考点02常用逻辑用语（6种题型2个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版）

这是一份考点02常用逻辑用语（6种题型2个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版），共11页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷基础等内容，欢迎下载使用。

考点02常用逻辑用语（6种题型2个易错考点）
一、 真题多维细目表

考题
考点
考向
2022天津、浙江、北京
充分必要条件
充分必要条件的判断

二、命题规律与备考策略

本专题是高考热考题型，难度小，分值5分，重点考察充分必要条件的判定和含有一个量词命题的否定，充分必要条件常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考察基本概念、定理等，复习时以基础知识为主。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知

1．（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
6．（2022•浙江）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2022•北京）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
四、考点清单

一．充分条件与必要条件
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
二．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【全称命题】
含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
三．存在量词和特称命题
【存在量词】：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．
常见词语的否定如下表所示：
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1个
至少有两个
存在一个x不成立
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
四．命题的否定
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
五、题型方法

一．充分条件与必要条件（共8小题）
1．（2023•黄山模拟）“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（多选）2．（2023•沙县模拟）下列命题正确的有（　　）
A．∀x∈R，
B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R
C．x＞1是x＞0的充分不必要条件
D．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0

3．（2023•山西模拟）已知正实数a，b，则“2a+b＝4”是“ab≥2”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023•佛山二模）记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（多选）5．（2023•五华区校级模拟）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|xm+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的值可以是（　　）
A． B． C．﹣ D．0
【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可．
6．（2023•安徽二模）设a∈R，则“a＝1”是“为奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023•大荔县一模）已知集合A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}，B＝{x|x≤3或x≥6}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）当a＞0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．




8．（2022•安徽模拟）已知函数f（x）＝lg的定义域为A，函数g（x）＝22x﹣2x+1+3的值域为B．
（Ⅰ）当a＝1时，求（∁RA）∩B；
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．





二．全称量词和全称命题（共2小题）
9．（2023•哈尔滨二模）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”是真命题的充要条件是（　　）
A．a＞4 B．a≥4 C．a＜1 D．a≥1
10．（2020•涪城区校级模拟）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．
（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．




三．存在量词和特称命题（共5小题）
11．（2023•郑州模拟）若“∃x∈R，x2﹣6ax+3a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 　　 ．
12．（2023•桃城区校级模拟）若命题“∃x∈[1，3]，x2+ax+1＞0”是假命题，则实数a的最大值为 　　 ．
13．（2023•九江二模）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2﹣a＜0，若p为假命题，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
14．（2023•银川一模）下列判断不正确的是（　　）
A．“若x，y互为相反数，则x+y＝0”是真命题
B．“∃x∈N，x2+2x＝0”是特称命题
C．若xy≠0，则x，y都不为0
D．“x＞1且y＞1”是“x+y＞2”的充要条件
15．（2023•河南模拟）已知命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，4） C．（﹣2，+∞） D．（4，+∞）
四．命题的否定（共2小题）
16．（2023•河东区一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（　　）
A．任意一个奇数是素数
B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数
D．任意一个偶数都不是素数
（多选）17．（2023•安宁市校级模拟）下列命题的否定中，是真命题的有（　　）
A．某些平行四边形是菱形
B．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0
C．∀x∈R，|x|+x2≥0
D．∀x∈R，x2﹣ax+1＝0有实数解
五．全称命题的否定（共1小题）
18．（2023•达州模拟）命题p：∀x∈R，2x+x2﹣x+1＞0，则¬p为（　　）
A．∀x∈R，2x+x2﹣x+1≤0
B．∀x∈R，2x+x2﹣x+1＜0
C．∃x0∈R，
D．∃x0∈R，
六．特称命题的否定（共2小题）
19．（2023•新城区校级模拟）命题：∃x0＞0，﹣x0﹣1≤0的否定是（　　）
A．∃x0≤0，﹣x0﹣1＞0 B．∀x≤0，x2﹣x﹣1＞0
C．∃x0＞0，﹣x0﹣1＜0 D．∀x＞0，x2﹣x﹣1＞0
（多选）20．（2023•海南一模）已知命题p：“∃x∈R，x2﹣2x+a+6＝0”，q：“∀x∈R，x2+mx+1＞0”，则下列正确的是（　　）
A．p的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+a+6≠0”
B．q的否定是“∃x∈R，x2+mx+1＞0”
C．若p为假命题，则a的取值范围是a＜﹣5
D．若q为真命题，则m的取值范围是﹣2＜m＜2
六、易错分析

易错点1：对含有一个量词的命题否定不完全
例1：已知命题p：存在一个实数x0，使得x－x0－2<0，写出綈p.



例2：命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
七、刷基础

一．选择题
1．（2023•北京模拟）设{an}为等比数列，若m，n，p，q∈N*，则m+n＝p+q是am•an＝ap•aq的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023•保定一模）设α，β是两个不同的平面，则“α内有无数条直线与β平行”是“α∥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023•遂川县校级一模）设f（x）是定义在R上的函数，则“f（x）不是奇函数”的充要条件是（　　）
A．∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x） B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）
C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0） D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）
4．（2023•重庆模拟）“x2﹣x＜0”是“ex＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023•亭湖区校级一模）不等式（x﹣π）（x﹣e）≤0成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．x∈（π，e） B．x∈[e，π] C．x∈（e，π） D．x∈（﹣∞，π]
6．（2023•浑南区校级三模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣3mx+2m2+m﹣1＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（　　）
A．[﹣3，2] B．[﹣1，3] C． D．
7．（2023•迎泽区校级一模）“sin2α﹣2sinαcosα＝0”是“tanα＝2”的（　　）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
8．（2023•河北模拟）已知函数f（x）＝，则“k2＝1”是“函数f（x）是偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．（2023•门头沟区一模）已知非零向量，则“与共线”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2023•湖北模拟）已知m＞0，则“a＞b＞0”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
八.刷易错

一．选择题（共5小题）
1．（2023•鄠邑区模拟）设离心率为e的双曲线C：的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（　　）
A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1 D．e2﹣k2＜1
2．（2022•新乡县校级模拟）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），，若p为假命题，则a的取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，2]
3．（2020•山东模拟）命题p：已知a＞1，∃x＞0，使得x+≤1，则该命题的否定为（　　）
A．已知a≤1，∀x≤0，使得x+≥1
B．已知a＞1，∀x＞0，使得x+＞1
C．已知a≤1，∃x＞0，使得x+≥1
D．已知a＞1，∃x≤0，使得x+＞1
4．（2023•泰和县一模）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2（x∈R），g（x）＝（x＜0），h（x）＝2elnx．有下列命题：
①F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增；
②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；
③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；
④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2x﹣e．
其中真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023•南宁模拟）已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个解，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④
二．填空题（共1小题）
6．（2023•大荔县一模）给出下列命
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；
④若命题的逆否命题为真，则它的否命题一定为真；
⑤“若m＞1，则 mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题．
其中真命题是　 　．（把你认为正确命题的序号都填在横线上）