素乘积.

故答案为：-1